课件42张PPT。第一章 计数原理1.3 二项式定理
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质相等 和 1 首末两端“等距离” 增大 减小 2n2n－1“杨辉三角”的应用 求展开式的系数和 二项式系数性质的应用 点击右图进入…Thank you for watching !1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
学 习 目 标
核 心 素 养
3.理解和初步掌1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点)
2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点)
握赋值法及其应用．(重点)
1.通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养．
2.借助二项式系数的性质解题，提升数学运算的素养.
1．杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.
2．二项式系数的性质
(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，…，C＝C.
(2)增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n
是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数与相等，且同时取得最大值．
3．各二项式系数的和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
1．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是( )
A．1 B．－1
C．215 D．315
B [令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1.]
2．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( )
A．第8项 B．第7项
C．第9项 D．第10项
C [由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]
3．在(a＋b)8的展开式中，二项式系数最大的项为________，在(a＋b)9的展开式中，二项式系数最大的项为________．
70a4b4 126a5b4与126a4b5 [因为(a＋b)8的展开式中有9项，所以中间一项的二项式系数最大，该项为Ca4b4＝70a4b4.
因为(a＋b)9的展开式中有10项，所以中间两项的二项式系数最大，这两项分别为Ca5b4＝126a5b4，Ca4b5＝126a4b5.]
“杨辉三角”的应用
【例1】 如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．
[思路点拨] 由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C.
[解] S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C＝＋220＝274.
解决与“杨辉三角”有关的问题的一般方法
1．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．
[前n－1行共有正整数[1＋2＋…＋(n－1)]个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为.]
求展开式的系数和
【例2】 设(1－2x)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018·x2 018(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 018的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 017的值；
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 018|的值．
[思路点拨] 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．
[解] (1)令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝(－1)2 018＝1. ①
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 017＋a2 018＝32 018. ②
①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 017)＝1－32 018，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 017＝.
(3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，
∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 018|
＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 017＋a2 018＝32 018.
在本例条件不变的情况下，求下列各式的值．
(1)a2＋a4＋a6＋…＋a2 018；
(2)a1＋2a2＋3a3＋…＋2 018a2 018.
[解] (1)由
得2(a0＋a2＋…＋a2 018)＝32 018＋1，
∴a0＋a2＋…＋a2 018＝，
又令x＝0得a0＝1，
∴a2＋a4＋a6＋…＋a2 018＝.
(2)∵(1－2x)2018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018(x∈R)，
∴两边分别求导得
－4 036(1－2x)2 017＝a1＋2a2x＋…＋2 018a2 018x2 017(x∈R)，令x＝1得，4 036＝a1＋2a2＋…＋2 018a2 018.
二项展开式中系数和的求法
1．对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
2．已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.
[解] (1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.
(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4， ①
令x＝－1得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4. ②
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2
＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)
＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.
二项式系数性质的应用
[探究问题]
1．计算，并说明二项式系数的单调性．
[提示] ＝.
当k<时，>1，说明二项式系数逐渐增大；
同理，当k>时，二项式系数逐渐减小．
2．如何求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项？
[提示] 求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r＋1项系数最大，应用解出r，即得系数的最大项．
【例3】 已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
[思路点拨] 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．
[解] 令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.
(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是
T3＝C()3(3x2)2＝90x6，
T4＝C()2(3x2)3＝270.
(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C3r·．
假设Tr＋1项系数最大，
则有
∴
∴
∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4.
∴展开式中系数最大的项为T5＝C (3x2)4＝405.
1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．
3．(1＋2x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
[解] T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，
依题意有C25＝C·26?n＝8，
∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为
T5＝C·(2x)4＝1 120x4.
设第r＋1项系数最大，则有
?5≤r≤6.
∵r∈{0,1,2，…，8}，
∴r＝5或r＝6.
∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
1．赋值法是求展开式系数和的常用方法，一般对字母赋的值为0,1或－1.
2．释疑二项展开式中系数最大的项
(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
(2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况进行判断．一般采用列不等式、解不等式的方法求解．
(3)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )
(2)二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.( )
(3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于( )
A．11 B．10
C．9 D．8
D [第5项的二项式系数最大，故展开式为9项，∴n＝8.]
3．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．
5 [(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.]
4．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，求a0＋a1＋a2＋…＋a5的值．
[解] (a－x)5展开式的通项为Tk＋1＝
(－1)kCa5－kxk，令k＝2，得a2＝(－1)2Ca3＝80，
解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
所以a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
课时分层作业(八)
“杨辉三角”与二项式系数的性质
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．11的展开式中二项式系数最大的项是( )
A．第6项 B．第8项
C．第5,6项 D．第6,7项
D [由n＝11为奇数，则展开式中第项和第＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．]
2．已知n的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为( )
A．5 B．10
C．20 D．40
B [因为n的二项展开式的各项系数和为32，所以令x＝1得2n＝32，所以n＝5.所以5的二项展开式的第r＋1项Tr＋1＝C(x2)5－rr＝Cx10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，故二项展开式中x4的系数为C＝10.]
3．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于( )
A．64 B．32
C．63 D．31
B [由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6，则C＋C＋C＝C＋C＋C＝×26＝32.]
4．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．212 B．211
C．210 D．29
D [因为(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，所以二项式(1＋x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝29.]
5．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为( )
A. B.
C. D.
A [a＝C＝70，设b＝C2r，则得5≤r≤6，
所以b＝C26＝C26＝7×28，所以＝.]
二、填空题
6．如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．
2n－1 [由1,3,5,7,9，…，可知它们成等差数列，
所以an＝2n－1.]
7．(a＋)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第8项T8＝________.
120a [C＋C＋C＋…＝2n－1＝512＝29，所以n＝10，所以T8＝Ca3()7＝120a.]
8．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是________．
－121 [展开式中含x3的项的系数为
C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121.]
三、解答题
9．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6.
[解] (1)令x＝0，则a0＝－1，
令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128. ①
∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，则
－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7， ②
由，得a1＋a3＋a5＋a7＝[128－(－4)7]＝8 256.
(3)由，得
a0＋a2＋a4＋a6＝[128＋(－4)7]＝－8 128.
10．对二项式(1－x)10，
(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项；
(2)求展开式中各二项式系数之和；
(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．
[解] (1)展开式共11项，中间项为第6项，
T6＝C(－x)5＝－252x5；
(2)C＋C＋C＋…＋C＝210＝1 024.
(3)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，
令x＝0，得a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.
[能力提升练]
1．(1－x)13的展开式中系数最小的项为( )
A．第9项 B．第8项
C．第7项 D．第6项
B [展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．故系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．]
2．已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为( )
A．－35x4 B．35x3
C．－35x4和35x3 D．－35x3和35x4
C [由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，(x－1)7的展开式中共有8项．中间项为第4项与第5项，T4＝Cx4(－1)3＝－35x4，T5＝Cx3(－1)4＝35x3，故选C.]
3．若C＝C(n∈N*)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________.
81 [由C＝C可知n＝4，令x＝－1，
可得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝34＝81.]
4．如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，第________行中从左至右数第14个数与第15个数的比为2∶3.
34 [由已知，得＝，化简得＝，解得n＝34.]
5．已知x＋n展开式的二项式系数之和为256.
(1)求n；
(2)若展开式中常数项为，求m的值；
(3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况．
[解] (1)二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.
(2)设常数项为第r＋1项，则
Tr＋1＝Cx8－rr＝Cmrx8－2r，
令8－2r＝0，即r＝4，则Cm4＝，
解得m＝±.
(3)易知m>0，设第r＋1项系数最大．
则
化简可得≤r≤.
由于只有第6项和第7项系数最大，
所以即
所以m只能等于2.
