课件48张PPT。第二讲 参数方程章末复习课圆锥曲线的参数方程及应用直线的参数方程及应用参数法及应用曲线的参数方程与普通方程的互化Thank you for watching !章末综合测评(二) 参数方程
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列点不在直线(t为参数)上的是( )
A．(－1,2) B．(2，－1)
C．(3，－2) D．(－3,2)
[解析] 直线l的普通方程为x＋y－1＝0，
因此点(－3,2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.
[答案] D
2．圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q(－2,2)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )
A. B.π C.π D.π
[解析] ∵点Q(－2,2)在圆上，
∴且0≤θ<2π，∴θ＝π.
[答案] B
3．直线(t为参数)的斜率为( )
A．2 B．－2 C. D．－
[解析] 直线的普通方程为2x＋y－8＝0，
∴斜率k＝－2.
[答案] B
4．已知O为原点，当θ＝－时，参数方程
(θ为参数)上的点为A，则直线OA的倾斜角为( )
A. B. C. D.
[解析] 当θ＝－时，x＝，y＝－，
∴kOA＝tan α＝＝－，且0≤α<π，
因此α＝.
[答案] C
5．已知A(4sin θ，6cos θ)，B(－4cos θ，6sin θ)，当θ为一切实数时，线段AB的中点轨迹为( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
[解析] 设线段AB的中点为M(x，y)，
则(θ为参数)，
∴
∴(3x＋2y)2＋(3x－2y)2＝144，
整理得＋＝1，表示椭圆．
[答案] C
6．椭圆(θ为参数)的离心率是( )
A. B.
C. D.
[解析] 椭圆的标准方程为＋＝1，∴e＝.故选A.
[答案] A
7．已知圆M：x2＋y2－2x－4y＝10，则圆心M到直线(t为参数)的距离为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 由题意易知圆的圆心M(1,2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x－4y－5＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝2.
[答案] B
8．若直线(t为参数)与圆
(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为( )
A.或 B.或
C.或 D．－或－
[解析] 直线的普通方程为y＝tan α·x，圆的普通方程为(x－4)2＋y2＝4，由于直线与圆相切，则＝2.∴tan α＝±，∴α＝或.故选A.
[答案] A
9．若直线y＝x－b与曲线θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是( )
A．(2－，1)
B．[2－，2＋]
C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞)
D．(2－，2＋)
[解析] 由消去θ，得
(x－2)2＋y2＝1.(*)
将y＝x－b代入(*)，化简得
2x2－(4＋2b)x＋b2＋3＝0，
依题意，Δ＝[－(4＋2b)]2－4×2(b2＋3)>0，
解得2－[答案] D
10．实数x，y满足3x2＋2y2＝6x，则x2＋y2的最大值是( )
A．2 B．4
C. D．5
[解析] 由3x2＋2y2＝6x，得3(x－1)2＋2y2＝3，
令x＝1＋cos θ，y＝sin θ，代入x2＋y2，得
x2＋y2＝(1＋cos θ)2＋sin2θ＝－(cos θ－2)2＋，∴当cos θ＝1时，(x2＋y2)max＝4.
[答案] B
11．参数方程(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( )
A．椭圆的一部分
B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分，且过点
D．抛物线的一部分，且过点
[解析] 由y＝cos2
＝＝，
可得sin θ＝2y－1，
由x＝ 得x2－1＝sin θ，
∴参数方程可化为普通方程x2＝2y.
又x＝∈[0，]，故选D.
[答案] D
12．已知直线l：(t为参数)，抛物线C的方程y2＝2x，l与C交于P1，P2，则点A(0,2)到P1，P2两点距离之和是( )
A．4＋ B．2(2＋)
C．4(2＋) D．8＋
[解析] 将直线l参数方程化为(t′为参数)，代入y2＝2x，得t′2＋4(2＋)t′＋16＝0，设其两根为t1′、t2′，
则t1′＋t2′＝－4(2＋)，
t1′t2′＝16>0.
由此知在l上两点P1，P2都在A(0,2)的下方，则|AP1|＋|AP2|＝|t1′|＋|t2′|＝|t1′＋t2′|＝4(2＋)．
[答案] C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．双曲线(φ是参数)的渐近线方程为________．
[解析] 化参数方程为普通方程，得y2－x2＝1.故其渐近线为y＝±x，即x±y＝0.
[答案] x±y＝0
14．在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝(ρ∈R)垂直，则直线极坐标方程为________．
[解析] 由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝的斜率是，所求直线是过点(1,0)，且斜率是－，所以直线方程为y＝－(x－1)，化为极坐标方程ρsin θ＝－(ρcos θ－1)，化简得2ρsin＝1.
[答案] 2ρsin＝1或2ρcos＝1或ρcos θ＋ρsin θ＝1
15．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．
[解析] 曲线可化为y＝(x－2)2，射线θ＝可化为y＝x(x≥0)，联立这两个方程得：x2－5x＋4＝0，点A，B的横坐标就是此方程的根，线段AB的中点的直角坐标为.
[答案]
16．在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a>b>0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．
[解析] 由已知可得椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由ρsin＝m可得ρsin θ＋ρcos θ＝m，即直线的普通方程为x＋y＝m.又圆的普通方程为x2＋y2＝b2，不妨设直线l经过椭圆C的右焦点(c,0)，则得c＝m.又因为直线l与圆O相切，所以＝b，因此c＝b，即c2＝2(a2－c2)．整理，得＝，故椭圆C的离心率为e＝.
[答案]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知圆O的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)．
(1)求圆心和半径；
(2)若圆O上点M对应的参数θ＝，求点M的坐标．
[解] (1)由(0≤θ<2π)，
平方得x2＋y2＝4，
∴圆心O(0,0)，半径r＝2.
(2)当θ＝时，x＝2cos θ＝1，y＝2sin θ＝－，
∴点M的坐标为(1，－)．
18．(本小题满分12分)已知曲线C：(φ为参数)．
(1)将C的方程化为普通方程；
(2)若点P(x，y)是曲线C上的动点，求2x＋y的取值范围．
[解] (1)由曲线C：得
＋＝1即＋＝1.
(2)2x＋y＝8cos φ＋3sin φ＝sin(φ＋θ)，
，
∴2x＋y∈[－，]，
∴2x＋y的取值范围是[－，]．
19．(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．
[解] (1)由曲线C：得x2＋y2＝16，
∴曲线C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)将代入x2＋y2＝16，
整理，得t2＋3t－9＝0.
设A，B对应的参数为t1，t2，则
t1＋t2＝－3，t1t2＝－9.
|AB|＝|t1－t2|＝＝3.
20．(本小题满分12分)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
[解] (1)依题意有P(2cos α，2sin α)，
Q(2cos 2α，2sin 2α)，
因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M点到坐标原点的距离
d＝＝(0＜α＜2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；
(2)若曲线C与直线相交于不同的两点M，N，求|PM|＋|PN|的取值范围．
[解] (1)直线l的参数方程为(t为参数)．
∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，所以C：x2＋y2＝4x.
(2)直线l的参数方程为(t为参数)，代入C：x2＋y2＝4x，得
t2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0，
则有
∴sin α·cos α>0，又α∈[0，π)，
所以α∈，t1<0，t2<0.
而|PM|＋|PN|
＝＋
＝|t1|＋|t2|
＝－t1－t2＝4(sin α＋cos α)＝4sin.
∵α∈，∴α＋∈，
∴所以|PM|＋|PN|的取值范围为(4,4]．
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2 B1的面积．
[解] (1)C1是圆，C2是椭圆．
当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.
当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.
(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1.
当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝.
当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．
故四边形A1A2B2B1的面积为
＝.
[自我校对] ①圆的参数方程 ②圆锥曲线的参数方程 ③直线的参数方程
圆锥曲线的参数方程及应用
对于椭圆的参数方程，要明确a，b的几何意义以及离心角φ的意义，要分清椭圆上一点的离心角φ和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线和抛物线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式．
【例1】 在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值和最小值．
[规范解答] ∵椭圆＋y2＝1的参数方程为
(φ为参数)．
故设动点P(cos φ，sin φ)，其中φ∈[0,2π)．
因此S＝x＋y＝cos φ＋sin φ
＝2＝2sin，
∴当φ＝时，S取得最大值2；
当φ＝时，S取得最小值－2.
1．一直线经过P(1,1)点，倾斜角为α，它与椭圆＋y2＝1相交于P1、P2两点．当α取何值时，|PP1|·|PP2|有最值，并求出最值．
[解] 设直线方程为(t为参数)，代入椭圆方程得
(cos2α＋4sin2α)t2＋(2cos α＋8sin α)t＋1＝0.
∵Δ＝(2cos α＋8sin α)2－4(cos2α＋4sin2α)＞0，
∴tan α＜－，或tan α＞0.
|PP1|·|PP2|＝t1·t2＝，
＝
＝
＝＋，
tan2α→＋∞时，(|PP1|·|PP2|)min＝，
此时α＝，
|PP1|·|PP2|无最大值.
直线的参数方程及应用
直线参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义．
【例2】 直线l过点P0(－4,0)，它的参数方程为(t为参数)与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点，
(1)求弦长|AB|；
(2)过P0作圆的切线，求切线长．
[规范解答] 将直线l的参数方程代入圆的方程，
得＋＝7，
整理得t2－4t＋9＝0.
(1)设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，
由根与系数的关系得t1＋t2＝4，t1·t2＝9.
故|AB|＝|t2－t1|＝＝2.
(2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，则
|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9，
∴切线长|P0T|＝3.
2．已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值．
[解] 因为实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，所以点(x，y)可视为圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点，于是可利用圆的参数方程来求解．
设(θ为参数)，
则x2＋y2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2
＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋6sin.
因为－1≤sin≤1，
所以11－6≤x2＋y2≤11＋6，
所以x2＋y2的最大值为11＋6，
最小值为11－6.
参数法及应用
参数方法是一种重要的数学方法，尤其在运动变化型问题中，若能引入参数作桥梁，沟通变量之间的联系，既有利于揭示运动变化的本质规律，还能把多个变量统一体现在一个参变量上．但一定要注意，利用参数表示曲线的方程时，要充分考虑到参数的取值范围．
【例3】 如图，已知直线l过点P(2，0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：
(1)P、M两点间的距离|PM|；
(2)线段AB的长|AB|.
[规范解答] (1)∵直线l过点P(2,0)，斜率为，
设直线的倾斜角为α，tan α＝，sin α＝，cos α＝，
∴直线l的参数方程为(t为参数)．
∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中，
整理得8t2－15t－50＝0，
则Δ＝(－15)2－4×8×(－50)>0.
设这个二次方程的两个根分别为t1、t2，
由根与系数的关系，得t1＋t2＝，t1t2＝－，
由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得
|PM|＝＝.
(2)|AB|＝|t2－t1|
＝＝，
因此线段AB的长为.
3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M是曲线C1上的动点．
(1)求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程；
(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P到直线l距离的最大值．
[解] (1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O(0,0)，
设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得
x＝(0＋4cos θ)＝2cos θ，
y＝(0＋4sin θ)＝2sin θ，
所以点P的坐标为(2cos θ，2sin θ)，
因此点P的轨迹的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)，
消去参数θ，得点P轨迹的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
(2)由直角坐标与极坐标关系得
直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
又由(1)知，点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，
因为原点(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为
＝＝，
所以点P到直线l距离的最大值为2＋.
曲线的参数方程与普通方程的互化
参数方程与普通方程的相互转化体现了函数与方程的紧密联系和实际应用．
【例4】 求方程4x2＋y2＝16的参数方程
(1)设y＝4sin θ，θ为参数；
(2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数．
[规范解答] (1)把y＝4sin θ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，
于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ.
∴x＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x＝2cos θ，
因此4x2＋y2＝16的参数方程是
(θ为参数)．
(2)设M(x，y)是曲线4x2＋y2＝16上异于A的任一点，则＝k(x≠0)，将y＝kx＋4代入方程，得x[(4＋k2)x＋8k]＝0，
∴易知A(0,4)也适合此方程．
另有一点
∴所求的参数方程为(k为参数)
和
4．将参数方程(t为参数)化为普通方程．
[解] 由x＝t＋1得t＝(x－1)，代入y＝t2－1，
得y＝(x－1)2－1，即为所求普通方程．
1．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．
[解析] 由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2得x＋y＝－2.
方法一：由得y2＝8x，
联立得即交点坐标为(2，－4)．
方法二：把代入x＋y＋2＝0得t2＋2t＋2＝0，解得t＝－，∴即交点坐标为(2，－4)．
[答案] (2，－4)
2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝______.
[解析] 由ρ(sin θ－3cos θ)＝0，得ρsin θ＝3ρcos θ，则y＝3x.
由得y2－x2＝4.
由可得或
不妨设A，则B，
故|AB|＝＝2.
[答案] 2
3．已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为________．
[解析] 由得x－y＋2＝0，
则ρcos θ－ρsin θ＋2＝0.
由ρ2cos 2θ＝4得ρ2cos2 θ－ρ2sin2θ＝4.
∴ρcos θ＝－2，ρsin θ＝0.∴θ＝π，ρ＝2.
∴直线l与曲线C的交点的极坐标为A(2，π)．
[答案] (2，π)
4．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．
[解] (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
(2)(方法1)由直线l的参数方程(t为参数)，消去参数得y＝x·tan α.
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0.
由圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.
又|AB|＝，由垂径定理及点到直线的距离公式得＝，即＝，
整理得k2＝，解得k＝±，即l的斜率为±.
(方法2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝
＝.
由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.
所以l的斜率为或－.
5．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l距离的最小值．
[解] (1)因为－1＜≤1，且x2＋2＝2＋＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)．
l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.
(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数，－π＜α＜π)．
C上的点到l的距离为
＝.
当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，
故C上的点到l距离的最小值为.
