课件34张PPT。第二讲 参数方程四 渐开线与摆线基圆线头定圆摆线无滑动地定点运动平摆线圆的渐开线的参数方程圆的摆线的参数方程点击右图进入…Thank you for watching !四 渐开线与摆线
学习目标：1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．(重点)2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例．(难点)
教材整理1 渐开线及其参数方程
阅读教材P40～P41“思考”及以上部分，完成下列问题．
1．把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐渐展开，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．
2．设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)．
教材整理2 摆线及其参数方程
阅读教材P41～P42，完成下列问题．
1．当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点运动的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．
2．设圆的半径为r，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是(φ是参数)．
(φ为参数)表示的是( )
A．半径为5的圆的渐开线的参数方程
B．半径为5的圆的摆线的参数方程
C．直径为5的圆的渐开线的参数方程
D．直径为5的圆的摆线的参数方程
[解析] 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确．
[答案] B
圆的渐开线的参数方程
【例1】 已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A，B对应的参数分别是和，求A，B两点的距离．
[思路探究] 先写出圆的渐开线的参数方程，再把A，B对应的参数代入参数方程可得对应的A，B两点的坐标，然后使用两点之间的距离公式可得A，B之间的距离．
[自主解答] 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是(φ为参数)，
分别把φ＝和φ＝代入，
可得A，B两点的坐标分别为
A，B.
那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为
|AB|＝
＝.
即A、B两点之间的距离为
.
根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．
1．当φ＝，时，求出渐开线上的对应点A，B，并求出A，B的距离．
[解] 将φ＝代入参数方程，得
把φ＝代入方程，得
∴A，点B.
因此|AB|＝＝2，
故点A，B间的距离为2.
圆的摆线的参数方程
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．
[思路探究] 根据圆的摆线的参数方程(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．
[自主解答] 令y＝0，可得r(1－cos φ)＝0，由于r>0，即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝r(φ－sin φ)，得x＝r(2kπ－sin 2kπ)．
又因为x＝2，
所以r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得r＝(k∈Z)．
又由实际可知r>0，所以r＝(k∈N＋)．易知，当k＝1时，r取最大值为.
代入即可得圆的摆线的参数方程为
(φ为参数)
圆的渐开线的参数方程为
(φ为参数)．
根据摆线的定义和求解参数方程的过程可知其中的参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．
2．已知一个圆的摆线方程是，(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
[解] 首先根据摆线的参数方程可知
圆的半径为4，所以面积为16π，
该圆对应的渐开线的参数方程是：
(φ为参数)．
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )
A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同
[解析] 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．故选C.
[答案] C
2．圆的渐开线(φ为参数)上与φ＝对应点的直角坐标为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
3．圆(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．π B．3π
C．6π D．10π
[解析] 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为(φ为参数)，把y＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．而x＝3φ－3sin φ＝6kπ(k∈Z)．
[答案] C
4．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________．
[解析] 由圆的渐开线的参数方程
得(φ为参数)．
[答案] (φ为参数)
5．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．
[解] 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是
(φ为参数)．
以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，∴摆线的参数方程为(φ为参数)．
课时分层作业(九)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( )
A．π B．2π C．3π D．4π
[解析] 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B.
[答案] B
2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点．
其中正确的说法有( )
A．①③ B．②④
C．②③ D．①③④
[解析] ①错，②正确，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，故③正确，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．故④错误，故选C.
[答案] C
3．当φ＝2π时，圆的渐开线上的点是( )
A．(6,0) B．(6,6π)
C．(6，－12π) D．(－π，12π)
[解析] 当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程．
∴x＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6，
y＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π.
[答案] C
4．已知一个圆的参数方程为(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为( )
A.－1 B.
C. D.
[解析] 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得
即A，
∴|AB|＝＝.
[答案] C
5．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 圆的摆线的参数方程为
令r(1－cos φ)＝0，
得：φ＝2kπ，代入x＝r(φ－sin φ)
得：x＝r(2kπ－sin 2kπ)，又过(1,0)．
∴r(2kπ－sin 2kπ)＝1，∴r＝.
又r＞0，∴k∈N＋.
[答案] A
二、填空题
6．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数φ＝，则点P的坐标为________．
[解析] 由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)．
当φ＝时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为P(π，2)．
[答案] (π，2)
7．已知平摆线的方程为(α为参数)，则该平摆线的拱高是________，周期是________．
[解析] 由已知方程可化为
知基圆半径为r＝1，
∴拱高为2r＝2，周期为2π.
[答案] 2 2π
8．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．
[解析] 根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2＋y2＝36，整理可得＋＝1，这是一个焦点在x轴上的椭圆．c＝＝＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．
[答案] (6，0)和(－6，0)
三、解答题
9．已知圆C的参数方程是(α为参数)和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么位置关系？
(2)写出平移后圆的渐开线方程．
[解] (1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线x－y－6＝0的距离为d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．
(2)由于圆的半径是6，所以可得渐开线方程是(φ为参数)．
10．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．
[解] 因为基圆的直径为22 mm，所以基圆的半径为11 mm，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为
(φ为参数)．
[能力提升练]
1．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中、、、…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )
A．3π B．4π
C．5π D．6π
[解析] 根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π，所以曲线AEFGH的长是5π.
[答案] C
2．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．
[解析] 关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．
[答案] (φ为参数)
3．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．
[解析] 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的坐标为.
[答案] 2
4．如图，若点Q在半径AP上(或在半径AP的延长线上)，当车轮滚动时，点Q的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ|＝或|AQ|＝，请推出Q的轨迹的参数方程．
[解] 设Q(x，y)、P(x0，y0)，若A(rθ，r)，
则当|AQ|＝时，
有代入
∴点Q的轨迹的参数方程为
(θ为参数)．
当AQ＝时，有
代入
∴点Q的轨迹方程为(θ为参数)．
