课件38张PPT。第一章 计数原理1.2 排列与组合
1.2.2 组合
第1课时 组合与组合数公式一组 所有不同组合 1 写出问题的组合 组合数公式的应用 简单的组合问题 点击右图进入…Thank you for watching !课件31张PPT。第一章 计数原理1.2 排列与组合
1.2.2 组合
第2课时 组合的综合应用组合数的两个性质 有限制条件的组合问题 分组(分配)问题 点击右图进入…Thank you for watching !1.2.2 组合
第1课时 组合与组合数公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解组合与组合数的概念．(重点)
2.会推导组合数公式，并会应用公式求值．(重点)
3.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．(难点、易混点)
1.通过学习组合与组合数的概念，体现了数学抽象的素养．
2.借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培养数学运算的素养.
1．组合的概念
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
思考1：怎样理解组合，它与排列有何区别？
[提示] (1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．
(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点．
(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题．
2．组合数的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．
思考2：如何理解组合与组合数这两个概念？
[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3.
3．组合数公式及其性质
(1)公式：C＝＝.
(2)性质：C＝C，C＋C＝C.
(3)规定：C＝1.
1．下面几个问题中属于组合问题的是( )
①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．
A．①③ B．②④
C．①② D．①②④
C [①②取出元素与顺序无关，③④取出元素与顺序有关．]
2．若C＝28，则n＝( )
A．9 B．8
C．7 D．6
B [C＝＝28，解得n＝8.]
3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．
3 [甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C＝＝3.]
4．C＝________，C＝________.
15 18 [C＝＝15，C＝C＝18.]
写出问题的组合
【例1】 已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．
[解] 法一：可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即
所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.
法二：画出树形图，如图所示．
由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.
1．此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借助本例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直观地写出组合做到不重复不遗漏．
2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交换位置为ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．
1．已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合．
[解] 可按a→b→c→d顺序写出，即
所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.
组合数公式的应用
【例2】 (1)计算C－C·A；
(2)计算C＋C.
[思路点拨] 解答此类问题要恰当选择组合数公式，并注意使用组合数公式的隐含条件．
[解] (1)原式＝－·(3×2×1)＝210－210＝0.
(2)由
得n＝4或5.
当n＝4时，原式＝C＋C＝5，
当n＝5时，原式＝C＋C＝16.
1．在具体选择公式时，要根据原题的特点，一般地，公式C＝常用于n为具体数的数目，偏向于组合数的计算，公式C＝常用于n为字母的题目，偏向于解不等式或证明恒等式．
2．解题时，一定不要忘记组合数的意义．
2．求值：C＋C.
[解] 由组合数的公式的性质，
可得
解得n＝6.
所以，原式＝C＋C
＝C＋C＝12＋19＝31.
简单的组合问题
【例3】 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
[思路点拨]
―→
[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45种．
(2)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有C种方法；
第2类，选出的2名是女教师有C种方法．
根据分类加法计数原理，共有C＋C＝15＋6＝21种不同选法．
(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C×C＝×＝90种．
本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？
[解] 至少有1名男教师可分两类：1男1女有CC种，2男0女有C种．
由分类加法计数原理知有CC＋C＝39种．
最多有1名男教师包括两类：1男1女有CC种，0男2女有C种．
由分类加法计数原理知有CC＋C＝30种．
解简单的组合应用题的策略
1．解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．
2．要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．
提醒：在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．
3．(1)集合{0,1,2,3}含有3个元素的子集的个数是( )
A．4 B．5
C．7 D．8
(2)五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条．
(1)A (2)10 20 [(1)由于集合中的元素是没有顺序的，一个含有3个元素的子集就是一个从{0,1,2,3}中取出3个元素的组合，这是一个组合问题，组合数是C＝4.
(2)从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C＝10(条)．再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A＝20.所以有向线段共有20条．]
排列与组合的相同点与不同点
名称
排列
组合
相同点
都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复
不同点
1.排列与顺序有关；
2.两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同
1.组合与顺序无关；
2.两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )
(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C.( )
(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．( )
(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．( )
(5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×
2．下列计算结果为21的是( )
A．A＋C B．C
C．A D．C
D [C＝＝21.]
3．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次．
15 [每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C＝15次．]
4．(1)求C＋C的值；
(2)证明：C＝C.
[解] (1)由组合数的定义知，
即
∴≤n≤，∵n∈N*，∴n＝10.
∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝＋31＝466.
(2)证明：C＝·＝＝C.
第2课时 组合的综合应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题．(重点)
2.能解决无限制条件的组合问题．(难点)
通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养.
组合数的两个性质
【例1】 计算：(1)C＋C＋C＋…＋C；
(2)(C＋C)÷A.
[思路点拨] (1)利用组合数的公式及性质，逐一进行证明或计算．
(2)中排列数公式和组合数公式的综合运用．
[解] (1)C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋C＋…＋C－C＝C＋C＋C＋…＋C－1
＝…＝C－1＝329.
(2)(C＋C)÷A＝(C＋C)÷A＝C÷A＝.
组合数公式C＝体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到.组合数公式C＝的主要作用有：
?1?计算m，n较大时的组合数；
?2?对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.
特别地，当m>时计算C，用性质C＝C转化，减少计算量.
1．解方程C＝C.
[解] 由原方程及组合数性质可知3n＋6＝4n－2或3n＋6＝18－(4n－2)，解得n＝2或n＝8.而当n＝8时，3n＋6＝30>18，不符合组合数的定义，故舍去．因此n＝2.
有限制条件的组合问题
【例2】 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
[解] (1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C·C＋C·C＝825种．或采用排除法有C－C＝825种．
(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C·C＋C·C＋C＝966种．
(3)分两种情况：
第一类：女队长当选，有C种；
第二类：女队长不当选，
有C·C＋C·C＋C·C＋C种．
故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790种．
在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？
[解] 分两类情况：
第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有C＝462种选法．
第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：C＋C＝660种选法．
所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122种．
常见的限制条件及解题方法
1．特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．
2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．
3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．
2．某地区发生了特别重大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
[解] (1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C＝90种抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，
法一：(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有C·C种选法；
②选3名外科专家，共有C·C种选法；
③选4名外科专家，共有C·C种选法；
根据分类加法计数原理，共有
C·C＋C·C＋C·C＝185种抽调方法．
法二：(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C·C种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：
C－C·C－C＝185种抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有C种选法；
②有1名外科专家参加，有C·C种选法；
③有2名外科专家参加，有C·C种选法．
所以共有C＋C·C＋C·C＝115种抽调方法.
分组(分配)问题
[探究问题]
1．把3个苹果平均分成三堆共有几种分法？为什么？
[提示] 共1种分法．因为三堆无差异．
2．若把3个不同的苹果分给三个人，共有几种方法？
[提示] 共有A＝3×2×1＝6种分法．
【例3】 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；
(2)分为三份，每份两本；
(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
[思路点拨] (1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组问题”，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．
[解] (1)根据分步乘法计数原理得到：CCC＝90种．
(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法．根据分步乘法计数原理可得：CCC＝xA，所以x＝＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法．
(3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC＝60种方法．
(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360种方法．
(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有CCC＝90种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有CC5CA＝360种方法；③“1、1、4型”，有CA＝90种方法．所以一共有90＋360＋90＝540种方法．
分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
?1?完全均匀分组，每组的元素个数均相等.
?2?部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！.
?3?完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
3．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．
36 [分两步完成：第一步，将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A种．所以满足条件的分配方案有·A＝36(种)．]
1．恰当利用组合数的两个性质，可使问题简化．
2．对于含有限制条件的组合问题，要合理分类、必要时可用间接法．
3．对于分组问题应注意避免计数的重复或遗漏，对于分配问题解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)C＋C＝C(m≥2且m∈N*)．( )
(2)从4名男生3名女生中任选2人，至少有1名女生的选法共有CC种．( )
(3)把4本书分成3堆，每堆至少一本共有C种不同分法．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有( )
A．C种 B．A种
C．AA种 D．CC种
D [每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种选法．故共有CC种不同的选法．]
3．方程C＝C的解为________．
4或6 [由C＝C，∴x＝2x－4或x＋2x－4＝14，即x＝4或x＝6.]
4．高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．
(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？
[解] (1)从余下的34名学生中选取2名，
有C＝561(种)．
∴不同的取法有561种．
(2)从34名可选学生中选取3名，有C种．
或者C－C＝C＝5 984种．
∴不同的取法有5 984种．
(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC＝2 100种．
∴不同的取法有2 100种．
(4)选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有选取方式N＝CC＋C＝2 100＋455＝2 555种．
∴不同的取法有2 555种．
(5)选取3名的总数有C，因此选取方式共有N＝C－C＝6 545－455＝6 090种．
∴不同的取法有6 090种．
课时分层作业(五) 组合与组合数公式
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列四个问题属于组合问题的是( )
A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作
B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式
D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员
C [A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题．]
2．已知平面内A，B，C，D，E，F这6个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )
A．3 B．20
C．12 D．24
B [C＝＝20.]
3．下列等式不正确的是( )
A．C＝ B．C＝C
C．C＝C D．C＝C
D [由组合数公式逐一验证知D不正确．]
4．若A＝12C，则n等于( )
A．8 B．5或6
C．3或4 D．4
A [A＝n(n－1)(n－2)，C＝n(n－1)，
所以n(n－1)(n－2)＝12×n(n－1)．
由n∈N*，且n≥3，解得n＝8.]
5．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )
A．36种 B．48种
C．96种 D．192种
C [甲选修2门有C＝6种选法，乙、丙各有C＝4种选法．由分步乘法计数原理可知，共有6×4×4＝96种选法．]
二、填空题
6．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)
210 [从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C＝210种分法．]
7．方程：C＋C＝C－C的解集为________．
{x|x＝2} [由组合数公式的性质可知解得x＝1或x＝2，代入方程检验得x＝2满足方程，所以原方程的解为{x|x＝2}．]
8．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A，B，O，AB四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女一定不是O型，若某人的血型为O型，则父母血型所有可能情况有________种．
9 [父母应为A或B或O，共有C·C＝9种情况．]
三、解答题
9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？
[解] 从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C＝＝20个．
10．求式子－＝中的x.
[解] 原式可化为：－＝，∵0≤x≤5，∴x2－23x＋42＝0，
∴x＝21(舍去)或x＝2，即x＝2为原方程的解．
[能力提升练]
1．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有( )
A．36个 B．72个
C．63个 D．126个
D [此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为C＝126个．]
2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )
A．140种 B．84种
C．70种 D．35种
C [可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C·C＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C·C＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．]
3．某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3人去参观展览．若恰有1名女同学入选的不同选法有20种，则该科技小组中男同学的人数为________．
5 [由题意得CC＝20，解得x＝5(负值舍去)．所以该科技小组有5名男同学．]
4．已知＝＝，则m与n的值分别为________．
14,34 [可得：
∴?]
5．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．
(1)有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
[解] (1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有C＝＝161 700(种)．
(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C·C＝9 506(种)．
(3)法一：抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C·C种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C·C＋C·C＝9 604(种)．
法二：抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即C－C＝161 700－152 096＝9 604(种)．
课时分层作业(六) 组合的综合应用
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有( )
A．27种 B．24种
C．21种 D．18种
C [分两类：一类是2个白球有C＝15种取法，另一类是2个黑球有C＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．]
2．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( )
A．120 B．84
C．52 D．48
C [间接法：C－C＝52种．]
3．若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数有( )
A．CC B．AA
C． D．AAA
C [由于三组之间没有区别，且是平均分组，故共有，故选C.]
4．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有( )
A．56种 B．68种
C．74种 D．92种
D [根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有CC种，有一个“多面手”的选派方法有CCC种，有两个“多面手”的选派方法有CC种，即共有20＋60＋12＝92种不同的选派方法．]
5．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1人，最多2人，则不同的分配方案有( )
A．30种 B．90种
C．180种 D．270种
B [先将5名教师分成3组，有＝15种分法，再将3组分配到3个不同班级有A＝6种分法，故共有15×6＝90种方案．]
二、填空题
6．在直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有________个．
225 [在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C×C＝15×15＝225个．]
7．计算：C＋C＋C＋…＋C＝________.
165 [C＋C＋C＋…＋C＝C＝＝165.]
8．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内．每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有________种．(以数字作答)
240 [从10个球中任取3个，有C种方法．取出的3个球与其所在盒子的标号不一致的方法有2种．
∴共有2C种方法．即240种．]
三、解答题
9．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？
(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；
(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．
[解] (1)每个小球都有4种放法，根据分步乘法计数原理，共有46＝4 096种不同放法．
(2)分两类：第1类，6个小球分3,1,1,1放入盒中；第2类，6个小球分2,2,1,1放入盒中，共有C·C·A＋C·C·A＝1 560(种)不同放法．
(3)法一：按3,1,1,1放入有C种方法，按2,2,1,1放入有C种方法，共有C＋C＝10(种)不同放法．
法二：(挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将6个球分成四份，共有C＝10(种)不同放法．
10．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点．
(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？
(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
(3)(2)中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？
[解] (1)所作出的平面有三类．
①α内1点，β内2点确定的平面，最多有C·C个．
②α内2点，β内1点确定的平面，最多有C·C个．
③α，β本身，有2个．
故所作的平面最多有C·C＋C·C＋2＝98(个)．
(2)所作的三棱锥有三类．
①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有C·C个．
②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有C·C个．
③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有C·C个．
故最多可作出的三棱锥有C·C＋C·C＋C·C＝194(个)．
(3)当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等．所以体积不相同的三棱锥最多有C＋C＋C·C＝114(个)．故最多有114个体积不同的三棱锥．
[能力提升练]
1．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )
A．60种 B．20种
C．10种 D．8种
C [四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即C＝10.]
2．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
A．4种 B．10种
C．18种 D．20种
B [分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10种，故选B.]
3．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路图(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条．
126 [要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有CC＝126种走法，故从A地到B地的最短路线共有126条．]
4．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个．
58 [先从8个顶点中任取4个的取法为C种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为C－12＝58个．]
5．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：
(1)4只鞋子没有成双的；
(2)4只鞋子恰有两双；
(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双．
[解] (1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C×24＝3 360(种)．
(2)从10双鞋子中选2双有C种取法，即有45种不同取法．
(3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋中选取2双有C种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝CC×22＝1 440种.
