课件45张PPT。第二讲 参数方程一 曲线的参数方程
第1课时 参数方程的概念 圆的参数方程普通方程参数方程y＝g(t) b＋rsinθa＋rcosθ参数方程的概念求曲线的参数方程圆的参数方程点击右图进入…Thank you for watching !课件53张PPT。第二讲 参数方程一 曲线的参数方程
第2课时 参数方程和普通方程的互化消去参数 取值范围y＝g(t)普通方程化为参数方程利用参数思想解题参数方程化为普通方程点击右图进入…Thank you for watching !
一 曲线的参数方程
第1课时 参数方程的概念 圆的参数方程
学习目标：1.了解曲线的参数方程的概念与特点.2.理解圆的参数方程的形式和特点．(重点)3.运用圆的参数方程解决最大值、最小值问题．(难点、易错点)
教材整理1 参数方程的概念
阅读教材P21～P23“圆的参数方程”以上部分，完成下列问题．
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
方程(θ是参数)所表示曲线经过下列点中的( )
A．(1,1) B.
C. D.
[解析] 将点的坐标代入方程：，解θ的值．若有解，则该点在曲线上．
[答案] C
教材整理2 圆的参数方程
阅读教材P23～P24“思考”及以上部分，完成下列问题．
1．如图，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0(t＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设M(x，y)，点M转过的角度是θ，则(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程．
2．圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程与参数方程：
普通方程
参数方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
(θ为参数)
圆的参数方程为：(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )
A．(0,2) B．(0，－2)
C．(－2,0) D．(2,0)
[解析] 圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，
故圆心坐标为(2,0)．
[答案] D
参数方程的概念
【例1】 已知曲线C的参数方程是(t为参数，a∈R)，点M(－3,4)在曲线C上．
(1)求常数a的值；
(2)判断点P(1,0)，Q(3，－1)是否在曲线C上？
[思路探究] (1)将点M的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x，y，消去参数t，求a即可；
(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上，否则，点不在曲线上．
[自主解答] (1)将M(－3,4)的坐标代入曲线C的参数方程得消去参数t，得a＝1.
(2)由上述可得，曲线C的参数方程是
把点P的坐标(1,0)代入方程组，解得t＝0，因此P在曲线C上，把点Q的坐标(3，－1)代入方程组，得到这个方程组无解，因此点Q不在曲线C上．
点与曲线的位置关系：
满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上．
(1)对于曲线C的普通方程f(x，y)＝0，若点M(x1，y1)在曲线上，则点M(x1，y1)的坐标是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x1，y1)＝0，若点N(x2，y2)不在曲线上，则点N(x2，y2)的坐标不是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x2，y2)≠0.
(2)对于曲线C的参数方程(t为参数)，若点M(x1，y1)在曲线上，则对应的参数t有解，否则参数t不存在．
1．已知曲线C的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)．
判断点A(2,0)，B是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．
[解] 把点A(2,0)的坐标代入
得cos θ＝1且sin θ＝0，
由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，
因此点A(2,0)在曲线C上，对应参数θ＝0.
同理，把B代入参数方程，得
∴
又0≤θ<2π，∴θ＝π，所以点B在曲线C上，对应θ＝π.
求曲线的参数方程
【例2】 已知边长为a的等边三角形ABC的顶点A在y轴的非负半轴上移动，顶点B在x轴的非负半轴上移动，求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程．
[思路探究] 先画出图形，选取角为参数，建立动点的坐标的三角函数即可．
[自主解答] 如图，设C点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ，过点C作x轴的垂线段CM，垂足为M.
则∠CBM＝π－θ，
∴
即为所求．
求曲线的参数方程的方法步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标；
(2)写出适合条件的点M的集合；
(3)用坐标表示集合，列出方程；
(4)化简方程为最简形式；
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(此步骤可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点)．
2．若本例中的等边三角形变为等腰直角三角形，AC为斜边，腰为a，其余条件不变，如何求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程？
[解] 如图，设C点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ，过点C作x轴的垂线段CM，垂足为M.
则∠CBM＝－θ，
∴
即为所求．
圆的参数方程
[探究问题]
1．当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动(如图)．那么，怎样刻画运动中点的位置呢？
[提示] 如图，设圆O的半径是r，点M从初始位置M0(t＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，点M绕点O转动的角速度为ω.以圆心O为原点，OM0所在的直线为x轴，建立直角坐标系．显然，点M的位置由时刻t惟一确定，因此可以取t为参数．
2．如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x，y)，那么θ＝ωt.设|OM|＝r，如何用r和θ表示x，y呢？
[提示] 由三角函数定义，有
cos ωt＝，sin ωt＝，
即(t为参数)
考虑到θ＝ωt，也可以取θ为参数，于是有
(θ为参数)
【例3】 如图，已知点P是圆x2＋y2＝16上的一个动点，定点A(12,0)，当点P在圆上运动时，求线段PA的中点M的轨迹．
[思路探究] →→
→
[自主解答] 设动点M(x，y)，
∵圆x2＋y2＝16的参数方程为(θ为参数)，
∴设点P(4cos θ，4sin θ)，
由线段的中点坐标公式，得
x＝，
且y＝，
∴点M的轨迹方程为
因此点M的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．
1．引入参数，把圆的普通方程化为参数方程，其实质就是三角换元，利用了三角恒等式sin2 θ＋cos2 θ＝1.
2．圆的参数方程(θ为参数)表示圆心为(x0，y0)，半径为r的圆．
3．已知点M(x，y)是圆x2＋y2＋2x＝0上的动点，若4x＋3y－a≤0恒成立，求实数a的取值范围．
[解] 由x2＋y2＋2x＝0，得(x＋1)2＋y2＝1，又点M在圆上，
∴x＝－1＋cos θ，且y＝sin θ，
因此4x＋3y＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ
＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由tan φ＝确定)
∴4x＋3y的最大值为1.
若4x＋3y－a≤0恒成立，则a≥(4x＋3y)max，
故实数a的取值范围是[1，＋∞)．
1．下列方程：(1)(m为参数)(2)(m，n为参数)(3)(4)x＋y＝0中，参数方程的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] 由参数方程的概念知是参数方程，故选A.
[答案] A
2．曲线与x轴交点的直角坐标是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,0) D．(±2,0)
[解析] 设与x轴交点的直角坐标为(x，y)，令y＝0得t＝1，代入x＝1＋t2，得x＝2，
∴曲线与x轴的交点的直角坐标为(2,0)．
[答案] C
3．参数方程(t为参数)表示的曲线是( )
A．两条直线 B．一条射线
C．两条射线 D．双曲线
[解析] 当t>0时是一条射线；当t<0时，也是一条射线，故选C.
[答案] C
4．已知(t为参数)，若y＝1，则x＝________.
[解析] 当y＝1时，t2＝1，∴t＝±1，
当t＝1时，x＝2；当t＝－1时，x＝0.
∴x的值为2或0.
[答案] 2或0
5．在平面直角坐标系xOy中，动圆x2＋y2－8xcos θ－6ysin θ＋7cos2θ＋8＝0(θ∈R)的圆心为P(x，y)，求2x－y的取值范围．
[解] 由题设得(θ为参数，θ∈R)．
于是2x－y＝8cos θ－3sin θ＝sin(θ＋φ)，
所以－≤2x－y≤.
所以2x－y的取值范围是[－，]．
第2课时 参数方程和普通方程的互化
学习目标：1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.理解参数方程与普通方程的互相转化与应用．(难点)3.掌握参数方程化为普通方程的方法．(重点)
教材整理 参数方程和普通方程的互化
阅读教材P24～P26，完成下列问题．
1．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
2．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)
[解析] 消去sin2θ，得x＝2＋y，
又0≤sin2θ≤1，∴2≤x≤3.
[答案] C
2．圆x2＋(y＋1)2＝2的参数方程为( )
A.(θ为参数)
B.(θ为参数)
C.(θ为参数)
D.(θ为参数)
[解析] 由x＝cos θ，y＋1＝sin θ知参数方程为
(θ为参数)．故选D.
[答案] D
普通方程化为参数方程
【例1】 曲线的普通方程为＋＝1，写出它的参数方程．
[思路探究] 联想sin2θ＋cos2θ＝1可得参数方程．
[自主解答] 设＝cos θ，＝sin θ，
则(θ为参数)，即为所求的参数方程．
1．将圆的普通方程化为参数方程：
(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为
(θ为参数)；
(2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数)．
2．普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x＝f(t)，再计算y＝g(t))，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x＝f(t)，y＝g(t)调整t的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x，y的取值范围保持一致．
1．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________．
[解析] 把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝，y＝，
∴参数方程为(t为参数)．
[答案] (t为参数)
利用参数思想解题
【例2】 已知x、y满足x2＋(y－1)2＝1，求：
(1)3x＋4y的最大值和最小值；
(2)(x－3)2＋(y＋3)2的最大值和最小值．
[思路探究] 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决．
[自主解答] 由圆的普通方程x2＋(y－1)2＝1得圆的参数方程为(θ∈[0,2π))．
(1)3x＋4y＝3cos θ＋4sin θ＋4
＝4＋5sin(θ＋φ)，
其中tan φ＝，且φ的终边过点(4,3)．
∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，
∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9，
∴3x＋4y的最大值为9，最小值为－1.
(2)(x－3)2＋(y＋3)2
＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2
＝26＋8sin θ－6cos θ
＝26＋10sin(θ＋φ)．
其中tan φ＝－，
且φ的终边过点(4，－3)．
∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10，
∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36，
所以(x－3)2＋(y＋3)2的最大值为36，最小值为16.
1．参数思想是解决数学问题的重要思想，在参数方程中，参数(参变量)起着媒介作用，它是联系曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁．通过参数θ，间接建立曲线上任意一点的坐标间的联系，拓宽了解题思路，简化了思维过程．它是研究解析几何问题的重要工具．
2．运用参数思想解题的关键在于参数的选择．选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系．由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数．
3．(1)解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题．
(2)注意运用三角恒等式求最值：
asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ)．
其中tan φ＝(a≠0)，且φ的终边过点(a，b)．
2．若本例条件不变，如何求的取值范围？
[解] 由于(θ∈[0,2π))，
∴k＝＝，
∴sin θ－kcos θ＝k－3，
即sin(θ＋φ)＝k－3(φ由tan φ＝－k确定)，
∴sin(θ＋φ)＝.
依题意，得≤1，
∴2≤1，解得k≥，
即的取值范围是.
参数方程化为普通方程
[探究问题]
1．参数方程为什么要化为普通方程？
[提示] 参数方程直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，就容易判断了．
2．将参数方程化为普通方程时，常用的方法有哪些？
[提示] (1)代入法．先由一个方程中求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．教科书例3(1)用的就是代入法．
(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．教科书例3(2)就用此法．例如对于参数方程
如果t是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin2θ＋cos2θ＝1；如果θ是常数，t是参数，那么适当变形后可以利用(m＋n)2－(m－n)2＝4mn.
【例3】 在方程(a，b为正常数)中，
(1)当t为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？
(2)当t为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？
[思路探究] (1)运用加减消元法，消t；(2)当t＝0时，方程表示一个点，当t为非零常数时，利用平方关系消参数θ，化成普通方程，进而判定曲线形状．
[自主解答] 方程(a，b是正常数)，
(1)①×sin θ－②×cos θ得
xsin θ－ycos θ－asin θ＋bcos θ＝0.
∵cos θ、sin θ不同时为零，
∴方程表示一条直线．
(2)(ⅰ)当t为非零常数时，
原方程组为
③2＋④2得＋＝1，
即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一个圆．
(ⅱ)当t＝0时，表示点(a，b)．
1．消去参数的常用方法：
将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法．如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形．另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin2α＋cos2α＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，＋＝1等．
2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线．
3．将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状：
(1)(θ为参数，0≤θ≤π)；
(2)(θ为参数)；
(3)(a，b为大于零的常数，t为参数)．
[解] (1)将两式平方相加，得x2＋y2＝4.
∵0≤θ≤π，∴－2≤x≤2,0≤y≤2.
即方程的曲线表示圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分．
(2)由
得
即
∴x－y＝0.
∵0≤sin22θ≤1，
∴≤1－sin22θ≤1.
即方程x－y＝0表示一条线段．
(3)∵x＝，
∴t>0时，x∈[a，＋∞)，t<0时，x∈(－∞，－a]．
由x＝，
两边平方可得x2＝，①
由y＝两边平方可得
y2＝，②
①×－②×并化简，得－＝1(a，b为大于0的常数)，这就是所求的曲线方程，它表示的曲线是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线．
1．把方程xy＝1化为以t为参数的参数方程是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
2．下列在曲线(θ为参数)上的点是( )
A. B.
C．(2，) D．(1，)
[解析] 化为普通方程：y2＝1＋x(－1≤x≤1)，
当x＝－时，y＝±.
[答案] B
3．与参数方程(t为参数)等价的普通方程为( )
A．x2＋＝1
B．x2＋＝1(0≤x≤1)
C．x2＋＝1(0≤y≤2)
D．x2＋＝1(0≤x≤1,0≤y≤2)
[解析] x2＝t，＝1－t＝1－x2，x2＋＝1，
而由得0≤t≤1，
从而0≤x≤1,0≤y≤2.
[答案] D
4．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ＝4cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程(θ为参数)，若圆C1与C2相外切，则实数a＝________.
[解析] 圆C1的直角坐标方程为x2＋y2＝4x＋4y，其标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8，圆心为(2,2)，半径长为2，圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a|，由于圆C1与圆C2外切，则|C1C2|＝2＋|a|＝3?a＝±.
[答案] ±
5．化下列参数方程为普通方程．
(1)(t∈R且t≠－1)；
(2).
[解] (1)变形为
∴x≠－1，y≠2，∴x＋y＝1(x≠－1)．
(2)
②式平方结合①得y2＝x2＋2x，由x＝tan θ＋知
|x|≥2，
所以方程为(x＋1)2－y2＝1(|x|≥2)．
课时分层作业(五)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．参数方程(t为参数)的曲线必过点( )
A．(1,2) B．(－2,1)
C．(2,3) D．(0,1)
[解析] 代入检验知曲线经过点(2,3)．
[答案] C
2．已知O为原点，参数方程(θ为参数)上的任意一点为A，则OA＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] OA＝＝＝1，故选A.
[答案] A
3．直线l的参数方程为(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离是( )
A．|t1| B．2|t1|
C.|t1| D.|t1|
[解析] ∵P1(a＋t1，b＋t1)，P(a，b)，
∴|P1P|＝＝
＝|t1|.
[答案] C
4．圆的圆心坐标是( )
A．(0,2) B．(2,0)
C．(0，－2) D．(－2,0)
[解析] ∵x＝2cos θ，y－2＝2sin θ，
∴x2＋(y－2)2＝4，
∴圆心坐标是(0,2)，故选A.
[答案] A
5．圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )
A.(0≤θ<2π)
B.(0≤θ<2π)
C.(0≤θ<π)
D.(0≤θ<2π)
[解析] 圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为(0≤θ<2π)．
[答案] D
二、填空题
6．若点(－3，－3)在参数方程(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.
[解析] 将点(－3，－3)的坐标代入参数方程
(θ为参数)得
解得θ＝＋2kπ，k∈Z.
[答案] ＋2kπ，k∈Z
7．参数方程(α为参数)表示的图形是________．
[解析] ∵且cos2α＋sin2α＝1，
∴x2＋(y－1)2＝1，
∴该参数方程表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆．
[答案] 圆
8．已知某条曲线C的参数方程为(其中t为参数，a∈R)，点M(5,4)在该曲线上，则实数a＝________.
[解析] ∵点M(5,4)在曲线C上，
∴解得：∴a的值为1.
[答案] 1
三、解答题
9．已知曲线C的参数方程是(θ为参数，0≤θ<2π)，试判断点A(1,3)，B是否在曲线C上．
[解] 将A(1,3)的坐标代入
得即由0≤θ<2π得θ＝π.
将B的坐标代入
得即这样的角θ不存在．
所以点A在曲线C上，点B不在曲线C上．
10．已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
[解] (1)由ρ2－4ρcos＋6＝0得
ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
即x2＋y2－4x－4y＋6＝0为所求，
即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，
令x－2＝cos α，y－2＝sin α，
得圆的参数方程为(α为参数)．
(2)由(1)知，x＋y＝4＋(cos α＋sin α)
＝4＋2sin，
又－1≤sin≤1，
故x＋y的最大值为6，最小值为2.
[能力提升练]
1．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．36 B．6 C．26 D．25
[解析] 设P(2＋cos α，sin α)，代入得：
(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2
＝25＋sin2α＋cos2α－6cos α＋8sin α
＝26＋10sin(a－φ)，
∴最大值为36.
[答案] A
2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．
[解析] 将x2＋y2－x＝0配方，得2＋y2＝，∴圆的直径为1.设P(x，y)，
则x＝|OP|cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos2θ，
y＝|OP|sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，
∴圆x2＋y2－x＝0的参数方程为
(θ为参数)．
[答案] (θ为参数)
3．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则P到直线x－y＋4＝0的距离的最小值是________．
[解析] 由P在曲线上可得P的坐标为(2＋cos α，sin α)，
由点到直线的距离公式得d＝
＝，当cos＝－1时，
d最小，dmin＝＝－1＋3.
[答案] －1＋3
4．已知圆系方程为x2＋y2－2axcos φ－2aysin φ＝0(a>0且为已知常数，φ为参数)，
(1)求圆心的轨迹方程；
(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值．
[解] (1)由已知圆的标准方程为：
(x－acos φ)2＋(y－asin φ)2＝a2(a>0)．
设圆心坐标为(x，y)，则(φ为参数)，
消参数得圆心的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
(2)证明 由方程
得公共弦的方程：2axcos φ＋2aysin φ＝a2，即xcos φ＋y sin φ－＝0，
圆x2＋y2＝a2的圆心到公共弦的距离d＝为定值，
∴弦长l＝2＝a(定值)．
课时分层作业(六)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．曲线(θ为参数)的方程等价于( )
A．x＝ B．y＝
C．y＝± D．x2＋y2＝1
[解析] 由x＝|sin θ|得0≤x≤1；由y＝cos θ得－1≤y≤1.故选A.
[答案] A
2．参数方程(0≤t≤5)表示的曲线是( )
A．线段 B．双曲线的一支
C．圆弧 D．射线
[解析] 消去t，得x－3y－5＝0.
∵0≤t≤5，
∴－1≤y≤24.
[答案] A
3．直线y＝2x＋1的参数方程是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由y＝2x＋1知x，y可取全体实数，故排除A、D，在B、C中消去参数t，知C正确．
[答案] C
4．若x，y满足x2＋y2＝1，则x＋y的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] 由于圆x2＋y2＝1的参数方程为(θ为参数)，则x＋y＝sin θ＋cos θ＝2sin，故x＋y的最大值为2.故选B.
[答案] B
5．能化为普通方程x2＋y－1＝0的参数方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 对A，可化为x2＋y＝1(y∈[0,1])；对B，可化为x2＋y－1＝0；对C，可化为x2＋y－1＝0(x≥0)；对D，可化为y2＝4x2－4x4(x∈[－1,1])．
[答案] B
二、填空题
6．已知曲线C的参数方程是(α为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是________．
[解析] 曲线C的参数方程为(α为参数)，它表示以点(1,2)为圆心，以为半径的圆，则曲线C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，化为一般方程即x2＋y2－2x－4y＝0，化为极坐标方程得ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＝0，即ρ2＝2ρcos θ＋4ρsin θ，两边约去ρ得ρ＝2cos θ＋4sin θ.
[答案] ρ＝2cos θ＋4sin θ
7．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.
[解析] 由ρcos θ＝4，知x＝4.
又∴x3＝y2(x≥0)．
由得或
∴|AB|＝＝16.
[答案] 16
8．点(x，y)是曲线C：(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则的取值范围是________．
[解析] 曲线C：是以(－2,0)为圆心，1为半径的圆，即(x＋2)2＋y2＝1.
设＝k，∴y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，k取得最小值与最大值，
∴＝1，k2＝，
∴的范围为.
[答案]
三、解答题
9．已知曲线C的参数方程为(t为参数，t>0)，求曲线C的普通方程．
[解] 由x＝－两边平方得x2＝t＋－2，
又y＝3，则t＋＝(y≥6)．
代入x2＝t＋－2，得x2＝－2，
∴3x2－y＋6＝0(y≥6)．
故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0(y≥6)．
10．已知P(x，y)是圆x2＋y2－2y＝0上的动点．
(1)求2x＋y的取值范围；
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．
[解] 方程x2＋y2－2y＝0变形为x2＋(y－1)2＝1，
其参数方程为(θ为参数)．
(1)2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝sin(θ＋φ)＋1其中φ由tan φ＝2确定，
∴1－≤2x＋y≤1＋.
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R恒成立．
∵－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是－1，
∴当且仅当c≥－1时，x＋y＋c≥0恒成立．
[能力提升练]
1．已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为：(θ为参数)，以Ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos＝0，则圆C截直线所得弦长为( )
A. B．2
C．3 D．4
[解析] 圆C的参数方程为的圆心为(，1)，半径为3，直线普通方程为ρcos θcos －sin θsin ＝x－y＝0，即x－y＝0，圆心C(，1)到直线x－y＝0的距离为d＝＝1，所以圆C截直线所得弦长|AB|＝2＝2＝4.
[答案] D
2．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．
[解析] ρ＝2cos θ化为普通方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，则其参数方程为(α为参数)，即(α为参数)．
[答案] (α为参数)
3．若点(x，y)在圆(θ为参数)上，则x2＋y2的最小值是________．
[解析] 法一：由题意可知，x2＋y2＝(3＋2cos θ)2＋(－4＋2sin θ)2＝29＋12cos θ－16sin θ＝29＋20cos(θ＋φ)，当cos(θ＋φ)＝－1时最小，因此可得最小值为9.
法二：将原式转化为普通方程(x－3)2＋(y＋4)2＝4，它表示圆．令t＝x2＋y2，则t可看做圆上的点到点(0,0)的距离的平方，圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减去半径，tmin＝(－2)2＝9，所以x2＋y2的最小值为9.
[答案] 9
4．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
(2)判断直线l与圆C的位置关系．
[解] (1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，.又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，故直线OP的平面直角坐标方程为y＝x.
(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，
所以直线l的平面直角坐标方程为x＋y－2＝0.
又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径为r＝2，
圆心到直线l的距离d＝＝
