课件43张PPT。第二讲 参数方程二 圆锥曲线的参数方程连线的斜率 椭圆的参数方程及应用双曲线参数方程的应用抛物线的参数方程点击右图进入…Thank you for watching !二 圆锥曲线的参数方程
学习目标：1.理解椭圆的参数方程及其应用．(重点)2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点、易错点)
教材整理1 椭圆的参数方程
阅读教材P27～P29“思考”及以上部分，完成下列问题．
普通方程
参数方程
＋＝1(a>b>0)
(φ为参数)
＋＝1(a>b>0)
(φ为参数)
椭圆(φ为参数)的离心率为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由椭圆方程知a＝5，b＝4，∴c2＝9，c＝3，e＝.
[答案] B
教材整理2 双曲线的参数方程
阅读教材P29～P32，完成下列问题．
普通方程
参数方程
－＝1(a>0，b>0)
(φ为参数)
下列双曲线中，与双曲线(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )
A.－＝1 B.－＝－1
C.－x2＝1 D.－x2＝－1
[解析] 由x＝sec θ得，
x2＝＝＝3tan2θ＋3，
又∵y＝tan θ，
∴x2＝3y2＋3，即－y2＝1.
经验证可知，选项B合适．
[答案] B
教材整理3 抛物线的参数方程
阅读教材P33～P34“习题”以上部分，完成下列问题．
1．抛物线y2＝2px的参数方程是(t为参数)．
2．参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|＝________.
[解析] 抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，
|PF|等于点P(3，m)到准线x＝－1的距离，
即为4.
[答案] 4
椭圆的参数方程及应用
【例1】 将参数方程(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．
[思路探究] 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．
[自主解答] 由得
两式平方相加，得＋＝1.
∴a＝5，b＝3，c＝4.
因此方程表示焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为F1(4,0)和F2(－4,0)．
椭圆的参数方程(θ为参数，a，b为常数，且a>b>0)中，常数a，b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．
1．若本例的参数方程为(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？
[解] 将化为
两式平方相加，得＋＝1.
其中a＝5，b＝3，c＝4.
所以方程的曲线表示焦点在y轴上的椭圆，焦点坐标为F1(0，－4)与F2(0,4).
双曲线参数方程的应用
【例2】 求证：双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．
[思路探究] 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．
[自主解答] 由双曲线－＝1，得
两条渐近线的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，
设双曲线上任一点的坐标为(asec φ，btan φ)，
它到两渐近线的距离分别是d1和d2，
则d1·d2＝·
＝＝(定值)．
在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec2 φ－tan2 φ＝1的应用．
2．如图，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1、F2是两个焦点，证明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
[证明] 设P(sec φ，tan φ)，
∵F1(－，0)，F2(，0)，
∴|PF1|＝
＝，
|PF2|＝
＝，
|PF1|·|PF2|＝
＝2sec2φ－1.
∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1，
∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
抛物线的参数方程
【例3】 设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQ⊥l于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程．
[思路探究] 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．
[自主解答] 设P点的坐标为(2pt2,2pt)(t为参数)，
当t≠0时，
直线OP的方程为y＝x，
QF的方程为y＝－2t，
它们的交点M(x，y)由方程组
确定，
两式相乘，消去t，
得y2＝－2x，
∴点M的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0(x≠0)．
当t＝0时，M(0,0)满足题意，
且适合方程2x2－px＋y2＝0.
故所求的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0.
1．抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数)，参数t为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．
3．已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E，若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.
[解析] 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y2＝2px，所以y＝6p，所以E，F，所以＋3＝，所以p2＋4p－12＝0，解得p＝2(负值舍去)．
[答案] 2
1．参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A．x2＋＝1 B．x2＋＝1
C．y2＋＝1 D．y2＋＝1
[解析] 易知cos θ＝x，sin θ＝，
∴x2＋＝1，故选A.
[答案] A
2．方程(θ为参数，ab≠0)表示的曲线是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．双曲线的一部分
[解析] 由xcos θ＝a，∴cos θ＝，
代入y＝bcos θ，得xy＝ab，
又由y＝bcos θ知，y∈[－|b|，|b|]，
∴曲线应为双曲线的一部分．
[答案] D
3．圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________．
[解析] 将参数方程化为普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点在x轴正半轴上的抛物线，由2p＝4?p＝2，则焦点坐标为(1,0)．
[答案] (1,0)
4．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.
[解析] ∵消去参数t得2x＋y－3＝0.
又消去参数θ得＋＝1.
方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝，将代入＋＝1，得＝1.
又a>0，∴a＝.
[答案]
5．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ＜π)和(t∈R)，求它们的交点坐标．
[解] 将(0≤θ＜π)化为普通方程得：＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－)，
将x＝t2，y＝t代入得：t4＋t2－1＝0，解得t2＝，
∴t＝(y＝t≥0)，x＝t2＝×＝1，
∴交点坐标为.
课时分层作业(七)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．曲线C：(φ为参数)的离心率为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题设，得＋＝1，∴a2＝9，b2＝5，c2＝4，
因此e＝＝.
[答案] A
2．已知曲线(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点坐标是( )
A．(3,4) B.
C．(－3，－4) D.
[解析] 因为＝tan θ＝tan＝1，所以tan θ＝，所以cos θ＝，sin θ＝，代入得P点坐标为.
[答案] D
3．参数方程(α为参数)的普通方程是( )
A．y2－x2＝1
B．x2－y2＝1
C．y2－x2＝1(1≤y≤)
D．y2－x2＝1(|x|≤)
[解析] 因为x2＝1＋sin α，
所以sin α＝x2－1.
又因为y2＝2＋sin α＝2＋(x2－1)，
所以y2－x2＝1.
∵－1≤sin α≤1，y＝，
∴1≤y≤，
∴普通方程为y2－x2＝1，y∈[1，]．
[答案] C
4．点P(1,0)到曲线(参数t∈R)上的点的最短距离为( )
A．0 B．1
C. D．2
[解析] d2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2，
由t2≥0得d2≥1，故dmin＝1.
[答案] B
5．方程(t为参数)表示的曲线是( )
A．双曲线 B．双曲线的上支
C．双曲线的下支 D．圆
[解析] 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：
x2－y2＝(2t－2－t)2－(2t＋2－t)2＝－4，
即y2－x2＝4.
又注意到2t＞0,2t＋2－t≥2＝2，得y≥2.
可见与以上参数方程等价的普通方程为：
y2－x2＝4(y≥2)．
显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支．
[答案] B
二、填空题
6．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为________．
[解析] 由
得点M的坐标为(1,2)
直线OM的斜率k＝＝2.
[答案] 2
7．设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
[解析] 化为普通方程为y＝x2，由于ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sin θ＝0.
[答案] ρcos2θ－sin θ＝0
8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
[解析] 由得y＝，又由得x2＋y2＝2.
由得
即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)．
[答案] (1,1)
三、解答题
9．如图所示，连接原点O和抛物线y＝x2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线？
[解] 抛物线标准方程为x2＝2y，其参数方程为得M(2t,2t2)．
设P(x，y)，则M是OP中点．
∴
∴(t为参数)，
消去t得y＝x2，是以y轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．
10．已知直线l的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C的参数方程是(θ为参数)，求直线l和椭圆C相交所成弦的弦长．
[解] 由题意知直线和椭圆方程可化为：
x＋y－1＝0， ①
＋y2＝1， ②
①②联立，消去y得：5x2－8x＝0，
解得x1＝0，x2＝.
设直线与椭圆交于A、B两点，
则A、B两点直角坐标分别为(0,1)，，
则|AB|＝＝，
故所求的弦长为.
[能力提升练]
1．P为双曲线(θ为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是( )
A．9x2－16y2＝16(y≠0)
B．9x2＋16y2＝16(y≠0)
C．9x2－16y2＝1(y≠0)
D．9x2＋16y2＝1(y≠0)
[解析] 由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，
故F1(－5,0)，F2(5,0)，
设P(4sec θ，3tan θ)，重心M(x，y)，则
x＝＝sec θ，y＝＝tan θ.
从而有9x2－16y2＝16(y≠0)．
[答案] A
2．若曲线(θ为参数)与直线x＝m相交于不同两点，则m的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．[0,1)
[解析] 将曲线
化为普通方程得(y＋1)2＝－(x－1)(0≤x≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m<1.
[答案] D
3．对任意实数，直线y＝x＋b与椭圆(0≤θ≤2π)，恒有公共点，则b的取值范围是________．
[解析] 将(2cos θ，4sin θ)代入y＝x＋b得：
4sin θ＝2cos θ＋b.
∵恒有公共点，∴以上方程有解．
令f(θ)＝4sin θ－2cos θ＝2sin(θ＋φ)，
∴－2≤f(θ)≤2，
∴－2≤b≤2.
[答案] [－2，2]
4．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
[解] (1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，从而点Q到直线l的距离为
d＝
＝
＝cos＋2，由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
