课件62张PPT。第一讲 坐标系一 平面直角坐标系坐标(有序实数对)方程数与形特征方程方程性质与其他几何图形的关系教材整理1 平面直角坐标系μ·yλ·x教材整理2 平面直角坐标系中的伸缩变换运用坐标法解决平面几何问题用坐标法解决实际问题伸缩变换点击右图进入…Thank you for watching !
一 平面直角坐标系
学习目标：1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用并领会坐标法的应用.2.了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换．(重点、难点)3.能够建立适当的直角坐标系解决数学问题．
教材整理1 平面直角坐标系
阅读教材P2～P4“探究”及以上部分，完成下列问题．
1．平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．
2．坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系．
3．坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．
点P(－1,2)关于点A(1，－2)的对称点坐标为( )
A．(3,6) B．(3，－6)
C．(2，－4) D．(－2,4)
[解析] 设对称点的坐标为(x，y)，
则x－1＝2，且y＋2＝－4，
∴x＝3，且y＝－6.
[答案] B
教材整理2 平面直角坐标系中的伸缩变换
阅读教材P4～P8“习题”以上部分，完成下列问题．
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )
A．椭圆 B．比原来大的圆
C．比原来小的圆 D．双曲线
[解析] 由伸缩变换的意义可得．
[答案] D
2．y＝cos x经过伸缩变换后，曲线方程变为( )
A．y′＝3cos B．y′＝3cos 2x′
C．y′＝cos D．y′＝cos2x′
[解析] 由，得，又∵y＝cos x，
∴y′＝cos，即y′＝3cos.
[答案] A
运用坐标法解决平面几何问题
【例1】 已知?ABCD，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
[思路探究] 从要证的结论，联想到两点间的距离公式(或向量模的平方)，因此首先建立坐标系，设出A，B，C，D点的坐标，通过计算，证明几何结论．
[自主解答] 法一 (坐标法)
以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)，
设B(a,0)，C(b，c)，
则AC的中点E，由对称性知D(b－a，c)，
所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，
|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2，
|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab
＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，
|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab，
∴|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
法二 (向量法)
在?ABCD中，＝＋，
两边平方得2＝||2＝2＋2＋2·，
同理得2＝||2＝2＋2＋2·，
以上两式相加，得
||2＋||2
＝2(||2＋||2)＋2·(＋)
＝2(||2＋||2)，
即|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
1．本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．法一是运用代数方法，即用解析法实现几何结论的证明．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．
2．建立平面直角坐标系的方法步骤：
(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是
利于运用已知条件，使运算简便，表达式简明；
(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程；
(3)运算——通过运算，得到所需要的结果．
1．已知△ABC中，点D在BC边上，且满足|BD|＝|CD|.
求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．
[证明] 法一 以A(O)为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.
则A(0,0)，设B(a,0)，C(b，c)，则D，
所以|AD|2＋|BD|2＝＋＋＋
＝(a2＋b2＋c2)，
|AB|2＋|AC|2＝a2＋b2＋c2＝2(|AD|2＋|BD|2)．
法二 延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，CE，
则四边形ABEC为平行四边形，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得
|AE|2＋|BC|2＝2(|AB|2＋|AC|2)，
即(2|AD|)2＋(2|BD|)2＝2(|AB|2＋|AC|2)，所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．
用坐标法解决实际问题
【例2】 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4 km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？
[思路探究] 本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A、B、C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解．
[自主解答] 设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，
以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)．
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上．
kBC＝－，
线段BC的中点D(－4，)，
∴直线PD的方程为
y－＝(x＋4)． ①
又|PB|－|PA|＝4，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
双曲线方程为－＝1(x≥2)． ②
联立①②，解得P点坐标为(8,5)，
∴kPA＝＝.
因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.
1．由于A，B，C的相对位置一定，因此解决问题的关键是如何建系．
2．运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题．
2．有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用：A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍，已知A、B两地距离为10千米，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是包括运费和价格的总费用最低，求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？
[解] 如图，以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，设P点的坐标为(x，y)，P到A、B两地购物的运费分别是3a、a(元/千米)．
当由P地到A、B两地购物费用相等时，有“价格＋A地运费＝价格＋B地运费”，
∴3a·＝a·，
化简整理，得＋y2＝.
(1)当P点在以为圆心，为半径的圆上时，居民到A地或B地购货总费用相等．
(2)当P点在上述圆内时，
∵＋y2<，
∴[9(x＋5)2＋9y2]－[(x－5)2＋y2]
＝8＋y2－<0，
∴3<.
故此时到A地购物最合算．
(3)当P点在上述圆外时，同理可知，此时到B地购物最合算．
伸缩变换
[探究问题]
1．怎样由正弦曲线y＝sin x得到曲线y＝sin 2x?
[提示]
如图，在正弦曲线y＝sin x上任取一点P(x，y)，保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的，那么正弦曲线y＝sin x就变成曲线y＝sin 2x.
2．怎样由正弦曲线y＝sin x得到曲线y＝3sin x?
[提示] 如图，在正弦曲线y＝sin x上任取一点P(x，y)，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，那么正弦曲线y＝sin x就变成曲线y＝3sin x.
3．怎样由正弦曲线y＝sin x得到曲线y＝3sin 2x?
[提示] 实际上，这是上述探究1、2的“合成”：如图，先保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的；在此基础上再将纵坐标y变为原来的3倍，就可以由正弦曲线y＝sin x得到曲线y＝3sin 2x.
【例3】 在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
(1)求点A经过φ变换所得的点A′的坐标；
(2)点B经过φ变换后得到点B′，求点B的坐标；
(3)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程；
(4)求双曲线C：x2－＝1经过φ变换后所得曲线C′的焦点坐标．
[思路探究] (1)由伸缩变换求得x′，y′，即用x，y表示x′，y′；(2)(3)(4)将求得的x，y代入原方程得x′，y′间的关系．
[自主解答] (1)设点A′(x′，y′)．
由伸缩变换φ：得到
又已知点A.
于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1，
∴变换后点A′的坐标为(1，－1)．
(2)设B(x，y)，由伸缩变换φ：
得到
由于B′，
于是x＝×(－3)＝－1，y＝2×＝1，
∴B(－1,1)为所求．
(3)设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，
由上述可知，将，
代入y＝6x得2y′＝6×，
所以y′＝x′，即y′＝x′为所求．
(4)设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，
将代入x2－＝1，
得－＝1，
化简得－＝1，
∴a2＝9，b2＝16，c2＝25，
因此曲线C′的焦点F′1(5,0)，F′2(－5,0)．
1．解答本题的关键：(1)是理解平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；(2)是明确变换前后点的坐标关系，利用方程思想求解．
2．伸缩变换前后的关系：
已知平面直角坐标系中的伸缩变换φ：则点的坐标与曲线的方程的关系为：
联系
类型
变换前
变换后
点P
(x，y)
(λx，μy)
曲线C
f(x，y)＝0
f＝0
3．若将例3中第(4)题改为：如果曲线C经过φ变换后得到的曲线的方程为x′2＝18y′，那么能否求出曲线C的焦点坐标和准线方程？请说明理由．
[解] 设曲线C上任意一点M(x，y)，经过φ变换后对应点M′(x′，y′)．
由得 (*)
又M′(x′，y′)在曲线
x′2＝18y′上． ①
将(*)代入①式得
(3x)2＝18×，
即x2＝y为曲线C的方程．
可见仍是抛物线，其中p＝，抛物线x2＝y的焦点为F，准线方程为y＝－.
1．如何由正弦曲线y＝sin x经伸缩变换得到y＝sinx的图象( )
A．将横坐标压缩为原来的，纵坐标也压缩为原来的
B．将横坐标压缩为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍
C．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍
D．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的
[解析] y＝sin xy＝sinxy＝sinx.故选D.
[答案] D
2．将直线x＋y＝1变换为直线2x′＋3y′＝6的一个伸缩变换为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设伸缩变换为
由(x′，y′)在直线
2x′＋3y′＝6上，则2λx＋3μy＝6，
因此x＋y＝1，与x＋y＝1比较，
∴＝1且＝1，故λ＝3且μ＝2，
即所求的变换为
[答案] A
3．在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程为________．
[解析] ∵△ABC的周长为10，
∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，其中|BC|＝4，
即有|AB|＋|AC|＝6＞4，
∴A点轨迹为椭圆除去B、C两点，且2a＝6,2c＝4，
∴a＝3，c＝2，b2＝5，
∴A点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
[答案] ＋＝1(y≠0)
4．将圆x2＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程为________．
[解析] 由得
代入到x2＋y2＝1，得＋＝1.
[答案] ＋＝1
5．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线＋4y′2＝1，求曲线C的方程并画出图形．
[解] 设M(x，y)是曲线C上任意一点，变换后的点为M′(x′，y′)．
由且M′(x′，y′)在曲线＋4y′2＝1上，
得＋＝1，
∴x2＋y2＝4.
因此曲线C的方程为x2＋y2＝4，表示以O(0,0)为圆心，以2为半径的圆(如图所示)．
课时分层作业(一)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[解析] ∵M(2,2)在直线x＋y－4＝0上，
∴点P的轨迹是过M与直线x＋y－4＝0垂直的直线．
[答案] A
2．已知线段BC长为8，点A到B，C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
[解析] 由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆．
[答案] C
3．若△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,1)，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
[解析] |AB|＝＝，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
|BC|＝|AC|≠|AB|，△ABC为等腰三角形．
[答案] A
4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
[解析] 设P点的坐标为(x，y)，
∵|PA|＝2|PB|，
∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，
即(x－2)2＋y2＝4.
故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.
[答案] B
5．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos 2x按伸缩变换后为( )
A．y′＝cos x′ B．y′＝3cosx′
C．y′＝2cosx′ D．y′＝cos 3x′
[解析] 由得
代入y＝cos 2x，得＝cos x′，
∴y′＝cos x′.
[答案] A
二、填空题
6．若点P(－2 016,2 017)经过伸缩变换后的点在曲线x′y′＝k上，则k＝________.
[解析] ∵P(－2 016,2 017)经过伸缩变换得
代入x′y′＝k，
得k＝－1.
[答案] －1
7．将点P(2,3)变换为点P′(1,1)的一个伸缩变换公式为________．
[解析] 设伸缩变换为
由解得∴
[答案]
8．平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：
作用下仍是其本身的点为________．
[解析] 设P(x，y)在伸缩变换φ：作用下得到P′(λx，μy)．
依题意得其中λ>0，μ>0，λ≠1，μ≠1，
∴x＝y＝0，即P(0,0)为所求．
[答案] (0,0)
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．
(1)x2－y2＝1；
(2)＋＝1.
[解] 由伸缩变换得①
(1)将①代入x2－y2＝1得9x′2－4y′2＝1，
因此，经过伸缩变换后，双曲线x2－y2＝1变成双曲线9x′2－4y′2＝1，如图甲所示．
(2)将①代入＋＝1得x′2＋＝1，因此，经过伸缩变换后，椭圆＋＝1变成椭圆x′2＋＝1，如图乙所示．
10．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处．求城市B处于危险区内的时间．
[解] 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40,0)，
以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，
台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区．台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N，
点B到直线y＝x的距离d＝＝20.
求得|MN|＝2＝20(km)，故＝1，
所以城市B处于危险区的时间为1 h.
[能力提升练]
1．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝0，则曲线C的方程为( )
A．25x2＋36y2＝0 B．9x2＋100y2＝0
C．10x＋24y＝0 D.x2＋y2＝0
[解析] 将代入2x′2＋8y′2＝0，得：
2·(5x)2＋8·(3y)2＝0，即：25x2＋36y2＝0.
[答案] A
2．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域(含边界)，A、B、C、D是该圆的四等分点．若点P(x，y)、点P′(x′，y′)满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′.如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其他点优于点Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，过任一点P作与坐标轴平行的直线，则两直线将平面分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，由题意，Ⅱ(包含边界)区域内的点优于P，在圆周上取点，易知只有P在上时，Ⅱ(含边界)内才不含Ω内的点，故点Q的集合为.
[答案] D
3．已知A(2，－1)，B(－1,1)，O为坐标原点，动点M满足＝m＋n，其中m，n∈R，且2m2－n2＝2，则M的轨迹方程为________．
[解析] 设M(x，y)，则(x，y)＝m(2，－1)＋n(－1,1)＝(2m－n，n－m)，∴
又2m2－n2＝2，消去m，n得－y2＝1.
[答案] －y2＝1
4.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)，观测点A(4,0)，B(6,0)同时跟踪航天器．
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
[解] (1)设曲线方程为y＝ax2＋.
因为D(8,0)在抛物线上，∴a＝－，
∴曲线方程为y＝－x2＋.
(2)设变轨点为C(x，y)．
根据题意可知
∴4y2－7y－36＝0，
解得y＝4或y＝－(不合题意，舍去)，
∴y＝4.
解得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去)，
∴C点的坐标为(6,4)，|AC|＝2，|BC|＝4.
即当观测点A、B测得离航天器的距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令．
