课件51张PPT。第一讲 坐标系三 简单曲线的极坐标方程坐标的点点的坐标教材整理1 曲线与方程f(ρ，θ)f(ρ，θ)＝0f(ρ，θ)＝0教材整理2 极坐标方程ρ＝2rcosθρ＝r教材整理3 常见的极坐标方程直线或射线的极坐标方程极坐标方程与直角坐标方程的互化极坐标方程的应用圆的极坐标方程点击右图进入…Thank you for watching !三 简单曲线的极坐标方程
学习目标：1.了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法.2.会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．(重点、易错点)3.能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题．(难点)
教材整理1 曲线与方程
阅读教材P12“圆的极坐标方程”以上部分，完成下列问题．
在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表示．曲线与方程满足如下关系：
(1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；
(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
教材整理2 极坐标方程
阅读教材P12～P13“例1”以上部分，完成下列问题．
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．
下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 点的极坐标满足ρ＝，θ＝－，且ρ≠cos θ＝cos＝－.
[答案] D
教材整理3 常见的极坐标方程
阅读教材P13～P15，完成下列问题．
曲 线
图 形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆
ρ＝r(0≤θ<2π)
圆心为(r,0)，半径为r的圆
ρ＝2rcos_θ
圆心为，半径为r的圆
ρ＝2rsin_θ
(0≤θ<π)
过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α或θ＝α＋π
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
ρcos_θ＝a
过点，与极轴平行的直线
ρsin_θ＝a
(0<θ<π)
极坐标方程ρ＝cos所表示的曲线是( )
A．双曲线 B．椭圆
C．抛物线 D．圆
[解析] ∵ρ＝cos＝cosθ＋sin θ，
ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
∴x2＋y2＝x＋y，这个方程表示一个圆．
[答案] D
直线或射线的极坐标方程
【例1】 求过点A(1,0)，且倾斜角为的直线的极坐标方程．
[思路探究] 画出草图―→设点M(ρ，θ)是直线上的任意一点―→建立关于ρ，θ的方程检验．
[自主解答] 法一 设M(ρ，θ)为直线上除点A以外的任意一点．
则∠xAM＝，∠OAM＝，
∠OMA＝－θ.
在△OAM中，由正弦定理得
＝，
即＝，故ρsin＝，
即ρ＝，
化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1，
经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，
所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1，其中，0≤θ<，ρ≥0和<θ<2π，ρ≥0.
法二 以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy.
∵直线的斜率k＝tan＝1，
∴过点A(1,0)的直线方程为y＝x－1.
将y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入上式，得ρsin θ＝ρcos θ－1，
∴ρ(cos θ－sin θ)＝1，
其中，0≤θ<，ρ≥0和<θ<2π，ρ≥0.
法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程．
1．若本例中条件不变，如何求以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程？
[解] 由题意，设M(ρ，θ)为射线上任意一点，
根据例题可知，ρsin＝，
化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1.
经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程．
因此，以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.
极坐标方程与直角坐标方程的互化
【例2】 若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线ρsin＝0与曲线C相交于A、B，求|AB|.
[思路探究] 利用极坐标化为直角坐标的公式将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程求解．
[自主解答] (1)因为所以ρ2＝x2＋y2，
由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ
∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(2)由ρsin＝0，
得ρ＝0，
即ρsin θ－ρcos θ＝0，
∴x－y＝0.
由于圆(x－2)2＋(y－1)2＝5的半径为r＝，圆心(2,1)到直线x－y＝0的距离为d＝＝，
∴|AB|＝2＝3.
1．直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．
2．对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用．
2．在极坐标系中，点到直线ρsin θ＝2的距离等于________．
[解析] 极坐标系中点对应的直角坐标为(，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y＝2，故所求距离为1.
[答案] 1
极坐标方程的应用
【例3】 从极点O作直线与另一直线l：ρcos θ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值．
[思路探究] (1)建立点P的极坐标方程，完成直角坐标与极坐标方程的互化．(2)根据直线与圆的位置关系，数形结合求|RP|的最小值．
[自主解答] (1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.
∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．
(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，得x2＋y2＝3x，
即2＋y2＝2，
知P的轨迹是以为圆心，半径为的圆．
直线l的直角坐标方程是x＝4.
结合图形(图略)易得|RP|的最小值为1.
1．用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法．当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．
2．解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些．
3.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．
[解] (1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.
所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ.
(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知，
若0≤θ≤，则2cos θ＝，解得θ＝；
若≤θ≤，则2sin θ＝，解得θ＝或θ＝；
若≤θ≤π，则－2cos θ＝，解得θ＝.
综上，P的极坐标为或或
或.
圆的极坐标方程
[探究问题]
如何求圆心为C(ρ1，θ1)，半径为r的圆的极坐标方程？
[提示] 如图所示，设圆C上的任意一点为M(ρ，θ)，且O、C、M三点不共线，不妨以如图所示情况加以说明，在△OCM中，由余弦定理得|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|·cos∠COM＝|CM|2，
∴ρ2＋ρ－2ρρ1cos(θ－θ1)＝r2，可以检验，当O、C、M三点共线时的点M的坐标也适合上式，当θ<θ1时也满足该式，所以半径为r，圆心在C(ρ1，θ1)的圆的极坐标方程为ρ2＋ρ－2ρρ1cos(θ－θ1)－r2＝0.
【例4】 求圆心在C处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点是否在这个圆上．
[思路探究] 解答本题先设圆上任意一点M(ρ，θ)，建立等式转化为ρ，θ的方程，化简可得，并检验特殊点．
[自主解答] 如图，由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|＝2r，连接AM，则OM⊥MA.
在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|cos∠AOM，
即ρ＝2rcos，
∴ρ＝－4sin θ，
经验证，点O(0,0)，A的坐标满足上式，
∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.
∵sin＝，
∴ρ＝－4sin θ＝－4sin＝－2，
∴点在此圆上．
1．求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：(1)建立适当的极坐标系(本题无需建)；(2)在曲线上任取一点M(ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标(ρ，θ)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程(一般只要对特殊点加以检验即可)．
2．求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示．
4．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
[解析] 直角坐标方程x2＋y2－2x＝0可化为x2＋y2＝2x，将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.
[答案] ρ＝2cos θ
极坐标方程—
1．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为( )
A．ρ＝1 B．ρ＝cos θ
C．ρ＝2cos θ D．ρ＝2sin θ
[解析] 圆的直角坐标方程是(x－1)2＋y2＝1，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程．
[答案] C
2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( )
A．两个圆 B．两条直线
C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
[解析] 由题设，得ρ＝1，或θ＝π，
ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线．
[答案] C
3．极坐标方程分别为ρ＝2cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距为________．
[解析] 两圆方程分别为x2＋y2＝2x，x2＋y2＝y，知两圆圆心C1(1,0)，C2，∴|C1C2|＝＝.
[答案]
4．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，直线θ＝被圆ρ＝2sin θ截得的弦长是________．
[解析] 直线为y＝x(x≥0)，圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，交于原点和点A(1,1)，弦长为.
[答案]
5．求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程．
[解] 由题意知，直线的直角坐标方程为y－3＝2(x＋2)，
即：2x－y＋7＝0.
设M(ρ，θ)为直线上任意一点，
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直角坐标方程
2x－y＋7＝0得：2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0，
这就是所求的极坐标方程．
课时分层作业(三)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．极坐标方程ρ＝1表示( )
A．直线 B．射线
C．圆 D．椭圆
[解析] 由ρ＝1，得ρ2＝1，即x2＋y2＝1，故选C.
[答案] C
2．过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程可以为( )
A．θ＝ B．θ＝，ρ≥0
C．θ＝，ρ≥0 D．θ＝和θ＝，ρ≥0
[解析] 以极点O为端点，所求直线上的点的极坐标分成两条射线．
∵两条射线的极坐标方程为θ＝和θ＝π，
∴直线的极坐标方程为θ＝和θ＝π(ρ≥0)．
[答案] D
3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )
A. B.
C．(1,0) D．(1，π)
[解析] 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.
[答案] B
4．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2
B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1
D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1
[解析] 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2.
[答案] B
5．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )
A．ρcos θ＝ B．ρcos θ＝2
C．ρ＝4sin D．ρ＝4sin
[解析] 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.
由所给的选项中ρcos θ＝2知，x＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切．
[答案] B
二、填空题
6．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝分成两部分的面积之比是________．
[解析] ∵直线θ＝过圆ρ＝4的圆心，
∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1.
[答案] 1∶1
7．若直线l的极坐标方程为ρcosθ－＝3，曲线C：ρ＝1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为________．
[解析] 直线的直角坐标方程为x＋y－6＝0，曲线C的方程为x2＋y2＝1，为圆；d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为dmax＝＋1＝3＋1.
[答案] 3＋1
8．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．
[解析] 极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝转化为平面直角坐标系中的方程为y＝x，即x－3y＝0，
∴圆心(0,2)到直线x－3y＝0的距离为＝.
[答案]
三、解答题
9．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
[解] (1)由ρcos＝1，
得ρ＝1.
又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴曲线C的直角坐标方程为＋y＝1，
即x＋y－2＝0.
当θ＝0时，ρ＝2，∴点M(2,0)．
当θ＝时，ρ＝，∴点N.
(2)由(1)知，M点的坐标(2,0)，点N的坐标.
又P为MN的中点，
∴点P，则点P的极坐标为.
所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
10．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝，
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
[解] (1)由ρ＝cos θ＋sin θ，可得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
又代入得⊙O：x2＋y2－x－y＝0，
由l：ρsin＝，得：ρsin θ－ρcos θ＝，ρsin θ－ρcos θ＝1，
又代入得：x－y＋1＝0.
(2)由解得
又得
又因为θ∈(0，π)，则θ＝，故为.
[能力提升练]
1．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin关于( )
A．直线θ＝对称 B．直线θ＝对称
C．点对称 D．极点对称
[解析] 由方程ρ＝4sin，
得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，
即x2＋y2＝2y－2x，
配方，得(x＋)2＋(y－1)2＝4.
它表示圆心在(－，1)、半径为2且过原点的圆，
所以在极坐标系中，它关于直线θ＝成轴对称．
[答案] B
2．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sin θ，过点作曲线C的切线，则切线长为( )
A．4 B.
C．2 D．2
[解析] ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，点化为直角坐标为(2，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为＝2.
[答案] C
3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．
[解析] 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
其直角坐标方程为x2＋y2＝2y，
ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，
联立
解得点(－1,1)的极坐标为.
[答案]
4．在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为，半径r＝1，P在圆C上运动．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴)中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程．
[解] (1)设圆C上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos，
所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋3＝0.
(2)设Q(x，y)，则P(2x,2y)，
由于圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝1，P在圆C上，
所以(2x－1)2＋(2y－)2＝1，
则Q的直角坐标方程为
＋＝.
