课件28张PPT。第一讲 不等式和绝对值不等式章末复习课不等式的性质及其应用 基本不等式的应用 绝对值不等式的解法 转化与化归的数学思想 Thank you for watching !章末综合测评(一) 不等式和绝对值不等式
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知>，则下列不等式一定成立的是( )
A．a2>b2 B．lg a>lg b
C．> D．>
D [由>，得a>b(c≠0)，
显然，当a，b异号或其中一个为0时， A，B，C不正确．]
2．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是( )
A．a＞b＋1 B．a＞b－1
C．a2＞b2 D．a3＞b3
A [由a＞b＋1，得a＞b＋1＞b，即a＞b，而由a＞b不能得出a＞b＋1，因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1，选A.]
3．若a＞b，x＞y，下列不等式不正确的是( )
A．a＋x＞b＋y B．y－a＜x－b
C．|a|x＞|a|y D．(a－b)x＞(a－b)y
C [对于A，两式相加可得a＋x＞b＋y，A正确；
对于B，a＞b?－a＜－b，与y＜x相加得y－a＜x－b，B正确；
对于D，∵a－b＞0，∴(a－b)x＞(a－b)y，D正确；
对于C，当a＝0时，不等式不正确，故选C.]
4．如果关于x的不等式5x2－a≤0的非负整数解是0,1,2,3，那么实数a的取值范围是( )
A．45≤a<80 B．50
C．a<80 D．a>45
A [由5x2－a≤0，得－≤x≤，而正整数解是1,2,3，则3≤<4，解得45≤a<80.]
5．若a，b为非零实数，那么不等式恒成立的是( )
A．|a＋b|>|a－b| B．≥
C．≥ab D．＋≥2
C [a，b为非零实数时，A，B，D均不一定成立．
而－ab＝≥0恒成立．]
6．在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是( )
A．y＝x＋
B．y＝lg x＋
C．y＝＋
D．y＝sin x＋(0D [y＝x＋≥2＝4，A错；当0当＝时，x＝0，
∴y＝＋≥2此时等号取不到，C错；
y＝sin x＋≥2，此时sin x＝1，D正确．]
7．不等式|2x－log2x|＜|2x|＋|log2x|的解为( )
A．1＜x＜2 B．0＜x＜1
C．x＞1 D．x＞2
C [由题意知
∴log2x＞0，
解得x＞1，故选C.]
8．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )
A．2 B．3
C．6 D．9
D [f′(x)＝12x2－2ax－2b，
由f(x)在x＝1处有极值，
得f′(1)＝12－2a－2b＝0，
∴a＋b＝6.
又a＞0，b＞0，∴ab≤＝＝9，
当且仅当a＝b＝3时取到等号，故选D.]
9．设a>b>c，n∈N，且＋≥恒成立，则n的最大值是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
C [∵＋＝＋＝2＋＋≥4，当且仅当＝时，取等号，
∴＋≥，而＋≥恒成立，得n≤4.]
10．若0A．最小值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最大值为
B [x2(1－2x)＝x·x(1－2x)
≤＝.
当且仅当x＝时，等号成立．]
11．关于x的不等式|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集是空集，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(－1,0)
C．(1,2) D．(－∞，－1)
B [|x－1|＋|x－2|的最小值为1，
故只需a2＋a＋1<1，∴－112．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1(i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
B [由(1－aix)2<1，
得0又ai>0，
∴0则x小于的最小值．
又a1>a2>a3，
∴的最小值为，
则x<.
因此x的取值范围为，选B.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．不等式|2x－1|－|x－2|<0的解集为________．
[解析] |2x－1|－|x－2|<0，即|2x－1|<|x－2|，两边平方并整理得，x2<1，解得－1[答案] {x|－114．设x＞0，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，则x＋y的取值范围为__________．
[解析] 因为xy－(x＋y)＝1，且xy≤，所以1＝xy－(x＋y)≤－(x＋y)．设x＋y＝a，则－a－1≥0(a＞0)，则a≥2＋2，即x＋y≥2＋2，故x＋y的取值范围为[2＋2，＋∞)．
[答案] [2＋2，＋∞)
15．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为__________．
[解析] (x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，∴1＋a＋2≥9，即a＋2－8≥0，故a≥4.
[答案] 4
16．设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为________．
[解析] 如图，先画出不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域，易知当直线x＋2y＝u经过点B，D时分别对应u的最大值和最小值，所以umax＝2，umin＝－2.
[答案] 2 －2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)解不等式x＋|2x－1|＜3.
[解] 法一 原不等式可化为
或
解得≤x＜或－2＜x＜.
所以原不等式的解集是.
法二 由于|2x－1|＜3－x，
∴x－3＜2x－1＜3－x，
解得x＞－2且x＜.
∴原不等式的解集是
.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.
[解] (1)f(x)＝
当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；
当－＜x＜时，f(x)＜2；
当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.
所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．
(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.
因此|a＋b|＜|1＋ab|.
19．(本小题满分12分)已知实数x，y满足：|x＋y|<，|2x－y|<，求证：|y|<.
[证明] 因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，
由题设知|x＋y|<，|2x－y|<，
从而3|y|<＋＝，所以|y|<.
20．(本小题满分12分)已知a和b是任意非零实数．
(1)求的最小值；
(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围．
[解] (1)∵|2a＋b|＋|2a－b|≥|2a＋b＋2a－b|＝4|a|对于任意非零实数a和b恒成立，
当且仅当(2a＋b)(2a－b)≥0时取等号，
∴的最小值等于4.
(2)∵|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，
故|2＋x|＋|2－x|不大于的最小值．
由(1)可知的最小值等于4.
实数x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解，
解不等式得－2≤x≤2，
∴x的取值范围是[－2,2]．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
(2)设a＞－1时，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则y＝
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0，所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
(2)当x∈时，f(x)＝1＋a，
不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，
所以x≥a－2对x∈都成立，故－≥a－2，即a≤.
从而a的取值范围是.
22．(本小题满分12分)某小区要建一座八边形的休闲小区，如图所示，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4 200元，并在四周的四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米80元．
(1)设总造价为S元，AD长为x米，试求S关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，S取得最小值？并求出这个最小值．
[解] (1)设DQ＝y米，又AD＝x米，
故x2＋4xy＝200，
即y＝.
依题意，得S＝4 200x2＋210×4xy＋80×2y2
＝4 200x2＋210(200－x2)＋1602
＝38 000＋4 000x2＋.
依题意x>0，且y＝>0，
∴0故所求函数为
S＝38 000＋4 000x2＋，x∈(0,10)．
(2)因为x>0，
所以S≥38 000＋2＝118 000，
当且仅当4 000x2＝，
即x＝时取等号．
∴当x＝∈(0,10)时，
Smin＝118 000元．
故AD＝米时，S有最小值118 000元．
[自我校对] ①不等式的基本性质 ②≥(a，b＞0) ③算术-几何平均值不等式 ④绝对值三角不等式 ⑤|x－a|＋|x－b|≥c型
不等式的性质及其应用
主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立；再就是利用不等式性质，进行数值(或代数式)大小的比较；有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进行考查．考查形式多以选择题出现．
【例1】 若a，b是任意实数，且a>b，则( )
A．a2>b2 B．<1
C．lg(a－b)>0 D．<
D [a>b并不能保证a，b均为正数，从而不能保证A，B成立．又a>b?a－b>0，但不能保证a－b>1，从而不能保证C成立．显然D成立．事实上，指数函数y＝是减函数，所以a>b?<成立．]
1．若a＞0，b＞0，则下列与－b＜＜a等价的是( )
A．－＜x＜0或0＜x＜
B．－＜x＜
C．x＜－或x＞
D．x＜－或x＞
D [－b＜＜a，当x＜0时，－bx＞1＞ax，解得x＜－；
当x＞0时，－bx＜1＜ax，解得x＞.故应选D.]
基本不等式的应用
利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值．在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．
【例2】 求函数y＝x2(1－5x)的最大值．
[自主解答] y＝x2＝·x·x·，
∵0≤x≤，
∴－2x≥0，
∴y≤＝.
当且仅当x＝－2x，即x＝时，上式取等号．
因此ymax＝.
2．已知x＜，求函数y＝4x－2＋的最大值．
[解] y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3
＝3－≤3－2＝1.
所以函数y＝4x－2＋的最大值为1.
绝对值不等式的解法
解绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成一般的不等式，主要的依据是绝对值的定义．
【例3】 已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.
(1)求不等式f(x)≤6的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集非空，求实数a的取值范围．
[自主解答] (1)原不等式等价于
或
或
解得即不等式的解集为{x|－1≤x≤2}．
(2)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|
＝4，
∴|a－1|>4，解此不等式得a<－3或a>5.
3．若不等式|x－4|＋|3－x|＜a的解集是空集，求a的取值范围．
[解] 设y＝|x－4|＋|3－x|，此题转化为求函数的最小值问题，若a不大于函数的最小值则不等式的解集为空集．
y＝|x－4|＋|x－3|＝∴可以看出最小值为1，
∴a≤1时，不等式的解集为空集，
所以a的取值范围a≤1.
转化与化归的数学思想
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法．通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式简单的问题．在本章，我们讨论恒成立问题，向最值转化，通过不等式性质、基本不等式、绝对值不等式求最值等问题都用到了转化的思想．
【例4】 已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m，依据下列条件，分别求出m的取值范围：
(1)若不等式有解；
(2)若不等式解集为R；
(3)若不等式解集为.
[自主解答] 由||x＋2|－|x＋3||
≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，
则m＜1，即m的取值范围是(－∞，1)．
(2)若不等式解集为R，则m＜－1，
即m的取值范围是(－∞，－1)．
(3)若不等式解集为，则m≥1，
即m的取值范围是[1，＋∞)．
4．解不等式≤1.
[解] 原不等式可以化为
|x2－5x＋4|≤|x2－4|(x≠±2)，
∴－(x2－4)≤x2－5x＋4≤x2－4， ①
或－(4－x2)≤x2－5x＋4≤4－x2， ②
由①得解得
∴x≥.
由②得解得∴0≤x≤.
∴原不等式的解集为.
1．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，1)
C．(1,4) D．(1,5)
[解析] ①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，
∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.
②当1③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．
综上，原不等式的解集为(－∞，4)，故选A.
[答案] A
2．若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.
[解析] 由于f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|，
当a>－1时，
f(x)＝
作出f(x)的大致图象如图所示，由函数f(x)的图象可知f(a)＝5，
即a＋1＝5，∴a＝4.
同理，当a≤－1时，－a－1＝5，
∴a＝－6.
[答案] －6或4
3．已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，
解得当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x＜2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
4．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：
(1)若ab>cd，则＋>＋；
(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
[证明] (1)因为(＋)2＝a＋b＋2，
(＋)2＝c＋d＋2，
由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，
得(＋)2>(＋)2.
因此＋>＋.
(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，
即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
由(1)，得＋>＋.
②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，
即a＋b＋2>c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|<|c－d|.
综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
