课件37张PPT。第一讲 坐标系章末复习课平面直角坐标系下图形的变换求曲线的极坐标方程极坐标与直角坐标的互化转化与化归思想Thank you for watching !章末综合测评(一) 坐标系
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将曲线y＝sin 2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为( )
A．y′＝3sin x′ B．y′＝3sin 2x′
C．y′＝3sinx′ D．y′＝sin 2x′
[解析] 由伸缩变换，得x＝，y＝.
代入y＝sin 2x，有＝sin x′，即y′＝3sin x′.
[答案] A
2．在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为，，则△AOB(其中O为极点)的面积为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] 如图所示，OA＝3，OB＝4，∠AOB＝，所以S△AOB＝×3×4×＝3.
[答案] C
3．已知点P的极坐标为(1，π)，那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )
A．ρ＝1 B．ρ＝cos θ
C．ρ＝－ D．ρ＝
[答案] C
4．在极坐标系中，点A与B之间的距离为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] 由A与B，知∠AOB＝，
∴△AOB为等边三角形，因此|AB|＝2.
[答案] B
5．极坐标方程4ρ·sin2＝5表示的曲线是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
[解析] 由4ρ·sin2＝4ρ·＝2ρ－2ρcos θ＝5，得方程为2－2x＝5，化简得y2＝5x＋，
∴该方程表示抛物线．
[答案] D
6．直线ρcos θ＋2ρsin θ＝1不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 由ρcos θ＋2ρsin θ＝1，得x＋2y＝1，
∴直线x＋2y＝1不过第三象限．
[答案] C
7．点M的直角坐标为(，1，－2)，则它的球坐标为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设M的球坐标为(r，φ，θ)，
则解得
[答案] A
8．在极坐标系中，直线θ＝(ρ∈R)截圆ρ＝2cos所得弦长是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] 化圆的极坐标方程ρ＝2cos为直角坐标方程得2＋2＝1，圆心坐标为，半径长为1，化直线θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为x－y＝0，由于－×＝0，即直线x－y＝0过圆2＋2＝1的圆心，故直线θ＝(ρ∈R)截圆ρ＝2cos所得弦长为2.
[答案] B
9．若点P的柱坐标为，则P到直线Oy的距离为( )
A．1 B．2 C. D.
[解析] 由于点P的柱坐标为(ρ，θ，z)＝，故点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为ρcos ＝，可得P到直线Oy的距离为.
[答案] D
10．设正弦曲线C按伸缩变换后得到曲线方程为y′＝sin x′，则正弦曲线C的周期为( )
A. B．π C．2π D．4π
[解析] 由伸缩变换知3y＝sin x，
∴y＝sin x，∴T＝＝4π.
[答案] D
11．已知点A是曲线ρ＝2cos θ上任意一点，则点A到直线ρsin＝4的距离的最小值是( )
A．1 B. C. D.
[解析] 曲线ρ＝2cos θ即(x－1)2＋y2＝1，表示圆心为(1,0)，半径等于1的圆，直线ρsin＝4，即x＋y－8＝0，圆心(1,0)到直线的距离等于＝，所以点A到直线ρsin＝4的距离的最小值是－1＝.
[答案] C
12．极坐标方程ρ＝2sin的图形是( )
[解析] 法一 圆ρ＝2sin是把圆ρ＝2sin θ绕极点按顺时针方向旋转而得，圆心的极坐标为，故选C.
法二 圆ρ＝2sin的直角坐标方程为2＋2＝1，圆心为，半径为1，故选C.
[答案] C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13．在极坐标系中，经过点作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程为________．
[解析] 圆ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，化成标准方程得x2＋(y－2)2＝4，表示以点(0,2)为圆心，以2为半径长的圆，点的直角坐标为(2,2)，由于22＋(2－2)2＝4，即点(2,2)在圆上，故过点且与圆相切的直线的方程为x＝2，其极坐标方程为ρcos θ＝2.
[答案] ρcos θ＝2
14．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.
[解析] 由ρ＝4cos θ可得x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，因此圆心C的直角坐标为(2,0)．又点P的直角坐标为(2,2)，因此|CP|＝2.
[答案] 2
15．在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.
[解析] ρ(cos θ＋sin θ)＝1，即ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的直角坐标方程为x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)对应的普通方程为x2＋y2＝a2.在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.将代入x2＋y2＝a2得a＝.
[答案]
16．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．
[解析] 直线2ρcos θ＝1可化为2x＝1，即x＝，圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x2＋y2＝2x，
即(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1,0)，半径为1，
∴弦长为2× ＝.
[答案]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知⊙C：ρ＝cos θ＋sin θ， 直线l：ρ＝.求⊙C上点到直线l距离的最小值．
[解] ⊙C的直角坐标方程是x2＋y2－x－y＝0，
即2＋2＝.
又直线l的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4，
所以直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0.
设M为⊙C上任意一点，M点到直线l的距离
d＝
＝，
当θ＝时，dmin＝＝.
18．(本小题满分12分)已知直线的极坐标方程ρsin＝，求极点到直线的距离．
[解] ∵ρsin＝，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，
即直角坐标方程为x＋y＝1.
又极点的直角坐标为(0,0)，
∴极点到直线的距离d＝＝.
19．(本小题满分12分)(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C的方程；
(2)将上述圆C绕极点逆时针旋转得到圆D，求圆D的方程．
[解] (1)设M(ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C过极点O，∠COM＝θ－1，
作CK⊥OM于K，则ρ＝|OM|＝2|OK|＝2cos(θ－1)，
∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．
(2)将圆C：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转得到圆D：ρ＝2cos，
即ρ＝－2sin(1－θ)．
20．(本小题满分12分)如图，正方体OABC-D′A′B′C′中，|OA|＝3，A′C′与B′D′相交于点P，分别写出点C、B′、P的柱坐标．
[解] 设点C的柱坐标为(ρ1，θ1，z1)，
则ρ1＝|OC|＝3，θ1＝∠COA＝，z1＝0，
∴C的柱坐标为；
设点B′的柱坐标为(ρ2，θ2，z2)，则ρ2＝|OB|＝＝＝3，
θ2＝∠BOA＝，z2＝3，
∴B′的柱坐标为；
如图，取OB的中点E，连接PE，
设点P的柱坐标为(ρ3，θ3，z3)，则ρ3＝|OE|＝|OB|＝，θ3＝∠AOE＝，z3＝3，
点P的柱坐标为.
21．(本小题满分12分)已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos，判断两曲线的位置关系．
[解] 将曲线C1，C2化为直角坐标方程得：
C1：x＋y＋2＝0，
C2：x2＋y2－2x－2y＝0，即C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2，
圆心到直线的距离d＝＝＞，
∴曲线C1与C2相离．
22．(本小题满分12分)在极坐标系中，极点为O，已知曲线C1：ρ＝2与曲线C2：ρsin＝交于不同的两点A，B.
(1)求|AB|的值；
(2)求过点C(1,0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程．
[解] (1)∵ρ＝2，∴x2＋y2＝4.
又∵ρsin＝，∴y＝x＋2，
∴|AB|＝2＝2＝2.
(2)∵曲线C2的斜率为1，∴过点(1,0)且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为y＝x－1，
∴直线l的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1，
即ρcos＝.
[自我校对] ①极坐标系 ②直线的极坐标系方程 ③圆的极坐标系方程 ④柱坐标系 ⑤球坐标系
平面直角坐标系下图形的变换
平面图形的伸缩变换可由坐标伸缩变换来实现，在使用坐标变换公式时，一定要分清变换前后的新旧坐标．
【例1】 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：求曲线y2＝2x经过φ变换后所得直线l′的方程．
[规范解答] 设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．
由伸缩变换φ：
得
代入y2＝2x，得y′2＝x′，
∴即y′2＝x′，
因此变换后曲线的方程为y′2＝x′.
1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．
[解] 将代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1中，得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1，化简，得
2＋(y＋3)2＝，
故曲线是以为圆心，半径为的圆.
求曲线的极坐标方程
求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标(ρ，θ)的关系式f(ρ，θ)＝0表示出来，就得到曲线的极坐标方程．
【例2】 求圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程．
[规范解答] 如图，设圆上任一点为P(ρ，θ)，则|OP|＝ρ，∠POA＝，|OA|＝2×3＝6.
在Rt△POA中，
|OP|＝|OA|cos∠POA，
则ρ＝6cos，
即圆的极坐标方程为 ρ＝6cos.
2．△ABC底边BC＝10，∠A＝∠B，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程．
[解] 如图：令A(ρ，θ)，
△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝，
又|BC|＝10，|AB|＝ρ.于是由正弦定理，得＝，
化简，得A点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.
极坐标与直角坐标的互化
极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系．同一个点可以有极坐标，也可以有直角坐标；同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角坐标方程．为了研究问题的方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程．它们之间的互化关系为：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ；ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)．
【例3】 ⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，
ρ＝－4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
[解] 以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
(1)由ρ＝4cos θ，
得ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2＝4x，
即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程，
同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．
(2)由
解得
即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2，－2)，
故过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.
3．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．
[解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为
ρ2＋2ρ－4＝0，
化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，
所以圆C的半径为.
转化与化归思想
转化与化归思想，是运用数学知识的迁移解决问题．具体表现为化未知为已知，化抽象为具体，化一般为特殊．如本章中直角坐标与极坐标，直角坐标方程与极坐标方程，都是这种思想的体现．当ρ≥0,0≤θ<2π时，极坐标方程与直角坐标方程的相互转化就是等价转化．
【例4】 已知极坐标方程C1：ρ＝10，
C2：ρsin＝6，
(1)化C1、C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；
(2)求C1、C2交点间的距离．
[规范解答] (1)由C1：ρ＝10，得ρ2＝100，
∴x2＋y2＝100，所以C1为圆心在(0,0)，半径等于10的圆．
由C2：ρsin＝6，
得ρ＝6，
∴y－x＝12，即x－y＋12＝0，所以C2表示直线．
(2)由于圆心(0,0)到直线x－y＋12＝0的距离为
d＝＝6所以直线l被圆截得的弦长
|C1C2|＝2＝2＝16.
4．在极坐标系中，点M坐标是，曲线C的方程为ρ＝2sin；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点M和极点．
(1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)直线l和曲线C相交于两点A、B，求线段AB的长．
[解] (1)∵直线l过点M和极点，
∴直线l的直角坐标方程是θ＝(ρ∈R)．
ρ＝2sin即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，
两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0.
(2)点M的直角坐标为(1，)，直线l过点M和原点，
∴直线l的直角坐标方程为y＝x.
曲线C的圆心坐标为(1,1)，半径r＝，圆心到直线l的距离为d＝，∴|AB|＝2＝＋1.
1．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为__________．
[解析] ∵ρ＝2sin θ，∴ρ2＝2ρsin θ，
∴x2＋y2＝2y，
即x2＋y2－2y＝0.
[答案] x2＋y2－2y＝0
2．在极坐标系中，点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝6的距离为________．
[解析] 由知极坐标可化为(1，)，直线ρ(cos θ＋sin θ)＝6可化为x＋y－6＝0.故所求距离为d＝＝＝1.
[答案] 1
3．在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________．
[解析] 圆ρ＝8sin θ化为直角坐标方程为x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16，直线θ＝(ρ∈R)化为直角坐标方程为y＝x，结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径．
圆心(0,4)到直线y＝x的距离为＝2，又圆的半径r＝4，所以圆上的点到直线的最大距离为6.
[答案] 6
4．在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A，B两点，则|AB|＝______________.
[解析] ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴直线的直角坐标方程为x－y－1＝0.
∵ρ＝2cos θ，∴ρ2(sin2θ＋cos2θ)＝2ρcos θ，
∴x2＋y2＝2x.
∴圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.
∵圆心(1,0)在直线x－y－1＝0上，
∴AB为圆的直径，∴|AB|＝2.
[答案] 2
5．(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
[解](1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.
由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点，
在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.
经检验，点P在曲线ρcos＝2上．
所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，
则ρ＝4cos θ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，
故θ的取值范围是.
所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.
