课件44张PPT。第二章 随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.1 离散型随机变量确定的数字 试验结果 X Y ξ η 一一列出 随机变量的概念 离散型随机变量的判定 随机变量的可能取值及试验结果 点击右图进入…Thank you for watching !
2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.1 离散型随机变量
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)
2.了解随机变量与函数的区别与联系．(易混点)
3.能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义．(难点)
通过学习随机变量及离散型随机变量，培养数学抽象的素养.
1．随机变量
(1)定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量．
(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
2．离散型随机变量
(1)定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
(2)特征：
①可用数值表示．
②试验之前可以判断其出现的所有值．
③在试验之前不能确定取何值．
④试验结果能一一列出．
思考：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？
[提示] 离散型随机变量的取值可以是有限个，例如取值为1,2，…，n；也可以是无限个，如取值为1,2，…，n，….
1．下列变量中，是离散型随机变量的是( )
A．到2019年10月1日止，我国发射的人造地球卫星数
B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高
C．某人在车站等出租车的时间
D．某人投篮10次，可能投中的次数
D [根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，即可以按一定次序一一列出，试验前可以判断其出现的所有值．选项A，B，C的数值均有不确定性，而选项D中，投篮10次，可能投中的次数是离散型随机变量．]
2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )
A．1,2,3，…，6 B．1,2,3，…，7
C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5
B [由于取到白球游戏结束，由题意可知X的可能取值为1,2,3,4,5,6,7.]
3．下列随机变量不是离散型随机变量的是________．
①某景点一天的游客数X；
②某手机一天内收到呼叫次数X；
③水文站观测到江水的水位数X；
④某收费站一天内通过的汽车车辆数X.
③ [①②④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此都是离散型随机变量；③中X可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③不是离散型随机变量．]
随机变量的概念
【例1】 (1)6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数 B．取到正品的件数
C．取到正品的概率 D．取到次品的概率
(2)判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
①北京国际机场候机厅中明天的旅客数量；
②2019年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；
③2019年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；
④体积为1 000 cm3的球的半径长．
(1)B [A中取到的产品的件数是一个常量不是变量，C，D也是一个定值，而B中取到正品的件数可能是0,1,2，是随机变量．]
(2)[解] ①旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
②所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
③动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
④球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．
随机变量的辨析方法
1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．
1．判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某天腾讯公司客服接到咨询电话的个数；
(2)标准大气压下，水沸腾的温度；
(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．
[解] (1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(2)标准大气压下，水沸腾的温度100 ℃是定值，所以不是随机变量．
(3)获得的奖次可能是一等奖、二等奖、三等奖，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长为4 cm为定值，不是随机变量.
离散型随机变量的判定
【例2】 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某教学资源网站一天内的点击量；
(2)你明天上学进入校门的时间；
(3)某市明年下雨的次数；
(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差．
[思路点拨] 根据随机变量的实际背景，判断随机变量的取值是否可以一一列出，从而判断是否为离散型随机变量．
[解] (1)某教学资源网站一天内的点击量可以一一列出，是离散型随机变量．
(2)你明天上学进入校门的时间，可以是某区间内任意实数，不能一一列出，不是离散型随机变量．
(3)某市明年下雨的次数可以一一列出，是离散型随机变量．
(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．
离散型随机变量判定的关键及方法
1．关键：判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出．
2．具体方法：
(1)明确随机试验的所有可能结果；
(2)将随机试验的试验结果数量化；
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
2．(1)给出下列四种变量：
①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X.
②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X.
③测量一批电阻，在950 Ω和1 200 Ω之间的阻值记为X.
④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其中离散型随机变量的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(2)有下列问题：
①某单位一天来往的人数X；
②从已编号的5张卡片中(从1号到5号)任取一张，被取出的卡片号数X；
③一天内的温度为X；
④某人一生内的身高为X；
⑤全民运动会上，一选手进行射箭比赛，击中目标得10分，未击中目标得零分，用X表示该选手在比赛中的得分；
⑥某林场树木最高达50米，此林场树木的高度X.
上述问题中的X是离散型随机变量的是________．
(1)B (2)①②⑤ [(1)①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X，X是离散型随机变量；
②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X，X是离散型随机变量；
③测量一批电阻，阻值在950 Ω～1 200 Ω之间，是连续型随机变量；
④一个在数轴上运动的质点，它在数轴上的位置记为X，X不是随机变量．
故离散型随机变量个数是2个．
(2)①②⑤都可以一一列出，故都是离散型随机变量，而③④都是连续型随机变量，不能一一列出，⑥也不能一一列出，树木高度有无限多个，也不是离散型随机变量．]
随机变量的可能取值及试验结果
[探究问题]
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？
[提示] 可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．
2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？
[提示] X＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？
[提示] “ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．
【例3】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.
(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.
[思路点拨] →→
[解] (1)X＝0表示取5个球全是红球；
X＝1表示取1个白球，4个红球；
X＝2表示取2个白球，3个红球；
X＝3表示取3个白球，2个红球．
(2)X＝3表示取出的球编号为1,2,3.
X＝4表示取出的球编号为1,2,4；1,3,4或2,3,4.
X＝5表示取出的球编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.
1．(变换条件、改变问法)在本例(1)条件下，规定取出一个红球赢2元，而每取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？
[解] ξ＝10表示取5个球全是红球；
ξ＝7表示取1个白球，4个红球；
ξ＝4表示取2个白球，3个红球；
ξ＝1表示取3个白球，2个红球．
2．(改变问法)本例(2)中，“最大”改为“最小”，其他条件不变，应如何解答？
[解] X可取1,2,3.
X＝3表示取出的3个球的编号为3,4,5；
X＝2表示取出的3个球的编号为2,3,4或2,3,5或2,4,5；
X＝1表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或1,2,4或1,3,4或1,2,3.
用随机变量表示随机试验的结果的关键点和注意点
1．关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．
2．注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．
3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)在2019年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．
[解] (1)X可能取值0,1,2,3,4,5，
X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.
(2)ξ可能取值为0,1，
当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；
当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．
1．随机变量与函数的关系
相同点
随机变量和函数都是一种映射
区别
随机变量是随机试验的结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射
联系
随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域
2．离散型随机变量的特征
(1)可用数值表示．
(2)试验之前可以判断其出现的所有值．
(3)在试验之前不能确定取何值．
(4)试验结果能一一列出.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )
(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．( )
(3)离散型随机变量的取值是任意的实数．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( )
A．取到的球的个数 B．取到红球的个数
C．至少取到1个红球 D．至少取到1个红球的概率
B [A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求．]
3．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．
0,1,2,3 [甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．]
4．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．
[解] 根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．
课时分层作业(九) 离散型随机变量
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D [由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的．故选D.]
2．已知下列随机变量：
①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数X；
②6张奖券中只有2张有奖，从这6张奖券中随机的抽取3张，用X表示抽到有奖的奖券张数；
③某运动员在一次110米跨栏比赛中的成绩X；
④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X.
其中X是离散型随机变量的是( )
A．①②③ B．②③④
C．①②④ D．③④
C [③中X的值可在某一区间内取值，不能一一列出，故不是离散型随机变量．]
3．将一枚均匀骰子掷两次，随机变量为( )
A．第一次出现的点数
B．第二次出现的点数
C．两次出现的点数之和
D．两次出现相同点的种数
C [选项A，B，D中出现的点数虽然是随机的，但是其取值所反映的结果，都不能整体反映本试验，C整体反映两次投掷的结果，可以预见两次出现的点数的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12这十一种结果，但每掷一次之前都无法确定是哪一个，因此是随机变量．]
4．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是( )
A．一枚是3点，一枚是1点
B．两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
D [ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．]
5．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为( )
A．0≤X≤5，X∈N B．－5≤X≤0，X∈Z
C．1≤X≤6，X∈N D．－5≤X≤5，X∈Z
D [两次掷出的点数均可能为1～6的整数，所以X∈[－5,5](X∈Z)．]
二、填空题
6．在一批产品中共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是________．
0,1,2,3 [可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品．]
7．下列变量中，不是随机变量的是________．(填序号)
①下一个交易日上证收盘指数；
②标准大气压下冰水混合物的温度；
③明日上课某班(共50人)请假同学的人数；
④小马登录QQ找小胡聊天，设
X＝
② [标准大气压下冰水混合物的温度是0 ℃，是一个确定的值，不是随机变量，①③④都是随机变量．]
8．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是____________．
300,100，－100，－300 [可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．]
三、解答题
9．判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某地“行风热线”某天接到电话的个数．
(2)新赛季，梅西在某场比赛中(90分钟)，上场比赛的时间．
(3)对角线互相垂直且长度分别为6和8的四边形的面积．
[解] (1)接到电话的个数可能是0,1,2，…出现哪一个结果都是随机的，所以是随机变量．
(2)梅西在某场比赛中上场比赛的时间在[0,90]内，是随机的，所以是随机变量．
(3)对角线互相垂直且长度分别为6和8的四边形的面积是定值，所以不是随机变量．
10．某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量．
(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；
(2)若记该运动员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果．
[解] (1)ξ可取0,1,2,3,4,5.表示5次罚球中分别命中0次，1次，2次，3次，4次，5次．
(2)η可取0,2,4,6,8,10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分．
[能力提升练]
1．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为( )
A．20 B．24
C．4 D．18
B [由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A＝24种．]
2．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机摸取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若摸球的次数为ξ，则表示事件“放回5个红球”的是( )
A．ξ＝4 B．ξ＝5
C．ξ＝6 D．ξ≤5
C [“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.故选C.]
3．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示的试验结果是________．
第一枚为6点，第二枚为1点 [因为一枚骰子的点数可以是1,2,3,4,5,6六种结果之一，由已知得－5≤X≤5，也就是说“X>4”就是“X＝5”．所以“X>4”表示两枚骰子中第一枚为6点，第二枚为1点．]
4．一个木箱中装有8个同样大小的篮球，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以X表示取出的篮球的最大号码，则{X＝8}表示的试验结果有________种．
21 [{X＝8}表示“3个篮球中一个编号是8，另外两个从剩余7个编号中选2个”，有C种选法，即{X＝8}表示的试验结果有21种．]
5．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
(2)若规定抽取3个球中，每抽到1个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分．求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．
[解] (1)
ξ
0
1
2
3
结果
取得3个黑球
取得1个白球，2个黑球
取得2个白球，1个黑球
取得3个白球
(2)由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.
故η的可能取值为{6,11,16,21}，显然η为离散型随机变量.
