课件39张PPT。第一章 计数原理1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理n＋1 k＋1 二项式定理的正用和逆用 求展开式中的特定项 二项式定理的灵活应用 点击右图进入…Thank you for watching !1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能用计数原理证明二项式定理．
2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．(重点)
3.能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)
1.通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养．
2.借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算素养.
1．二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
2．二项展开式的通项公式
(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.
思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗，为什么？
[提示] 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．
思考2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？
[提示] 不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为Can－kbk，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为Cbn－kak.
1．(x＋1)n的展开式共有11项，则n等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
B [由二项式定理的公式特征可知n＝10.]
2．C·2n＋C·2n－1＋…＋C·2n－k＋…＋C等于( )
A．2n B．2n－1
C．3n D．1
C [原式＝(2＋1)n＝3n.]
3．(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为________，第3项的二项式系数为________．
40 10 [∵T3＝C(2x)2＝C22x2＝40x2，
∴第3项的系数为40，第3项的二项式系数为C＝10.]
二项式定理的正用和逆用
【例1】 (1)求4的展开式；
(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.
[解] (1)法一：4＝C()4－C()3·＋C()2·2－C·3＋C4＝x2－2x＋－＋.
法二：4＝4＝(2x－1)4
＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)
＝x2－2x＋－＋.
(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
二项式定理的双向功能
1．正用：将二项式(a＋b)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
2．逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．
1．(1)求二项式4的展开式；
(2)化简(x－2)5＋5(x－2)4＋10(x－2)3＋10(x－2)2＋5(x－2)．
[解] (1)4
＝C(3)4＋C(3)3＋C(3)22＋C(3)3＋
C4
＝81x2－108x＋54－＋.
(2)原式＝C(x－2)5＋C(x－2)4＋C(x－2)3＋C(x－2)2＋C(x－2)＋C(x－2)0－1
＝[(x－2)＋1]5－1＝(x－1)5－1.
求展开式中的特定项
【例2】 已知n展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
[解] (1)因为T3＝C()n－22＝4Cx，
T2＝C()n－1＝－2Cx，
依题意得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81，
所以n2＝81，n＝9.
(2)设第r＋1项含x3项，
则Tr＋1＝C()9－rr＝(－2)rCx，
所以＝3，r＝1，
所以第二项为含x3的项：T2＝－2Cx3＝－18x3.
二项式系数为C＝9.
1．(变结论)在本例条件不变的情况下，求二项展开式的常数项．
[解] 通项公式为：
Tk＋1＝(－2)kCx.
由＝0得k＝3.
∴展开式中的常数项为(－2)3C＝－672.
2．(变结论)在本例不变的条件下，求二项展开式的所有有理项．
[解] 由题意可得故k可取1,3,5,7,9.
故二项展开式的所有有理项为
T2＝(－2)Cx3＝－18x3；
T4＝(－2)3Cx0＝－672；
T6＝(－2)5Cx－3＝－4 032x－3；
T8＝(－2)7Cx－6＝－4 608x－6；
T10＝(－2)9Cx－9＝－512x－9.
1．求二项展开式的特定项的常见题型
(1)求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；
(2)求含xk的项(或xpyq的项)；
(3)求常数项；
(4)求有理项．
2．求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
二项式定理的灵活应用
[探究问题]
1．(a＋b＋c)2的展开式共有几项？
[提示] (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc，故其展开式共6项．
2．你能借助计数原理的知识说明一下(a＋b＋c)2的展开过程吗？
[提示] (a＋b＋c)2相当于2个(a＋b＋c)相乘，即
(a＋b＋c)2＝(a＋b＋c)(a＋b＋c)，故按分步乘法原理及分类加法原理可知：要出现a2，只有两个括号同时出a；要出现ab，只有1个括号出a，另一个括号出b，即Cab；同理可得其他展开项．
【例3】 (1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A．10 B．20
C．30 D．60
(2)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)
[思路点拨] (1)(x2＋x＋y)5相当于5个x2＋x＋y相乘；
(2)(x－y)(x＋y)8＝x(x＋y)8－y(x＋y)8，结合题意求解即可．
(1)C (2)－20 [(1)(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.
(2)(x－y)(x＋y)8＝x(x＋y)8－y(x＋y)8，所以展开式中含有x2y7的项为x·Cxy7－yCx2y6＝－20x2y7，故x2y7的系数为－20.]
1．两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．
(3)分别求解再相乘，求和即得．
2．三项或三项以上的展开问题
应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．
2．(1)(2017·高考全国卷)(1＋x)6展开式中x2的系数为( )
A．15 B．20
C．30 D．35
(2)求(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数．
(1)C [(1)(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30，故选C.]
(2)[解] 把(x2＋3x＋2)5看成5个(x2＋3x＋2)相乘，每个因式各取一项相乘得到展开式中的一项，x项可由1个因式取3x,4个因式取2得到，即C3x·C·24＝240x，
所以(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为240.
1．二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，后者与二项式的指数、项数及字母的系数均有关．
2．要牢记Can－kbk是展开式的第k＋1项，而非第k项．
3．对于非二项式的展开式问题可借助其原理求解．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )
(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )
(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．( )
(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(x－)10展开式中x6项的二项式系数为( )
A．－C B．C
C．－4C D．4C
B [含x6项为展开式中第5项，所以二项式系数为C.]
3．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．
207 [x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果，
∴其系数为C＋C(－1)＝207.]
4．求5的展开式的第3项的系数和常数项．
[解] T3＝C(x3)32＝C·x5，所以第3项的系数为C·＝.
通项Tk＋1＝C(x3)5－kk＝k·Cx15－5k，令15－5k＝0，得k＝3，所以常数项为T4＝C(x3)2·3＝.
课时分层作业(七) 二项式定理
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是( )
A．(2x＋2)5 B．2x5
C．(2x－1)5 D．32x5
D [原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.]
2．已知7 的展开式的第4项等于5，则x等于( )
A． B．－
C．7 D．－7
B [T4＝Cx43＝5，则x＝－.]
3．在8的展开式中常数项是( )
A．－28 B．－7
C．7 D．28
C [Tk＋1＝C·8－k·k＝(－1)k·C·8－k·x，
当8－k＝0，即k＝6时，T7＝(－1)6·C·2＝7.]
4．在6的二项展开式中，x2的系数为( )
A．－ B．
C．－ D．
C [Tk＋1＝C6－k·k＝(－1)k22k－6·Cx3－k，令3－k＝2，则k＝1，所以x2的系数为(－1)1×2－4×C＝－，故选C.]
5．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )
A．12 B．16
C．20 D．24
A [展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12.]
二、填空题
6．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为________．
－210 [由通项公式得T7＝C·(－i)6＝－C＝－210.]
7．(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)10展开式中x3的系数为________．
330 [x3的系数为C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＝330.]
8．如果n的展开式中，x2项为第3项，则自然数n＝________.
8 [Tk＋1＝C()n－kk＝Cx，由题意知k＝2时，＝2，所以n＝8.]
三、解答题
9．已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
[解] 通项公式为：
(1)∵第6项为常数项，
∴r＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得r＝(10－6)＝2，
∴所求的系数为C(－3)2＝405.
(3)由题意得，令＝k(k∈Z)，
则10－2r＝3k，即r＝5－k.
∵r∈Z，∴k应为偶数，
k＝2,0，－2，即r＝2,5,8，
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C(－3)2x2，C(－3)5，C(－3)8x－2.
即405x2，－61 236,295 245x－2.
10．记n的展开式中第m项的系数为bm.
(1)求bm的表达式；
(2)若n＝6，求展开式中的常数项；
(3)若b3＝2b4，求n.
[解] (1)n的展开式中第m项为C·(2x)n－m＋1·m－1＝
2n＋1－m·C·xn＋2－2m，
所以bm＝2n＋1－m·C.
(2)当n＝6时，n的展开式的通项为Tk＋1＝C·(2x)6－k·k＝26－k·C·x6－2k.
依题意，6－2k＝0，得k＝3，
故展开式中的常数项为T4＝23·C＝160.
(3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C＝2·2n－3·C，从而C＝C，即n＝5.
[能力提升练]
1．(1－x)4(1－)3的展开式中x2的系数是( )
A．－6 B．－3
C．0 D．3
A [∵(1－x)4(1－)3＝(1－4x＋6x2－4x3＋x4)(1－3x＋3x－x)，
∴x2的系数是－12＋6＝－6.]
2．设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝( )
A．0 B．1
C．11 D．12
D [512 018＋a＝(13×4－1)2 018＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512 018＋a能被13整除．]
3．若5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.
－2 [Tk＋1＝C·(ax2)5－kk＝C·a5－kx令10－k＝5，解得k＝2.又展开式中x5的系数为－80，则有C·a3＝－80，解得a＝－2.]
4．对于二项式n(n∈N*)，有以下四种判断：
①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是________．(填序号)
①④ [二项式n的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．]
5．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
[解] 由题设知m＋n＝19，又m，n∈N*，
所以1≤m≤18.
x2的系数为C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171.
所以当m＝9或10时，x2的系数的最小值为81，
此时x7的系数为C＋C＝156.
