课件46张PPT。第二章 随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.2 离散型随机变量的分布列p1
p2pipn概率分布列 分布列 P(X＝xi)＝pi ≥ 1 1－p p P(X＝1) 分布列的性质及应用 离散型随机变量的分布列 两点分布与超几何分布 点击右图进入…Thank you for watching !2.1.2 离散型随机变量的分布列
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质．
2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)
3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点)
1.通过离散型随机变量及其分布列的概念与性质的学习，培养数学抽象的素养．
2.借助分布列的求法，培养数学运算的素养.
1．离散型随机变量的分布列
(1)定义
一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
(2)性质
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②i＝1.
思考1：求离散型随机变量的分布列的步骤是什么？
[提示] 求离散型随机变量的分布列的步骤：
(1)找出随机变量所有可能的取值xi(i＝1,2,3，…，n)；
(2)求出相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2,3，…，n)；
(3)列成表格形式．
2．两点分布
X
0
1
P
1－p
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．
3．超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则
P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，
其中m＝min，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
X
0
1
…
m
P
…
思考2：在超几何分布中，随机抽样采用的是有放回抽样，还是不放回抽样．
[提示] 一般为不放回抽样．
1．下列表中能成为随机变量X的分布列的是( )
C [由离散型随机变量分布列的性质可知，概率非负且和为1.]
2．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
2a
3a
则a＝( )
A. B.
C. D.
A [由离散型随机变量分布列的性质可知，2a＋3a＝1，所以a＝.]
3．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________.
[P(X＝3)＝＝.]
分布列的性质及应用
【例1】 设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P.
[解] 分布列可改写为：
X
P
a
2a
3a
4a
5a
(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
(2)P＝P＋P＋P＝＋＋＝，或P＝1－P＝1－＝.
利用离散型分布列的性质解题时要注意两个问题
1．X＝Xi的各个取值表示的事件是互斥的．
2．不仅要注意 pi＝1而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.
1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X
－1
0
1
P
1－2q
q2
(1)求q的值；
(2)求P(X<0)，P(X≤0)的值．
[解] (1)由分布列的性质得
解得q＝1－.
(2)P(X<0)＝P(X＝－1)＝；
P(X≤0)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)＝＋1－2＝－.
离散型随机变量的分布列
【例2】 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码．
(1)求X的分布列；
(2)求X的取值不小于4的概率．
[解] (1)随机变量X的可能取值为3,4,5,6，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X
3
4
5
6
P
(2)X的取值不小于4的概率为
P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝＋＋＝.
(变条件)本例中“若X表示取出球的最小号码”，求X的分布列．
[解] 随机变量X的可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
所以，X的分布列为
X
1
2
3
4
P
求离散型随机变量分布列时应注意的问题
1．确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．
2．在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可以验证分布列是否正确．
2．袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球后停止，求取球次数X的分布列．
[解] X的可能取值为1,2,3,4,5，则
第1次取出白球的概率P(X＝1)＝，
第2次取出白球的概率P(X＝2)＝×＝，
第3次取出白球的概率P(X＝3)＝××＝，
第4次取出白球的概率P(X＝4)＝×××＝，
第5次取出白球的概率P(X＝5)＝××××＝.
所以X的分布列是
X
1
2
3
4
5
P
两点分布与超几何分布
[探究问题]
1．只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？
[提示] 不一定．如随机变量X的分布列由下表给出
X
2
5
P
0.3
0.7
X不服从两点分布，因为X的取值不是0或1.
2．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个球，求取出的球中白球个数X是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？
[提示] 随机变量X服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N—M个)，任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题．
【例3】 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．
[思路点拨] (1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X＝0或1.(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X＝1,2)服从超几何分布．
[解] (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
P(X＝1)＝＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
因此X的分布列为
X
0
1
P
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝＝＝.
②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且
P(Y＝0)＝＝＝，
P(Y＝10)＝＝＝，
P(Y＝20)＝＝＝，
P(Y＝50)＝＝＝，
P(Y＝60)＝＝＝.
因此随机变量Y的分布列为
Y
0
10
20
50
60
P
1．两点分布的特点
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．
(2)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))．
2．解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．
3．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布列；
(2)他能及格的概率．
[解] (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，
则P(X＝r)＝(r＝0,1,2,3)．
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)他能及格的概率P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)
＝＋＝.
1．在利用分布列的性质解题时要注意：①X＝xi的各个取值所表示的事件是互斥的；②不仅要注意i＝1，而且要注意0≤pi≤1，i＝1,2，…，n.
2．超几何分布的数学模型是：一批产品共有N件，其中有M件不合格品，随机取出的n件产品中，不合格品X＝r的概率是P(X＝r)＝.在应用上述公式时，要注意N，M，n，r的实际意义.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )
(2)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究．( )
(3)从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X服从超几何分布．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为( )
A．6 B．5 C．4 D．2
B [由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余钥匙一定能打开锁，故选B.]
3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．
(1)求ξ的分布列；
(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．
[解] (1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，
P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2.
所以，ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
(2)由(1)知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为
P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝.
课时分层作业(十)
离散型随机变量的分布列
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．随机变量X所有可能取值的集合是{－2,0,3,5}，且P(X＝－2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝5)＝，则P(X＝0)的值为( )
A．0 B．
C． D．
C [因为P(X＝－2)＋P(X＝0)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝1，即＋P(X＝0)＋＋＝1，所以P(X＝0)＝＝，故选C.]
2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于( )
A．0 B．
C． D．
C [设失败率为p，则成功率为2p，ξ的分布列为
ξ
0
1
P
p
2p
即“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝，所以P(ξ＝0)＝.故选C.]
3．设随机变量X等可能地取值1,2,3,4，…10.又设随机变量Y＝2X－1，则P(Y＜6)的值为( )
A．0.3 B．0.5
C．0.1 D．0.2
A [Y＜6即2X－1＜6，∴X＜，即X＝1,2,3，∴P(Y＜6)＝P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝.]
4．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( )
A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
A [A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，故选A.]
5．若随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X
A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
C [由随机变量X的分布列，知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X二、填空题
6．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P＝________.
[设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个，总数为个．
∴分布列为
ξ
1
2
3
P
P＝P(ξ＝1)＝.]
7．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为________．
[P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝.]
8．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________．
[设所选女生数为随机变量X，X服从超几何分布，P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.]
三、解答题
9．设离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
[解] 由分布列的性质知：
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
首先列表为：
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
|X－1|
1
0
1
2
3
从而由上表得两个分布列为：
(1)2X＋1的分布列：
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)|X－1|的分布列：
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
10．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回任取3件，求取得次品数ξ的分布列．
[解] 随机变量ξ服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.
ξ的所有可能取值为0,1,2，它相应的概率依次为
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
[能力提升练]
1．设随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
m
则P(|X－3|＝1)＝( )
A. B.
C. D.
B [根据概率分布列的性质得出：＋m＋＋＝1，所以m＝，随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝.故选B.]
2．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于的是( )
A．P(ξ＝2) B．P(ξ≤2)
C．P(ξ＝4) D．P(ξ≤4)
C [A项，P(ξ＝2)＝；
B项，P(ξ≤2)＝P(ξ＝2)≠；
C项，P(ξ＝4)＝；
D项，P(ξ≤4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)>.]
3．若P(ξ≤n)＝1－a，P(ξ≥m)＝1－b，其中m＜n，则P(m≤ξ≤n)等于________．
1－(a＋b) [P(m≤ξ≤n)＝1－P(ξ＞n)－P(ξ＜m)＝1－[1－(1－a)]－[1－(1－b)]＝1－(a＋b)．]
4．设随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a为常数，则P＝________.
[由题意，知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＋＝1，
∴a＝.
∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝＝×＝.]
5．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．
(1)求袋中所有的白球的个数；
(2)求随机变量ξ的分布列；
(3)求甲取到白球的概率．
[解] (1)设袋中原有n个白球，由题意知＝＝＝.
可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球．
(2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝＝；
P(ξ＝3)＝＝；
P(ξ＝4)＝＝；
P(ξ＝5)＝＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
P
(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，则
P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝.
