课件48张PPT。第二讲 参数方程三 直线的参数方程直线参数方程的简单应用参数方程与极坐标的综合问题直线的参数方程点击右图进入…Thank you for watching !三 直线的参数方程
学习目标：1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义．(重点、难点)2.能用直线的参数方程解决简单问题．(重点、易错点)
教材整理 直线的参数方程
阅读教材P35～P39，完成下列问题．
经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，其中参数t的几何意义是：|t|是直线l上任一点M(x，y)到定点M0(x0，y0)的距离，即|t|＝||.
曲线(t为参数)与坐标轴的交点是( )
A.、
B.、
C．(0，－4)、(8,0)
D.、(8,0)
[解析] 当x＝0时，t＝，而y＝1－2t，即y＝，得与y轴的交点为；当y＝0时，t＝，而x＝－2＋5t，即x＝，得与x轴的交点为.
[答案] B
直线参数方程的简单应用
【例1】 已知直线的参数方程为(t为参数)，则该直线被圆x2＋y2＝9截得的弦长是多少？
[思路探究] 考虑参数方程标准形式中参数t的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．
[自主解答] 将参数方程(t为参数)转化为直线参数方程的标准形式为(t′为参数)，
代入圆方程x2＋y2＝9，
得2＋2＝9，
整理，有t′2＋8t′－4＝0.
由根与系数的关系，t′1＋t′2＝－，
t′1·t′2＝－4.根据参数t′的几何意义．
|t′1－t2′|＝＝.
故直线被圆截得的弦长为.
1．在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t1－t2|来求．本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t的几何意义．
2．根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：
(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|；
(2)定点M0是弦M1M2的中点?t1＋t2＝0；
(3)设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝(由此可求|M1M2|及中点坐标)．
1．在极坐标系中，已知圆心C，半径r＝1.
(1)求圆的直角坐标方程；
(2)若直线(t为参数)与圆交于A，B两点，求弦AB的长．
[解] (1)由已知得圆心C，半径为1，圆的方程为＋＝1，
即x2＋y2－3x－3y＋8＝0.
(2)由(t为参数)得直线的直角坐标系方程x－y＋1＝0，
圆心到直线的距离d＝＝，
所以2＋d2＝1，解得|AB|＝.
参数方程与极坐标的综合问题
【例2】 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.
[思路探究] (1)利用公式可求．
(2)可考虑将参数方程、极坐标方程化为普通方程，求交点A、B的坐标，也可考虑利用t的几何意义求解．
[自主解答] (1)由ρ＝2sin θ，
得ρ2＝2ρsin θ，
∴x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5.
(2)法一 直线l的普通方程为y＝－x＋3＋.
与圆C：x2＋(y－)2＝5联立，消去y，得x2－3x＋2＝0，
解得或
不妨设A(1,2＋)，B(2,1＋)．
又点P的坐标为(3，)，
故|PA|＋|PB|＝＋＝3.
法二 将l的参数方程代入x2＋(y－)2＝5，得2＋2＝5，
即t2－3t＋4＝0，(*)
由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0.
故可设t1，t2是(*)式的两个实根，
∴t1＋t2＝3，且t1t2＝4，
∴t1>0，t2>0.
又直线l过点P(3，)，
∴由t的几何意义，得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝3.
1．第(2)问中，法二主要运用直线参数方程中参数t的几何意义，简化了计算．
2．本题将所给的方程化为考生所熟悉的普通方程，然后去解决问题，这是考生在解决参数方程和极坐标方程相互交织问题时的一个重要的思路．
2．已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
[解] (1)由已知可得A，
B，
C，
D，
即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．
(2)设P(2cos φ，3sin φ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2
＋|PD|2，则S＝(2cos φ－1)2＋(－3sin φ)2＋(－－2cos φ)2＋(1－3sin φ)2＋(－1－2cos φ)2＋(－－3sin φ)2＋(－2cos φ)2＋(－1－3sin φ)2＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.
∵0≤sin2φ≤1，∴S的取值范围是[32,52]．
直线的参数方程
[探究问题]
1．若直线l的倾斜角α＝0，则直线l的参数方程是什么？
[提示] 参数方程为(t为参数)．
2．如何理解直线参数方程中参数的几何意义？
[提示] 过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段的长度，即|t|＝||.
①当t＞0时，的方向向上；
②当t＜0时，的方向向下；
③当t＝0时，点M与点M0重合．
【例3】 已知直线l：(t为参数)．
(1)求直线l的倾斜角；
(2)若点M(－3，0)在直线l上，求t，并说明t的几何意义．
[思路探究] 将直线l的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t.
[自主解答] (1)由于直线l：
(t为参数)表示过点M0(－，2)且斜率为tan 的直线，
故直线l的倾斜角α＝.
(2)由(1)知，直线l的单位方向向量
e＝＝.
∵M0(－，2)，M(－3，0)，
∴＝(－2，－2)＝－4＝－4e，
∴点M对应的参数t＝－4，
几何意义为||＝4，且与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下方)．
1．一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M(x，y)的参数方程为(t为参数)，这是直线参数方程的标准形式．
2．直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，y0)，斜率为的直线的参数方程是(a、b为常数，t为参数)．
3．设直线l过点P(－3,3)，且倾斜角为.
(1)写出直线l的参数方程；
(2)设此直线与曲线C：(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
[解] (1)直线l的参数方程为
(t为参数)．
(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0.
把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得
42＋2－16＝0，
即13t2＋4(3＋12)t＋116＝0.
由t的几何意义，
知|PA|·|PB|＝|t1·t2|，
故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝.
1．直线(t为参数)的倾斜角α等于( )
A．30° B．60°
C．－45° D．135°
[解析] 由直线的参数方程知倾斜角α等于60°，故选B.
[答案] B
2．直线(α为参数，0≤a＜π)必过点( )
A．(1，－2) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(2，－1)
[解析] 直线表示过点(1，－2)的直线．
[答案] A
3．已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为( )
A．1 B．－1 C. D．－
[解析] 消去参数t，得方程x＋y－1＝0，
∴直线l的斜率k＝－1.
[答案] B
4．若直线(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.
[解析] 将化为y＝－x＋，
∴斜率k1＝－，
显然k＝0时，直线4x＋ky＝1与上述直线不垂直，
∴k≠0，从而直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－.
依题意k1k2＝－1，即－×＝－1，
∴k＝－6.
[答案] －6
5．化直线l的参数方程(t为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义．
[解] 由消去参数t，得
直线l的普通方程为x－y＋3＋1＝0.
故k＝＝tan α，即α＝，
因此直线l的倾斜角为.
又得(x＋3)2＋(y－1)2＝4t2，
∴|t|＝.
故|t|是t对应点M到定点M0(－3,1)的向量的模的一半．
课时分层作业(八)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(t为参数)
D.(t为参数)
[解析] 题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，所以可排除选项A、D.而选项B中直线的普通方程为2x－y＋3＝0，故选C.
[答案] C
2．直线(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是( )
A．1 B.
C．10 D．2
[解析] 因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即＝.
[答案] B
3．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )
A．直线、直线 B．直线、圆
C．圆、圆 D．圆、直线
[解析] ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ，
即x2＋y2＝x，即2＋y2＝，
∴ρ＝cos θ所表示的图形是圆．
由(t为参数)消参得：x＋y＝1，表示直线．
[答案] D
4．直线与曲线ρ＝2cos θ相交，截得的弦长为( )
A. B.
C. D.
[解析] 曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，标准方程为(x－1)2＋y2＝1，表示以点(1,0)为圆心，半径长为1的圆，直线的一般式方程为x＋2y－3＝0，则圆心到直线的距离为d＝＝，因此直线与圆相交所得的弦长为2＝2＝.
[答案] A
5．直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A、B两点，则AB的中点坐标为( )
A．(3，－3) B．(－，3)
C．(，－3) D．(3，－)
[解析] 将x＝1＋，y＝－3＋t代入圆方程，
得2＋2＝16，
∴t2－8t＋12＝0，则t1＝2，t2＝6，
因此AB的中点M对应参数t＝＝4，
∴x＝1＋×4＝3，y＝－3＋×4＝－，
故AB中点M的坐标为(3，－)．
[答案] D
二、填空题
6．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
[解析] 直线l：消去参数t后得y＝x－a.
椭圆C：消去参数φ后得＋＝1.
又椭圆C的右顶点为(3,0)，代入y＝x－a得a＝3.
[答案] 3
7．若直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为________．
[解析] 由参数方程可知，cos θ＝－，sin θ＝(θ为倾斜角)，
∴tan θ＝－，即为直线斜率．
[答案] －
8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
[解析] 曲线C1和C2的普通方程分别为
(0≤x≤，0≤y≤)，
联立①②解得
∴C1与C2的交点坐标为(2,1)．
[答案] (2,1)
三、解答题
9．在直角坐标系中，参数方程为(t为参数)的直线l被以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，极坐标方程为ρ＝2cos θ的曲线C所截，求截得的弦长．
[解] 参数方程为(t为参数)表示的直线l是过点A(2,0)，倾斜角为30°，极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线C为圆x2＋y2－2x＝0.
此圆的圆心为(1,0)，半径为1，且圆C也过点A(2,0)；设直线l与圆C的另一个交点为B，在Rt△OAB中，|AB|＝2cos 30°＝.
10．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
[解] 因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.
同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.
联立方程组
解得公共点的坐标为(2,2)，.
[能力提升练]
1．直线的参数方程为M0(－1,2)和M(x，y)是该直线上的定点和动点，则t的几何意义是( )
A．有向线段M0M的数量 B．有向线段MM0的数量
C．|M0M| D．以上都不是
[解析] 参数方程可化为
[答案] B
2．若直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角α为( )
A. B.
C. D.或
[解析] 直线化为＝tan α，即y＝tan α·x，
圆方程化为(x－4)2＋y2＝4，
∴由＝2?tan2α＝，
∴tan α＝±，又α∈[0，π)，∴α＝或.
[答案] D
3．直线(t为参数)被圆x2＋y2＝4截得的弦长为________．
[解析] 直线为x＋y－1＝0，圆心到直线的距离d＝＝，
弦长的一半为＝，得弦长为.
[答案]
4．已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程是ρ＝，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M(－1,0)，直线l与曲线C交于A、B两点．
(1)求直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；
(2)线段MA，MB长度分别记为|MA|，|MB|，求|MA|·|MB|的值．
[解] (1)直线l：(t为参数)的直角坐标方程为x－y＋1＝0，
所以极坐标方程为ρcos＝－1，
曲线C：ρ＝即(ρcos θ)2＝ρsin θ，
所以曲线的普通方程为y＝x2.
(2)将(t为参数)
代入y＝x2得t2－3t＋2＝0，∴t1t2＝2，
∴|MA|·|MB|＝|t1t2|＝2.
