课件35张PPT。第二讲 证明不等式的基本方法一 比较法a－b＞0 a－b＜0 a－b＞0 判断符号作差作商比较法证明不等式 比较法的实际应用 作差比较法 点击右图进入…Thank you for watching !
一 比较法
学习目标：1.理解比较法证明不等式的依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．(重点)3.通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．(难点)
教材整理1 作差比较法
阅读教材P21～P22例2，完成下列问题．
1．理论依据：①a＞b?a－b＞0；②a＝b?a－b＝0；③a＜b?a－b＜0.
2．定义：要证明a＞b，转化为证明a－b＞0，这种方法称为作差比较法．
3．步骤：①作差；②变形；③判断符号；④下结论．
若x，y∈R，记ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则( )
A．ω＞u B．ω＜u
C．ω≥u D．无法确定
C [∵ω－u＝x2－xy＋y2＝＋≥0，∴ω≥u.]
教材整理2 作商比较法
阅读教材P22～P23“习题”以上部分，完成下列问题．
1．理论依据：当b＞0时，①a＞b?＞1；②a＜b?＜1；③a＝b?＝1.
2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明＞1，这种方法称为作商比较法．
3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．
下列命题：
①当b＞0时，a＞b?＞1；
②当b＞0时，a＜b?＜1；
③当a＞0，b＞0时，＞1?a＞b；
④当ab＞0时，＞1?a＞b.
其中真命题是( )
A．①②③ B．①②④
C．④ D．①②③④
A [由不等式的性质，①②③正确．当ab＞0时(若b＜0，a＜0)，＞1与a＞b不等价，④错．]
作商比较法证明不等式
【例1】 已知a＞0，b＞0且a≠b，求证：aabb＞.
[精彩点拨] →
→→
1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式．
2．运用a＞b?＞1证明不等式时，一定注意b＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．
1．已知m，n∈R＋，求证：≥.
[证明] 因为m，n∈R＋，
则：①当m>n>0时，>1，m－n>0，则ω>1.
②当m＝n时，ω＝1.
③当n>m>0时，0<<1，m－n<0，则ω>1.
故对任意的m，n∈R＋都有ω≥1.
，
所以≥.
比较法的实际应用
【例2】 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？
[精彩点拨] 设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1, t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了．
[自主解答] 设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1, t2，依题意有：m＋n＝s，＋＝t2.
∴t1＝，t2＝，
∴t1－t2＝－＝
＝－.
其中s，m，n都是正数，且m≠n，
∴t1－t2＜0，即t1＜t2，
从而知甲比乙先到达指定地点．
1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键．
2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断．
2．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？
[解] 设截面的周长为l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为π·，截面是正方形的水管的截面面积为.
∵π·－＝＝.
由于l＞0,0＜π＜4，∴＞0，
∴π·＞.
因此，通过水管放水，当流速相同时，如果水管的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．
作差比较法
[探究问题]
作差法遵循什么步骤？适用于哪些类型？
[提示] “作差法”的理论依据是实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系：“a＞b?a－b＞0，a＝b?a－b＝0，a＜b?a－b＜0”，其一般步骤为“作差→变形→判号→定论”．其中变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或一个常数与几个平方和的形式，或几个因式的积的形式等．当所得的“差式”是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．作差法一般用于不等式的两边是多项式或分式．
【例3】 已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.
[精彩点拨] 此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．
[自主解答] 法一 ∵a2＋b2－ab－a－b＋1
＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，
∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.
法二 a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1，
对于a的二次三项式，
Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.
∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，
故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.
1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少．
2．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“Δ”判定符号．
3．已知a＞b＞c，证明：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.
[证明] ∵a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－bc2)＋(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a)＝(a－c)(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)．
∵a＞b＞c，∴a－c＞0，a－b＞0，b－c＞0，∴(a－c)(a－b)(b－c)＞0，即a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是( )
A．t＞s B．t≥s
C．t＜s D．t≤s
D [s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，
∴s≥t.]
2．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P＜Q
C．P＝Q D．大小不确定
A [P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga.
当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，则0＜＜1，
∴loga＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.
当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，＞1，
∴loga＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.
综上总有P＞Q，故选A.]
3．设a，b，m均为正数，且＜，则a与b的大小关系是________．
[解析] －＝＞0.
又a，b，m为正数，∴a(a＋m)＞0，m＞0，因此a－b＞0.
即a＞b.
[答案] a＞b
4．设a＞b＞0，x＝－，y＝－，则x，y的大小关系是x________y.
[解析] ∵＝＝＜＝1，且x＞0，y＞0，∴x＜y.
[答案] ＜
5．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
[证明] 2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)
＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．
因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0,
从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，
即2a3－b3≥2ab2－a2b.
课时分层作业(六) 比较法
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知a＞2，b＞2，则( )
A．ab≥a＋b B．ab≤a＋b
C．ab＞a＋b D．ab＜a＋b
C [∵a＞2，b＞2，∴－1＞0，－1＞0，
则ab－(a＋b)＝a＋b＞0，
∴ab＞a＋b.]
2．已知a＞b＞－1，则与的大小关系为( )
A.＞ B.＜
C.≥ D.≤
[解析] ∵a＞b＞－1，∴a＋1＞0，b＋1＞0，a－b＞0，则－＝＜0，∴＜.
[答案] B
3．a，b都是正数，P＝，Q＝，则P，Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P＜Q
C．P≥Q D．P≤Q
D [∵a，b都是正数，∴P＞0，Q＞0，
∴P2－Q2＝－()2
＝≤0(当且仅当a＝b时取等号)，
∴P2－Q2≤0.
∴P≤Q.]
4．下列四个数中最大的是( )
A．lg 2 B．lg
C．(lg 2)2 D．lg(lg 2)
A [∵0＜lg 2＜1＜＜2，
∴lg(lg 2)＜0＜lg ＜lg 2，
且(lg 2)2＜lg 2，故选A.]
5．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系是( )
A．a5b5
C．a5＝b5 D．不确定
B [设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，
则a5－b5＝a1q4－(b1＋4d)＝a1q4－(a1＋4d)．
∵a3＝b3，∴a1q2＝b1＋2d，即a1q2＝a1＋2d，
∴aq4＝(a1＋2d)2＝a＋4a1d＋4d2，
∴a5－b5＝
＝＝.
∵a1>0，d≠0，∴a5－b5>0，∴a5>b5.]
二、填空题
6．设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若P>Q，则实数a，b满足的条件为________．
[解析] P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)
＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a
＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a
＝(ab－1)2＋(a＋2)2.
∵P>Q，∴P－Q>0，即(ab－1)2＋(a＋2)2>0，
∴ab≠1或a≠－2.
[答案] ab≠1或a≠－2
7．若x＜y＜0，M＝(x2＋y2)(x－y)，N＝(x2－y2)(x＋y)，则M，N的大小关系为________．
[解析] M－N＝(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，
∴－2xy(x－y)＞0，∴M－N＞0，即M＞N.
[答案] M＞N
8．已知a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab，则与的大小关系是________．
[解析] ∵a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab，
∴(1＋a)(1－b)＝1＋a－b－ab＞1.
从而＝＞1，
∴＞.
[答案] ＞
三、解答题
9．已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.
[证明] ∵a＞2，
则a－1＞1，
∴loga(a－1)＞0，log(a＋1)a＞0，
由于＝loga(a－1)·loga(a＋1)
＜
＝.
∵a＞2，∴0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2，
∴＜＝1，
因此＜1.
∵log(a＋1)a＞0，
∴loga(a－1)＜log(a＋1)a.
10．已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．
(1)求q的值；
(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．
[解] (1)由题设知2a3＝a1＋a2，
即2a1q2＝a1＋a1q.
又a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1或－.
(2)若q＝1，则Sn＝2n＋＝＝.
当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝＞0，
故Sn＞bn.
若q＝－，则Sn＝2n＋·＝＝.
当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝－，
故对于n∈N＋，当2≤n≤9时，Sn＞bn；
当n＝10时，Sn＝bn；
当n≥11时，Sn＜bn.
[能力提升练]
1．已知a＞0，b＞0，m＝＋，＝＋，p＝，则m，n，p的大小顺序是( )
A．m≥n＞p B．m＞n≥p
C．n＞m＞p D．n≥m＞p
A [由已知m＝＋，n＝＋，得a＝b＞0时m＝n，可否定B，C.比较A，D项，不必论证与p的关系．取特值a＝4，b＝1，则m＝4＋＝，n＝2＋1＝3，∴m＞n，可排除D.]
2．设m＞n，n∈N*，a＝(lg x)m＋(lg x)－m，b＝(lg x)n＋(lg x)－n，x＞1，则a与b的大小关系为( )
A．a≥b B．a≤b
C．与x值有关，大小不定 D．以上都不正确
A [要比较a与b的大小，通常采用比较法，根据a与b均为对数表达式，只有作差，a与b两个对数表达式才能运算、整理化简，才有可能判断出a与b的大小．
a－b＝lgmx＋lg－mx－lgnx－lg－nx
＝(lgmx－lgnx)－
＝(lgmx－lgnx)－
＝(lgmx－lgnx)
＝(lgmx－lgnx).
∵x＞1，
∴lg x＞0.
当0＜lg x＜1时，a＞b；
当lg x＝1时，a＝b；
当lg x＞1时，a＞b.
∴应选A.]
3．一个个体户有一种商品，其成本低于元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．
[解析] 设这种商品的成本费为a元．
月初售出的利润为L1＝100＋(a＋100)×2.5%，
月末售出的利润为L2＝120－2%a，
则L1－L2＝100＋0.025a＋2.5－120＋0.02a
＝0.045，
∵a＜，∴L1＜L2，月末出售好．
[答案] 月末
4．若实数x，y，m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m.对任意两个不相等的正数a，b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
[证明] ∵a＞0，b＞0，且a≠b，
∴a2b＋ab2＞2ab，a3＋b3＞2ab.
∴a2b＋ab2－2ab＞0，a3＋b3－2ab＞0.
∴|a2b＋ab2－2ab|－|a3＋b3－2ab|
＝a2b＋ab2－2ab－a3－b3＋2ab
＝a2b＋ab2－a3－b3＝a2(b－a)＋b2(a－b)
＝(a－b)(b2－a2)＝－(a－b)2(a＋b)＜0，
∴|a2b＋ab2－2ab|＜|a3＋b3－2ab|，
∴a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
