课件35张PPT。第二章 随机变量及其分布2.2 二项分布及其应用
2.2.1 条件概率事件A P(B|A)＋P(C|A) 利用定义求条件概率 缩小基本事件范围求条件概率 求互斥事件的条件概率 点击右图进入…Thank you for watching !2.2 二项分布及其应用
2.2.1 条件概率
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解条件概率的概念．
2.掌握求条件概率的两种方法．(难点)
3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．(重点)
1.通过条件概率的学习，体会数学抽象的素养．
2.借助条件概率公式解题提升数学运算素养.
1．条件概率的概念
一般地，设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．
2．条件概率的性质
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝
P(B|A)＋P(C|A)．
1．若P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.
B [由公式得P(B|A)＝＝＝.]
2．下面几种概率是条件概率的是( )
A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率
B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学中遇到红灯的概率
B [由条件概率的定义知B为条件概率．]
3．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．
0.5 [根据条件概率公式知P＝＝0.5.]
利用定义求条件概率
【例1】 一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.
(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；
(2)求P(B|A)．
[解] 由古典概型的概率公式可知
(1)P(A)＝，
P(B)＝＝＝，
P(AB)＝＝.
(2)P(B|A)＝＝＝.
1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
(1)分析题意，弄清概率模型；
(2)计算P(A)，P(AB)；
(3)代入公式求P(B|A)＝.
2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出了事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．
1.如图，EFGH是以O为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形HOE(阴影部分)内”，则P(A)＝________，P(B|A)＝________.
[因为圆的半径为1，所以圆的面积S＝πr2＝π，正方形EFGH的面积为2＝2，所以P(A)＝.
P(B|A)表示事件“已知豆子落在正方形EFGH中，则豆子落在扇形HOE(阴影部分)”的概率，所以P(B|A)＝.]
缩小基本事件范围求条件概率
【例2】 集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．
[解] 将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个，在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
1．(变结论)在本例条件不变的前提下，求乙抽到偶数的概率．
[解] 在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
2．(变条件)若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．
[解] 甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个．所以P(B|A)＝＝.
利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法
将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的．
求互斥事件的条件概率
[探究问题]
先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？
[提示] 设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C，则所求事件为B∪C|A.
∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.
【例3】 在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
[解] 法一：(定义法)设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第三个球为黑球”为事件C.
则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝.
所以P(B|A)＝＝÷＝，
P(C|A)＝＝÷＝.
所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.
所以所求的条件概率为.
法二：(直接法)因为n(A)＝1×C＝9，n(B∪C|A)＝C＋C＝5，
所以P(B∪C|A)＝.所以所求的条件概率为.
1．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．
2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．
2．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
[解] 设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题而另1道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型的概率公式及加法公式可知
P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝＋＝＋＝，即所求概率为.
对条件概率计算公式的两点说明
(1)如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；
(2)已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)＝＝＝.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若事件A与B互斥，则P(B|A)＝0.( )
(2)若事件A等于事件B，则P(B|A)＝1.( )
(3)P(B|A)与P(A|B)相同．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )
A. B.
C. D.1
B [因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是.]
3．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________.
[∵P(AB)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝.]
4．盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？
[解] 法一(定义法)由题意得球的分布如下：
玻璃球
木质球
总计
红
2
3
5
蓝
4
7
11
总计
6
10
16
设A＝{取得蓝球}，B＝{取得玻璃球}，
则P(A)＝，P(AB)＝＝.
∴P(B|A)＝＝＝.
法二(直接法)∵n(A)＝11，n(AB)＝4，
∴P(B|A)＝＝.
课时分层作业(十一) 条件概率
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．P(B|A)＜P(AB)
B．P(B|A)＝是可能的
C．0＜P(B|A)＜1
D．P(A|A)＝0
B [由条件概率公式P(B|A)＝及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝，故B选项正确，由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误．故选B.]
2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.45
A [已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝＝0.8.]
3．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )
A. B.
C. D.
B [P(A)＝＝，P(AB)＝＝，由条件概率的计算公式得P(B|A)＝＝＝.故选B.]
4．在10个形状大小均相同的球中有7个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为( )
A. B.
C. D.
D [法一：(定义法)设第一次摸到的是红球为事件A，则P(A)＝，设第二次摸得红球为事件B，则P(AB)＝＝.
故在第一次摸得红球的条件下第二次也摸得红球的概率为P(B|A)＝＝.
法二：(直接法)第一次抽到红球，则还剩下9个，红球有6个，所以第二次也摸到红球的概率为＝.]
5．某种电子元件用满3 000小时不坏的概率为，用满8 000小时不坏的概率为.现有一只此种电子元件，已经用满3 000小时不坏，还能用满8 000小时的概率是( )
A. B.
C. D.
B [记事件A：“用满3 000小时不坏”，P(A)＝；记事件B：“用满8 000小时不坏”，P(B)＝.因为B?A，所以P(AB)＝P(B)＝.
故P(B|A)＝＝＝÷＝.]
二、填空题
6．已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.
[P(A|B)＝＝＝；P(B|A)＝＝＝.]
7．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________．
[第一次取到不合格品后，还剩99件产品，其中4件不合格品，则第二次再取到不合格品的概率为P＝.]
8．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为________．
[由题意知P(AB)＝，
P(B|A)＝，
∴P(A)＝＝＝.]
三、解答题
9.如图，一个正方形被平均分成9部分，向大正方形区域内随机地投掷一点(每一次都能投中)．投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(A|B)，P(AB)．
[解] 用μ(B)表示事件B所包含区域的面积，μ(Ω)表示大正方形区域的面积，由题意可知，
P(AB)＝＝，
P(B)＝＝，
P(A|B)＝＝.
10．抛掷质地均匀的红、蓝两枚骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两枚骰子的点数之和大于8”．
(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；
(2)当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两枚骰子的点数之和大于8的概率是多少？
[解] (1)设x为掷红色骰子得到的点数，y为掷蓝色骰子得到的点数，则所有可能的事件与(x，y)一一对应，由题意作图(如图)．
显然，P(A)＝＝，
P(B)＝＝，P(AB)＝.
(2)法一：P(B|A)＝＝.
法二：P(B|A)＝＝＝.
[能力提升练]
1．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )
A. B.
C. D.
D [一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．
记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个是女孩”，则A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB＝{(女，女)}．
于是可知P(A)＝，P(AB)＝.问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P(B|A)，由条件概率公式，得P(B|A)＝＝.]
2．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是，在第一次闭合出现红灯的条件下第二次闭合还出现红灯的概率是，则两次闭合都出现红灯的概率为( )
A. B.
C. D.
A [记第一次闭合出现红灯为事件A，第二次闭合出现红灯为事件B，则P(A)＝，P(B|A)＝，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.]
3．袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________．
[记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才能取到黄球”为事件C，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.]
4．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P(B|A)＝________.
[根据题意，若事件A为“x＋y为偶数”发生，则x，y两个数均为奇数或均为偶数，共有2×3×3＝18个基本事件，
∴事件A的概率为P(A)＝＝.
而A，B同时发生，基本事件有“2＋4”，“2＋6”，“4＋2”，“4＋6”，“6＋2”，“6＋4”一共6个基本事件，因此事件A，B同时发生的概率为P(AB)＝＝.
因此，在事件A发生的条件下，B发生的概率为P(B|A)＝.]
5．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率．
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
[解] (1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝28，这2个产品都是次品的事件数为C＝3.所以这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，
P(B2)＝＝，
P(B3)＝＝，
P(A|B1)＝，
P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，
所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)
＝×＋×＋×＝.
