课件38张PPT。第一章 计数原理1.2 排列与组合
1.2.1 排列
第1课时 排列与排列数公式一定的顺序 元素 顺序 不同排列的个数 全部取出 n·(n－1)·…·2·1 n(n－1)…(n－m＋1) n！ 1 1 排列的概念 排列的简单应用 排列数的计算与证明 点击右图进入…Thank you for watching !课件34张PPT。第一章 计数原理1.2 排列与组合
1.2.1 排列
第2课时 排列的综合应用无限制条件的排列问题 元素“相邻”与“不相邻”问题 元素“在”与“不在”问题 点击右图进入…Thank you for watching !1.2 排列与组合
1.2.1 排列
第1课时 排列与排列数公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点)
2.理解排列数公式，能利用排列数公式进行计算和证明．(难点)
1.通过学习排列的概念及排列数公式，体现了数学抽象的素养．
2.借助排列数公式进行计算培养数学运算的素养．
1.排列的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2.相同排列的两个条件
(1)元素相同．
(2)顺序相同．
思考1：两个排列相同的条件是什么？
[提示] 两个排列相同的条件：①元素相同，②元素的排列顺序也相同.
3.排列数与排列数公式
排列数定
义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示
全排列的
概念
n个不同元素全部取出的一个排列
阶乘的
概念
把n·(n－1)·…·2·1记作n！，读作：n的阶乘
排列数
公式
A＝n(n－1)…(n－m＋1)
阶乘式A＝(n，m∈N*，m≤n)
特殊情况
A＝n！，1！＝1,0！＝1
思考2：排列与排列数有何区别？
[提示] “一个排列”是指：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A只表示排列数，而不表示具体的排列.
1．下列问题中：
①10本不同的书分给10名同学，每人一本；
②10位同学互通一次电话；
③10位同学互通一封信；
④10个没有任何三点共线的点构成的线段．
属于排列的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B [由排列的定义可知①③是排列，②④不是排列．]
2．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有( )
A．3种 B．4种
C．6种 D．12种
C [由排列定义得，共有A＝6种排列方法．]
3．90×91×92×…×100可以表示为( )
A．A B．A
C．A D．A
B [由排列数公式得原式为A，故选B.]
4．A＝________，A＝________.
12 6 [A＝4×3＝12；A＝3×2×1＝6.]
排列的概念
【例1】 判断下列问题是否为排列问题．
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员．
[思路点拨] 判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．
[解] (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
所以在上述各题中(2)(5)属于排列问题．
1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”．
2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．
1．判断下列问题是否是排列问题．
(1)同宿舍4人，每两人互通一封信，问他们一共写了多少封信？
(2)同宿舍4人，每两人通一次电话，问他们一共通了几次电话？
[解] (1)是一个排列问题，相当于从4个人中任取两个人，并且按顺序排好．有多少个排列就有多少封信，共有A＝12封信．
(2)不是排列问题，“通电话”不讲顺序，甲与乙通了电话，也就是乙与甲通了电话.
排列的简单应用
【例2】 写出下列问题的所有排列．
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法．
[解] (1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．
(2)如图所示的树形图：
故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种．
利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
1．适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
2．策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．
2．(1)A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为( )
A．3种 B．4种
C．6种 D．12种
(2)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．
(1)C (2)12 [(1)所有的排法有：A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A，共6种．
(2)列出每一个起点和终点情况，如图所示．
故符合题意的机票种类有：
北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京、广州→天津、广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种．]
排列数的计算与证明
[探究问题]
1．排列数A中，n，m满足什么条件？
[提示] n，m∈N*，m≤n.
2．等式A＝nA成立吗？
[提示] 成立．A＝，A＝
∴A＝＝nA.
【例3】 (1)计算：；(2)求证：A－A＝mA.
[思路点拨] (1)合理选用排列数的两个公式进行展开．
(2)提取公因式后合并化简．
[解] (1)
＝
＝＝1.
(2)证明：∵A－A＝－
＝
＝·＝m·＝mA.
∴A－A＝mA.
排列数的计算方法
1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．
2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
3．求3A＝4A中的x.
[解] 原方程3A＝4A可化为＝，
即＝，
化简，得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.
由题意知解得x≤8.
所以原方程的解为x＝6.
1．在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题．
2．排列数两个公式的选取技巧
(1)排列数的第一个公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．
(2)排列数的第二个公式A＝用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等．
提醒：公式中的n，m应该满足n，m∈N*，m≤n，当m>n时不成立.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．( )
(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．( )
(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．( )
(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．( )
(5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
2．4×5×6×…×(n－1)×n等于( )
A．A B．A
C．(n－4)! D．A
D [4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3个因式，最大数为n，最小数为4，
故4×5×6×…×(n－1)×n＝A.]
3．5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有________种．
120 [利用排列的概念可知不同的分配方法有A＝120种．]
4．计算：.
[解] 法一：＝＝＝.
法二：＝＝＝＝.
第2课时 排列的综合应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点)
2.能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)
通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养.
无限制条件的排列问题
【例1】 (1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有5种不同的书(每种不少于3本)，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
[思路点拨] (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．
[解] (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．
(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．
1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．
2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．
1．将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．
720 [问题相当于从10个人中选出3个人，然后进行全排列，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A＝10×9×8＝720.]
元素“相邻”与“不相邻”问题
【例2】 3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．
(1)全体站成一排，男、女各站在一起；
(2)全体站成一排，男生必须站在一起；
(3)全体站成一排，男生不能站在一起；
(4)全体站成一排，男、女各不相邻．
[思路点拨] 相邻捆绑，不相邻插空．
[解] (1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法；
女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法；
全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法．
由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288种排队方法．
(2)三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法．故有A·A＝720种排队方法．
(3)先安排女生，共有A种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A种排法，故共有A·A＝1 440种排法．
(4)排好男生后让女生插空，
共有A·A＝144种排法．
“相邻”与“不相邻”问题的解决方法
处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
2．5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为( )
A．18 B．24
C．36 D．48
C [5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3A×A＝36(种)．]
元素“在”与“不在”问题
[探究问题]
有4名男生、5名女生，全体排成一排，则甲不在中间，也不在两端有多少种不同排法？
(1)用元素分析法，以甲为研究对象，如何解答？
(2)用位置分析法，以中间和两端三个位置为研究对象，如何解答？
(3)用间接法，如何解答？
(4)用等机会法，如何解答？
[提示] (1)先排甲有6种排法，其余有A种不同排法，故共有6A＝241 920种排法．
(2)中间和两端共有A种不同排法，其余6人共有A种不同排法，故共有A·A＝336×720＝241 920种排法．
(3)共有A－3A＝6A＝241 920种排法．
(4)甲排在任何一个位置都是等可能的，故甲不在中间也不在两端的排法，共有A＝241 920种排法．
【例3】 (1)有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有________种不同的安排方法．(用数字回答)
(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？
①六位数且是奇数；
②个位上的数字不是5的六位数．
[思路点拨] (1)可以用直接法或间接法求解，注意“化学”这个特别元素．
(2)注意“0”这个特殊元素及个位这个特殊位置．
300 [(1)法一：(分类法)分两类．
第1类，化学被选上，有AA种不同的安排方法；
第2类，化学不被选上，有A种不同的安排方法．
故共有AA＋A＝300种不同的安排方法．
法二：(分步法)第1步，第四节有A种排法；第2步，其余三节有A种排法，故共有AA＝300种不同的安排方法．
法三：(间接法)从6门课程中选4门安排在上午，有A种排法，而化学排第四节，有A种排法，故共有A－A＝300种不同的安排方法．]
(2)[解] ①法一：从特殊位置入手(直接法)：
第一步：排个位，从1,3,5三个数字中选1个，有A种排法；
第二步：排十万位，有A种排法；
第三步：排其他位，有A种排法．
故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有AAA＝288(个)．
法二：从特殊元素入手(直接法)：
0不在两端，有A种排法；
从1,3,5中任选一个排在个位上，有A种排法；
其他数字全排列有A种排法．
故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有AAA＝288(个)．
法三：(排除法)
从整体上排除：6个数字的全排列数为A，0,2,4在个位上的排列数为3A，而1,3,5在个位上，0在十万位上的排列数为3A，故符合题意的六位数奇数共有A－3A－3A＝288(个)．
②法一：(排除法)
6个数字的全排列有A个，0在十万位上的排列有A个，5在个位上的排列有A个，0在十万位上且5在个位上的排列有A个，
故符合题意的六位数共有A－A－(A－A)＝504(个)．
法二：(直接法)
个位上不排5，有A种排法．但十万位上数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此，需分两类：
第一类，当个位上排0时，有A种排法；
第二类，当个位上不排0时，有A·A·A种排法．
故符合题意的六位数共有A＋A·A·A＝504(个)．
1．本例条件不变，能组成多少个能被5整除的五位数？
[解] 个位上的数字必须是0或5.若个位上是0，则有A个；若个位上是5，若不含0，则有A个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A种排法，其余各位有A种排法，故共有A＋A＋AA＝216(个)能被5整除的五位数．
2．本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第几项？
[解] 由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A个数，所以240 135的项数是A＋3A＋1＝193，即240 135是数列的第193项．
解排数字问题常见的解题方法
1．“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．
2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．
3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．
4．“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．
解有限制条件的排列问题的基本思路
限制条件
解题策略
特殊元素
通常采用“元素分析”法，即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素
特殊位置
通常采用“位置分析”法，即以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置
元素相邻
通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列
元素不相邻
通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空当中
1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )
A．36 B．120
C．720 D．240
C [由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A＝720.]
2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )
A．240种 B．360种
C．480种 D．720种
C [先排甲，有4种方法，剩余5人全排列，有A＝120种，所以不同的演讲次序有4×120＝480种．]
3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．
144 [先排奇数位有A种，再排偶数位有A种，故共有AA＝144个．]
4．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？
[解] 法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：
第1类，甲不参赛，有A种参赛方案；
第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A种方法，此时有2A种参赛方案．
由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A＋2A＝240种．
法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A种方法．
由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有AA＝240种．
课时分层作业(三) 排列与排列数公式
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列问题属于排列问题的是( )
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作logab中的底数与真数．
A．①④ B．①②
C．④ D．①③④
A [根据排列的概念知①④是排列问题．]
2．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有( )
A．6个 B．10个
C．12个 D．16个
C [符合题意的商有A＝4×3＝12.]
3．已知A＝132，则n等于( )
A．11 B．12
C．13 D．14
B [∵A＝n(n－1)，∴由n(n－1)＝132可知n＝12.]
4．计算＝( )
A．12 B．24
C．30 D．36
D [A＝7×6A，A＝6A，所以＝＝36.]
5．给出下列4个等式：
①n！＝；②A＝nA；③A＝；
④A＝.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [由排列数公式逐一验证，①②③成立，④不成立．故选C.]
二、填空题
6．集合P＝{x|x＝A，m∈N*}，则集合P中共有______个元素．
3 [因为m∈N*，且m≤4，所以P中的元素为A＝4，A＝12，A＝A＝24，即集合P中有3个元素．]
7．如果A＝15×14×13×12×11×10，那么n＝________，m＝________.
15 6 [15×14×13×12×11×10＝A，故n＝15，m＝6.]
8．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法．(用数字作答)
1 680 [将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A＝8×7×6×5＝1 680(种)．]
三、解答题
9．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成多少个以b为首的不同排列，试列出所有不同的排法．
[解] 画出树形图如下：
可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
10．解方程：A＝140A.
[解] 根据排列数的定义，x应满足
解得x≥3，x∈N*.
根据排列数公式，原方程化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2)．
因为x≥3，于是得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)，
即4x2－35x＋69＝0，
解得x＝3或x＝(舍去)．
所以原方程的解为x＝3.
[能力提升练]
1．若S＝A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是( )
A．0 B．3
C．5 D．8
B [∵A＝120，∴n≥5时A的个位数都为零，∴1！＋2！＋3！＋4！＝1＋2＋6＋24＝33.
故S的个位数字为3.]
2．满足不等式>12的n的最小值为( )
A．12 B．10 C．9 D．8
B [由排列数公式得>12，则(n－5)(n－6)>12，解得n>9或n<2(舍去)．又n∈N*，所以n的最小值为10.]
3．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)
1 560 [A＝40×39＝1 560.]
4．从集合{0,1,2,5,7,9,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．
30 [易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，有A种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线条数为A＝30.]
5．规定A＝x(x－1)…(x－m＋1)，其中x∈R，m为正整数，且A＝1，这是排列数A(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广．
(1)求A的值；
(2)确定函数f(x)＝A的单调区间．
[解] (1)由已知得A＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080.
(2)函数f(x)＝A＝x(x－1)(x－2)＝x3－3x2＋2x，则f′(x)＝3x2－6x＋2.
令f′(x)＞0，得x＞或x＜，
所以函数f(x)的单调增区间为
，；
令f′(x)＜0，得＜x＜，
所以函数f(x)的单调减区间为.
课时分层作业(四) 排列的综合应用
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．某天上午要排语文，数学，体育，计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有( )
A．6种 B．9种
C．18种 D．24种
C [先排体育有A种，再排其他的三科有A种，共有3×6＝18(种)．]
2．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有( )
A．720 B．360
C．240 D．120
C [因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有A种排法，但甲、乙两人之间有A种排法．
由分步乘法计数原理知，共有AA＝240种不同的排法．]
3．用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A．36 B．30
C．40 D．60
A [奇数的个位数字为1,3或5，所以个位数字的排法有A种，十位数字和百位数字的排法种数有A种，故奇数有A·A＝3×4×3＝36个．]
4．5人排成一排，其中甲，乙至少一人在两端的排法种数为( )
A．6 B．84
C．24 D．48
B [5人全排列有A种，甲，乙都不在两端的排法有AA种，共有A－AA＝84种不同的排法．]
5．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )
A．9 B．10
C．18 D．20
C [从1,3,5,7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数为A＝20，但lg 1－lg 3＝lg 3－lg 9，lg 3－lg 1＝lg 9－lg 3，所以不同值的个数为20－2＝18，故选C.]
二、填空题
6．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)
36 [分三步分别选出文娱委员、学习委员、体育委员，共有AAA＝36种选法．]
7．六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为________．
24 [把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有A＝4×3×2×1＝24种．]
8．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．
186 [可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果．A－A＝186(种)．]
三、解答题
9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？
(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？
[解] (1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A种排法，故共有不同排法AA＝14 400种．
(2)先不考虑排列要求，有A种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有AA种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A－AA＝37 440种．
10．用0,1,2,3,4,5这六个数字：
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数；
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数；
(3)能组成多少个比1 325大的四位数．
[解] (1)符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有A个；
第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A种，十位和百位从余下的数字中选，有A种，于是有A·A个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A·A个．
由分类加法计数原理知，共有四位偶数A＋A·A＋A·A＝156(个)．
(2)五位数中是5的倍数的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有A个；个位数上的数字是5的五位数有A·A个．
故满足条件的五位数的个数共有A＋A·A＝216(个)．
(3)比1 325大的四位数可分为三类：
第一类：形如2，3，4，5的数，共A·A个；
第二类：形如14，15，共A·A个；
第三类：形如134，135，共A·A个．
由分类加法计数原理知，比1 325大的四位数共有A·A＋A·A＋A·A＝270(个)．
[能力提升练]
1．3张卡片正反面分别标有数字1和2,3和4,5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为( )
A．30 B．48
C．60 D．96
B [“组成三位数”这件事，分2步完成：第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列A；第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法．根据分步乘法计数原理，可以得到A×2×2×2＝48个不同的三位数．]
2．安排6名歌手演出的顺序时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是( )
A．180 B．240
C．360 D．480
D [不同的排法种数先全排列有A，甲、乙、丙的顺序有A，乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，4种顺序，所以不同排法的种数共有4×＝480种．]
3．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且1,2都不与5相邻的五位数的个数是________．
36 [将3,4两个数全排列，有A种排法，当1,2不相邻且不与5相邻时有A种方法，当1,2相邻且不与5相邻时有A·A种方法，故满足题意的数的个数为A(A＋A·A)＝36.]
4．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻， 且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
36 [先考虑产品A与B相邻，把A，B作为一个元素有A种摆法，而A，B可交换位置，所以有2A＝48种摆法，又当A，B相邻又满足A，C相邻，有2A＝12种摆法，故满足条件的摆法有48－12＝36种．]
5．7人站成一排．
(1)甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？
(2)甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？
(3)甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种？
(4)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？
[解] (1)法一：7人的所有排列方法有A种，其中甲、乙、丙的排序有A种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有＝840(种)．
法二：(填空法)7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故A＝7×6×5×4＝840(种)．
(2)甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等，而7人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有A＝2 520(种)．
(3)第一步：从其余5人中选1人放于甲、乙之间，有A种方法．
第二步：将甲、乙及中间1人看作一个元素与其他四个人全排，有A种方法．
第三步：甲、乙及中间1人的排列为A.
根据乘法原理得A×A×A＝1 200(种)，
故有1 200种排法．
(4)第一步安排甲，有A种排法；第二步安排乙，有A种排法，第三步将余下的5人排在剩下的5个位置上，有A种排法．由分步乘法计数原理得，符合要求的排法共有A·A·A＝1 440种．
