课件37张PPT。第二讲 证明不等式的基本方法三 反证法与放缩法假设要证的命题不成立命题的条件矛盾缩小放大利用反证法证“至多”“至少”型命题 利用放缩法证明不等式 利用反证法证明不等式 点击右图进入…Thank you for watching !三 反证法与放缩法
学习目标：1.掌握用反证法证明不等式的方法．(重点)2.了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．(难点、易错易混点)
教材整理1 反证法
阅读教材P26～P27“例2”及以上部分，完成下列问题．
先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．
如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( )
A．两个都是偶数
B．一个是奇数，一个是偶数
C．至少一个是偶数
D．恰有一个是偶数
C [假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数．]
教材整理2 放缩法
阅读教材P28～P29“习题”以上部分，完成下列问题．
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．
若|a－c|＜h，|b－c|＜h，则下列不等式一定成立的是( )
A．|a－b|＜2h B．|a－b|＞2h
C．|a－b|＜h D．|a－b|＞h
A [|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|＜2h.]
利用反证法证“至多”“至少”型命题
【例1】 已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：
(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；
(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
[精彩点拨] (1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论．
(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．
[自主解答] (1)由于f(x)＝x2＋px＋q，
∴f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.
(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.(*)
又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|
≥f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，
∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥2与(*)矛盾，∴假设不成立．
故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．
2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．
1．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：a，b，c，d中至多有三个是非负数．
[证明] a，b，c，d中至多有三个是非负数，即至少有一个是负数，故有假设a，b，c，d都是非负数．
即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，
则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd.
这与已知中ac＋bd＞1矛盾，
∴原假设错误，
故a，b，c，d中至少有一个是负数．
即a，b，c，d中至多有三个是非负数.
利用放缩法证明不等式
【例2】 已知an＝2n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.
[精彩点拨] 针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项．
[自主解答] ∵当n≥2时，an＝2n2＞2n(n－1)，
∴＝＜＝·＝，
∴＋＋…＋＜1＋＋＋…＋
＝1＋
＝1＋＝－＜，
即＋＋…＋＜.
1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换．
2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地添或减是放缩法的基本策略．
2．求证：1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)．
[证明] ∵k2＞k(k－1)，
∴＜＝－(k∈N＋，且k≥2)．
分别令k＝2,3，…，n得
＜＝1－，＜＝－，…，
＜＝－.
因此1＋＋＋…＋
＜1＋＋＋…＋
＝1＋1－＝2－.
故不等式1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋).
利用反证法证明不等式
[探究问题]
1．反证法的一般步骤是什么？
[提示] 证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)从否定结论进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．
2．反证法证题时常见数学语言的否定形式是怎样的？
[提示] 常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设有：
常见词语
至少有一个
至多有一个
唯一一个
是
有或存在
全
都是
否定假设
一个也没有
有两个或两个以上
没有或有两个或两个以上
不是
不存在
不全
不都是
【例3】 已知△ABC的三边长a，b，c的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°.
[精彩点拨] 本题中的条件是三边间的关系＝＋，而要证明的是∠B与90°的大小关系．结论与条件之间的关系不明显，考虑用反证法证明．
[自主解答] ∵a，b，c的倒数成等差数列，∴＝＋.假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，则∠B是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，
∴b＞a＞0，b＞c＞0，
∴＜，＜，
∴＜＋，
这与＝＋相矛盾．
∴假设不成立，故∠B＜90°成立．
1．本题中从否定结论进行推理，即把结论的反面“∠B≥90°”作为条件进行推证是关键．要注意否定方法，“＞”否定为“≤”，“＜”否定为“≥”等．
2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．
3．若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.
[证明] 法一 假设a＋b>2，
a2－ab＋b2＝＋b2≥0，
故取等号的条件为a＝b＝0，显然不成立，
∴a2－ab＋b2>0.
则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)，
而a3＋b3＝2，故a2－ab＋b2<1，
∴1＋ab>a2＋b2≥2ab，从而ab<1，
∴a2＋b2<1＋ab<2，
∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4，
∴a＋b<2.
这与假设矛盾，故a＋b≤2.
法二 假设a＋b>2，则a>2－b，
故2＝a3＋b3>(2－b)3＋b3，
即2>8－12b＋6b2，即(b－1)2<0，
这显然不成立，从而a＋b≤2.
法三 假设a＋b>2，则(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)>8.
由a3＋b3＝2，得3ab(a＋b)>6，故ab(a＋b)>2.
又a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2，
∴ab(a＋b)>(a＋b)(a2－ab＋b2)，
∴a2－ab＋b2
这显然不成立，故a＋b≤2.
1．实数a，b，c不全为0的等价条件为( )
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
D [实数a，b，c不全为0的含义即a，b，c中至少有一个不为0，其否定则是a，b，c全为0，故选D.]
2．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法求证a＞0，b＞0，c＞0时的假设为( )
A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a≤0，b＞0，c＞0
C．a，b，c不全是正数 D．abc＜0
C [a＞0，b＞0，c＞0的反面是a，b，c不全是正数，故选C.]
3．要证明＋＜2，下列证明方法中，最为合理的是( )
A．综合法 B．放缩法
C．分析法 D．反证法
C [由分析法的证明过程可知选C.]
4．A＝1＋＋＋…＋与(n∈N＋)的大小关系是________．
[解析] A＝＋＋＋…＋≥＝＝.
[答案] A≥
5．若x，y都是正实数，且x＋y>2.求证：<2和<2中至少有一个成立．
[证明] 假设<2和<2都不成立，
则有≥2和≥2同时成立，因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y>2矛盾，因此<2和<2中至少有一个成立．
课时分层作业(八) 反证法与放缩法
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )
①结论相反的判断，即假设；
②原命题的条件；
③公理、定理、定义等；
④原结论．
A．①② B．①②④
C．①②③ D．②③
C [由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．]
2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是( )
A.＝ B.＜
C.＝且＜ D.＝或＜
D [应假设≤，
即＝或＜.]
3．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
C [对于①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与已知矛盾，故①对；
对于②，当a＞b与a＜b及a≠c都不成立时，有a＝b＝c，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．]
4．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，设M＝，N＝(a＋c)·(a＋b)，则( )
A．M≥N B．M≤N
C．M>N D．MA [依题意易知1－a,1－b,1－c∈R＋，由均值不等式知≤[(1－a)＋(1－b)＋(1－c)]＝，
∴(1－a)(1－b)(1－c)≤，
从而有≥(1－b)(1－c)，即M≥N，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．故选A.]
5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( )
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2
C [∵a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，
∴a，b，c三者中至少有一个不小于2.]
二、填空题
6．若要证明“a，b至少有一个为正数”，用反证法的反设应为________．
[答案] a，b中没有任何一个为正数(或a≤0且b≤0)
7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．
[解析] ∵lg 9＞0，lg 11＞0，
∴＜＝＜＝1，
∴lg 9·lg 11＜1.
[答案] lg 9·lg 11＜1
8．设M＝＋＋＋…＋，则M与1的大小关系为________．
[解析] ∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210，
∴M＝＋＋＋…＋
＜＋＋…＋＝1.
[答案] M＜1
三、解答题
9．若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，求c的最大值．
[解] 2a＋b＝2a＋2b≥2，当且仅当a＝b时，即2a＋b≥4时取“＝”，
由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，
得2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，
∴2c＝＝1＋≤1＋＝，
故c≤log2＝2－log23.
10．已知n∈N＋，求证：<＋＋…＋<.
[证明] k<<＝(2k＋1)(k＝1,2，…，n)．
若记Sn＝＋＋…＋，则
Sn>1＋2＋…＋n＝，
Sn<(3＋5＋…＋2n＋1)＝(n2＋2n)<.
[能力提升练]
1．否定“自然数a，b，c中恰有一个为偶数”时正确的反设为( )
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
D [三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、两偶一奇、两奇一偶”4种，而自然数a，b，c中恰有一个为偶数包含“两奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．]
2．设x，y都是正实数，且xy－(x＋y)＝1，则( )
A．x＋y≥2(＋1) B．xy≤＋1
C．x＋y≤(＋1)2 D．xy≥2(＋1)
A [由已知(x＋y)＋1＝xy≤2，
∴(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.
∵x，y都是正实数，
∴x＞0，y＞0，
∴x＋y≥2＋2＝2(＋1)．]
3．已知a＞2，则loga(a－1)loga(a＋1)________1(填“＞”“＜”或“＝”)．
[解析] ∵a＞2，
∴loga(a－1)＞0，loga(a＋1)＞0.
又loga(a－1)≠loga(a＋1)，
∴
＜，
而＝loga(a2－1)＜logaa2＝1，
∴loga(a－1)loga(a＋1)＜1.
[答案] ＜
4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝22·an(n∈N＋)，
(1)求a2，a3，并求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn＜.
[解] (1)∵a1＝2，an＋1＝2·an(n∈N＋)，
∴a2＝2·a1＝16，a3＝2·a2＝72.
又∵＝2·，n∈N＋，
∴为等比数列．
∴＝·2n－1＝2n，
∴an＝n2·2n.
(2)证明：cn＝＝，
∴c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝＋＋＋…＋
＜＋＋＋·
＝＋·
＜＋·＝＋
＝＝＜＝，所以结论成立．
