课件40张PPT。第三章 统计案例阶段复习课
第3课 统计案例点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(三)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下面是2×2列联表．
y1
y2
总计
x1
33
21
54
x2
a
13
46
总计
b
34
则表中a，b处的值应为( )
A．33,66 B．25,50
C．32,67 D．43,56
A [由2×2列联表知a＋13＝46，所以a＝33，又b＝a＋33，所以b＝33＋33＝66.]
2．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程为＝7.19x＋73.93，若用此方程预测儿子10岁时的身高，有关叙述正确的是( )
A．身高一定为145.83 cm
B．身高大于145.83 cm
C．身高小于145.83 cm
D．身高在145.83 cm左右
D [用线性回归方程预测的不是精确值，而是估计值．当x＝10时，y＝145.83，只能说身高在145.83 cm左右．]
3．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下，P(K2≥6.635)＝0.010表示的意义是( )
A．变量X与变量Y有关系的概率为1%
B．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%
C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%
D．变量X与变量Y有关系的概率为99%
D [∵P(K2≥6.635)＝0.010，故有99%的把握认为变量X与变量Y有关系，故选D.]
4．已知对某散点图作拟合曲线及其对应的相关指数R2，如下表所示：
拟合
曲线
直线
指数曲线
抛物线
二次曲线
y与x
回归
方程
＝19.8x
－463.7
＝e0.27x－3.84
＝0.367x2
－202
＝
相关指
数R2
0.746
0.996
0.902
0.002
则这组数据模型的回归方程的最好选择应是( )
A.＝19.8x－463.7 B.＝e0.27x－3.84
C.＝0.367x2－202 D.＝
B [∵R2越大，拟合效果越好，∴应选择＝e0.27x－3.84.]
5．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过( )
x
1
2
3
4
y
1
3
5
7
A．点(2,3) B．点(1.5,4)
C．点(2.5,4) D．点(2.5,5)
C [∵＝＝2.5，
＝＝4.
∴y关于x的回归直线必过点(2.5,4)．]
6．若两个变量的残差平方和是325，(yi－i)2＝923，则随机误差对预报变量的贡献率约为( )
A．64.8% B．60%
C．35.2% D．40%
C [相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，故随机误差对预报变量的贡献率为×100%＝×100%≈35.2%，故选C.]
7．在一次调查后，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则( )
A．两个分类变量关系较弱
B．两个分类变量无关系
C．两个分类变量关系较强
D．无法判断
C [从条形图中可以看出，在x1中y1比重明显大于x2中y1的比重，所以两个分类变量的关系较强．]
8．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有( )
A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同
C．b与r的符号相反 D．a与r的符号相反
A [因为b>0时，两变量正相关，此时r>0；b<0时，两变量负相关，此时r<0.]
9．如图所示，5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是( )
A．相关系数r变大
B．残差平方和变大
C．相关指数R2变大
D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
B [由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．]
10．已知一个线性回归方程为＝1.5x＋45，其中x的取值依次为1,7,5,13,19，则＝( )
A．58.5 B．46.5
C．60 D．75
A [∵＝(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回归直线过样本点的中心(，)，
∴＝1.5×9＋45＝58.5.]
11．根据下面的列联表得到如下四个判断：
①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”．
嗜酒
不嗜酒
总计
患肝病
700
60
760
未患肝病
200
32
232
总计
900
92
992
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [由列联表中数据可求得随机变量K2的观测值k＝≈7.349>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”．因此②③正确，故选C.]
12．某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：
x
16
17
18
19
y
50
34
41
31
由上表可得线性回归方程＝x＋中的＝－4，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为( )
A．51个 B．50个
C．49个 D．48个
C [∵＝＝17.5，
＝＝39.
∴由39＝－4×17.5＋得＝109.
∴当x＝15时，＝－4×15＋109＝49(个)．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知下表所示数据的线性回归方程为＝4x＋242，则实数a＝________.
X
2
3
4
5
6
Y
251
254
257
a
266
262 [由题意，得＝4，＝(1 028＋a)，代入＝4x＋242，可得(1 028＋a)＝4×4＋242，解得a＝262.]
14．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到k＝≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________．
0．05 [k≈4.844>3.841，故判断出错的概率为0.05.]
15．某地区恩格尔系数y(%)与年份x的统计数据如下表：
年份x
2006
2007
2008
2009
恩格尔系数y(%)
47
45.5
43.5
41
从散点图可以看出y与x线性相关，且可得回归方程为＝x＋4 055.25，据此模型可预测2019年该地区的恩格尔系数y(%)为________．
17．25 [由表可知＝2 007.5，＝44.25.
因为＝ ＋4 055.25，
即44.25＝2 007.5＋4 055.25，
所以≈－2，所以回归方程为＝－2x＋4 055.25，令x＝2 019，得＝17.25.]
16．对于回归分析，下列说法中正确的有________．(填序号)
①在回归分析中，若变量间的关系是非确定性关系，则因变量不能由自变量唯一确定；②相关系数可以是正的也可以是负的；③回归分析中，如果R2＝1，说明变量x与y之间是完全线性相关；④样本相关系数r∈(－∞，＋∞)．
①②③ [在回归分析中，样本相关系数r的范围是|r|≤1，故④错误，①②③均正确．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图是对用药与不用药，感冒已好与未好进行统计的等高条形图．若此次统计中，用药的患者是70人，不用药的患者是40人，试问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“感冒已好与用药有关”？
[解] 根据题中的等高条形图，可得在用药的患者中感冒已好的人数为70×＝56，在不用药的患者中感冒已好的人数为40×＝12.
2×2列联表如下：
感冒已好
感冒未好
总计
用药
56
14
70
不用药
12
28
40
总计
68
42
110
根据表中数据，得K2的观测值为
k＝≈26.96>10.828.
因此，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为感冒已好与用药有关系．
18．(本小题满分12分)网购已成为当今消费者最喜欢的购物方式之一，某机构对A，B，C，D四家同类运动服装网店的关注人数x(单位：千人)与其商品销售件数y(单位：百件)进行统计对比，得到表格：
A
B
C
D
关注人数x/千人
3
4
6
7
销售件数y/百件
11
12
20
17
由散点图得知，可以用线性回归方程＝x＋来近似刻画它们之间的关系．
(1)试建立y关于x的回归方程；
(2)在(1)的回归模型中，请用R2说明销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的．(精确到0.01)
[解] (1)由表中数据可得＝＝5，＝＝15，iyi＝320，＝110，
＝＝＝2，
所以＝－＝15－2×5＝5，
故线性回归方程为＝2x＋5.
(2)(yi－)2＝54，(yi－i)2＝14，R2＝1－＝1－≈0.74.
说明销售件数的差异有74%程度因关注人数引起的．
19．(本小题满分12分)某学校高三年级有学生1 000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学)，现用分层抽样方法(按A类、B类分两层)从该年级的学生中共抽取100名同学，如果以身高达165 cm作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：
身高达标
身高不达标
总计
经常参加体育锻炼
40
不经常参加体育锻炼
15
总计
100
(1)完成上表；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系(K2的观测值精确到0.001)?
[解] (1)填写列联表如下：
身高达标
身高不达标
总计
经常参加体育锻炼
40
35
75
不经常参加体育锻炼
10
15
25
总计
50
50
100
(2)由列联表中的数据，得K2的观测值为
k＝≈1.333<3.841.
所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系．
20．(本小题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(t)与相应的能耗y(t)的几组对照数据．
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋.
[解] (1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．
(2)由对照数据，计算得
x＝86，＝＝4.5，
＝＝3.5，
xiyi＝66.5，
＝
＝＝0.7，
＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
因此，所求的线性回归方程为＝0.7x＋0.35.
21．(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(xi－)2
(wi－)2
(xi－)·
(yi－)
(wi－)·
(yi－)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
表中wi＝，＝i.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为
＝，＝－.
[解] (1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程，由于＝＝＝68，
＝－＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
22．(本小题满分12分)某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量值落在(495,510]的产品为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本频数分布表，图是乙流水线样本频率分布直方图．
表1 甲流水线样本频数分布表
产品质量/克
频数
(490,495]
6
(495,500]
8
(500,505]
14
(505,510]
8
(510,515]
4
乙流水线样本频率分布直方图
(1)根据上表数据作出甲流水线样本频率分布直方图；
(2)若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；
(3)由以上统计数据作出2×2列联表，并回答在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”．
[解] (1)甲流水线样本频率分布直方图如下：
(2)由表1知甲样本合格品数为8＋14＋8＝30，由题图知乙样本中合格品数为(0.06＋0.09＋0.03)×5×40＝36，故甲样本合格品的频率为＝0.75，乙样本合格品的频率为＝0.9，
据此可估计从甲流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.75.
从乙流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.9.
(3)2×2列联表如下：
甲流水线
乙流水线
总计
合格品
30
36
66
不合格品
10
4
14
总计
40
40
80
因为K2的观测值
k＝≈3.117>2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.
第3课 统计案例
回归分析
【例1】 为研究某种图书每册的成本费y(元)与印刷数x(千册)的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．
(xi－)2
(xi－)(yi－)
(ui－)2
(ui－)(yi－)
15.25
3.63
0.269
2 085.5
－230.3
0.787
7.049
其中ui＝，＝ i.
(1)根据散点图判断：y＝a＋bx与y＝c＋哪一个更适宜作为每册成本费y(元)与印刷数x(千册)的回归方程类型？(只要求给出判断，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(回归系数的结果精确到0.01)；
(3)若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少千册才使销售利润不低于78 840元？(假设能够全部售出，结果精确到1)
(附：对于一组数据(ω1，v1)(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其回归直线＝＋ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.)
[思路点拨] (1)借助散点图求解；(2)令u＝―→建立y关于u的回归方程―→建立y关于x的回归方程；(3)建立利润函数f(x)，解f(x)≥78.840得x的范围．
[解] (1)由散点图判断，y＝c＋适宜作为每册成本费y(元)与印刷册数x(千册)的回归方程．
(2)令u＝，先建立y关于u的线性回归方程，
由于＝＝≈8.96，
∴＝－·＝3.63－8.96×0.269≈1.22，
∴y关于u的线性回归方程为＝1.22＋8.96u，
从而y关于x的回归方程为＝1.22＋.
(3)假设印刷x千册，依题意：10x－·x≥78.840.
即8.78x≥87.8，解得x≥10，
∴至少印刷10千册才能使销售利润不低于78 840元．
求线性回归方程的基本步骤
提醒：对非线性回归问题应利用变量代换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．
1．在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：
x(元)
14
16
18
20
22
y(件)
12
10
7
5
3
且知x与y具有线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程，并说明拟合效果的好坏．
[解] ＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
＝122＋102＋72＋52＋32＝327，
iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
所以＝＝＝－1.15，
所以＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以y对x的线性回归方程为＝－1.15x＋28.1，
列出残差表为
yi－i
0
0.3
－0.4
－0.1
0.2
yi－
4.6
2.6
－0.4
－2.4
－4.4
所以(yi－i)2＝0.3，
(yi－)2＝53.2，
R2＝1－≈0.994.
所以R2≈0.994，拟合效果较好.
独立性检验
【例2】 户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：
喜欢户外运动
不喜欢户外运动
总计
男性
5
女性
10
总计
50
已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是.
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)求该公司男、女员工各多少人；
(3)在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由．
下面的临界值表仅供参考：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式：K2＝，其中
n＝a＋b＋c＋d)
[解] (1)因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是，
所以喜欢户外运动的男女员工共30人，其中男员工20人，列联表补充如下：
喜欢户外运动
不喜欢户外运动
总计
男性
20
5
25
女性
10
15
25
总计
30
20
50
(2)该公司男员工人数为25÷50×650＝325(人)，则女员工有325人．
(3)K2的观测值k＝≈8.333>7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢户外运动与性别有关．
独立性检验的一般步骤
1．提出假设H0：Ⅰ和Ⅱ没有关系；
2．根据2×2列联表计算K2的观测值；
3．根据K2的观测值与临界值的大小关系作统计推断．
2．研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验．发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用条形图和独立性检验的方法判断．
[解] 建立性别与态度的2×2列联表如下：
肯定
否定
总计
男生
22
88
110
女生
22
38
60
总计
44
126
170
根据列联表中所给的数据，可求出男生中作肯定态度的频率为＝0.2，女生中作肯定态度的频率为≈0.37.作等高条形图如图，其中两个深色条形的高分别表示男生和女生中作肯定态度的频率，比较图中深色条形的高可以发现，女生中作肯定态度的频率明显高于男生中作肯定态度的频率，因此可以认为性别与态度有关系．
根据列联表中的数据得到K2的观测值
k＝≈5.622>5.024.
因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别和态度有关系.
独立性检验与统计的综合应用
【例3】 为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.
(1)甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；
(2)下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)
表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80]
频数
30
40
20
10
表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
[80,85]
频数
10
25
20
30
15
完成下面2×2列联表
疱疹面积小
于70 mm2
疱疹面积不小
于70 mm2
合计
注射药物A
a＝
b＝
注射药物B
c＝
d＝
合计
n＝
[解] (1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为p＝＝.
(2)2×2列联表如下．
疱疹面积小
于70 mm2
疱疹面积不小
于70 mm2
合计
注射药物A
a＝70
b＝30
100
注射药物B
c＝35
d＝65
100
合计
105
95
n＝200
1．(改变问法)本例条件不变，改变问法：是否有99%的把握认为注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异？
[解] 根据列联表中的数据得到K2的观测值
k＝≈24.56.
由于K2＞6.635，所以有99%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．
2．(改变问法)在本例(2)中完成如图所示的频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小．
[解] 如图所示
图Ⅰ 注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图
图Ⅱ 注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图
可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数．
1．独立性检验在实际中有着广泛的应用，是对实际生活中数据进行分析的一种方法，通过这种分析得出的结论对实际生活或者生产都有一定的指导作用．
2．近几年高考中较少单独考查独立性检验，经常与统计、概率等知识综合，频率分布表、频率分布直方图与独立性检验融合在一起是常见的考查形式，一般需要根据条件列出2×2列联表，计算K2的观测值，从而解决问题．
3．某学生对其亲属30人的饮食进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)
(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：
主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁以下
50岁以上
总计
(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析．
[解] (1)2×2列联表如下：
主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
总计
20
10
30
(2)根据列联表中的数据得到K2的观测值k＝＝10>6.635，
P(K2>6.635)＝0.01，
所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．
