课件45张PPT。第二章 随机变量及其分布2.2 二项分布及其应用
2.2.2 事件的相互独立性P(A)P(B) P(B) P(A) 任一个事件 相互独立事件的判断 相互独立事件同时发生的概率 事件的相互独立性与互斥性 点击右图进入…Thank you for watching !2.2.2 事件的相互独立性
学 习 目 标
核 心 素 养
1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．(难点)
2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．(重点)
3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题．(重点、难点)
1.通过学习事件相互独立的概念，培养数学抽象的素养．
2.借助相互独立事件的乘法公式解题，提升数学运算的素养.
1．相互独立事件的定义和性质
(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，那么称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：①如果A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
②如果A与B相互独立，那么P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．
思考：互斥事件与相互独立事件的区别是什么？
[提示]
相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符号
表示
相互独立事件A，B同时发生，记作：AB
互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)
计算
公式
P(AB)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
2．n个事件相互独立
对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
3．独立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)；
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．
1．坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是( )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
A [由概率的相关概念得A1与A2是互不影响的两个事件，故是相互独立的事件．]
2．一个学生通过一种英语能力测试的概率是，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是( )
A. B. C. D.
C [由题意知，恰有一次通过的概率为×＋×＝.]
3．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．
[由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，.在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为P＝××＝.]
相互独立事件的判断
【例1】 判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
[思路点拨] (1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义判断．
[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝.
所以P(AB)＝P(A)P(B)，
所以事件A与B相互独立．
判断事件是否相互独立的方法
1．定义法：事件A，B相互独立?P(AB)＝P(A)P(B)．
2．直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
3．条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
1．(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”
(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥
(1)A (2)A [(1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响．故选A.
(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A.]
相互独立事件同时发生的概率
【例2】 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和.求：
(1)两人都能破译的概率；
(2)两人都不能破译的概率；
(3)恰有一人能破译的概率；
(4)至多有一人能够破译的概率．
[解] 设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件B，则A，B相互独立，从而A与、与B、与均相互独立．
(1)“两人都能破译”为事件AB，则
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)“两人都不能破译”为事件 ，则
P( )＝P()P()
＝[1－P(A)][1－P(B)]
＝×＝.
(3)“恰有一人能破译”为事件(A)∪(B)，
又A与B互斥，
所以P[(A)∪(B)]＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.
(4)“至多有一人能破译”为事件(A)∪(B)∪( )，而A、B、 互斥，故P[(A)∪(B)∪( )]＝P(A)＋P(B)＋P( )＝P(A)P()＋P()P(B)＋P()P()＝×＋×＋×＝.
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件是相互独立的；
(2)再确定各事件会同时发生；
(3)先求每个事件发生的概率，再求其积．
2．公式P(AB)＝P(A)P(B)可推广到一般情形，即如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
2．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
[解] 记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．
(1)三人都合格的概率：
P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝.
(2)三人都不合格的概率：
P0＝P()＝P()·P()·P()＝××＝.
(3)恰有两人合格的概率：
P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝.
恰有一人合格的概率：
P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.
综合(1)(2)可知P1最大．
所以出现恰有一人合格的概率最大.
事件的相互独立性与互斥性
[探究问题]
1．甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件B与A呢？
[提示] 事件A与B，与B，A与均是相互独立事件，而B与A是互斥事件．
2．在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？
[提示] “甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C，则C＝B＋A.
所以P(C)＝P(B＋A)＝P(B)＋P(A)
＝P()·P(B)＋P(A)·P()
＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.
【例3】 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．
[思路点拨] 该线路是并联电路，当且仅当三个开关都不闭合时，线路才不通，故本题可采用对立事件求解．
[解] 分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A，B，C.
由题意知这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响．
根据相互独立事件概率的乘法公式，得这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P( )＝P()·P()·P()
＝ [1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)
＝0.027.
所以在这段时间内线路正常工作的概率是
1－P( )＝1－0.027＝0.973.
概率问题中的数学思想
1．正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．
2．化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件)．
3．方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．
3．设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是，求事件A和事件B同时发生的概率．
[解] 在相互独立事件A和B中，只有A发生即事件A发生，只有B发生即事件B发生．
∵A和B相互独立，∴A与，和B也相互独立．
∴P(A)＝P(A)·P()＝P(A)·[1－P(B)]＝， ①
P(B)＝P()·P(B)＝[1－P(A)]·P(B)＝. ②
①－②得P(A)＝P(B)． ③
联立①③可解得P(A)＝P(B)＝.
∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.
与相互独立事件A，B有关的概率计算公式
事件A，B的各种情形
概率计算公式
A，B同时发生
P(AB)＝P(A)P(B)
A，B都不发生
P()＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)
A，B至少有一个不发生
P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)
A，B至少有一个发生
P＝1－P( )＝1－P()P()＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)
A，B恰好有一个发生
P＝P(A＋B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立．( )
(2)若事件A，B相互独立，则P( )＝P()P()．( )
(3)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．( )
(4)若事件A与B相互独立，则B与相互独立．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是( )
A．互斥事件 B．相互独立事件
C．对立事件 D．不相互独立事件
D [P(A)＝，P(B)＝，事件A的结果对事件B有影响．根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．]
3．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．
[因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，.因此，他们不去北京旅游的概率分别为，，，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P＝1－××＝.]
4．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
[解] 设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有
P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)因为事件A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P(A)＋P(B)＋P(C)
＝P(A)·P()·P()＋P()·P(B)·P()＋
P()·P()·P(C)
＝××＋××＋××＝.
(2)至多有两人当选的概率为
1－P(ABC)＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝1－××＝.
课时分层作业(十二) 事件的相互独立性
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
1．如图， 在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，则两个指针同时落在奇数所在区域内的概率是( )
A. B.
C. D.
A [左边圆盘的指针落在奇数所在区域内的概率为＝，右边圆盘的指针落在奇数所在区域内的概率也为，所以两个指针同时落在奇数所在区域内的概率为×＝.]
2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为( )
A．1－a－b B．1－ab
C．(1－a)(1－b) D．1－(1－a)(1－b)
C [设A表示“第一道工序的产品为正品”，B表示“第二道工序的产品为正品”，则P(AB)＝P(A)P(B)＝(1－a)·(1－b)．]
3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A. B.
C. D.
A [问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.]
4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是
( )
A. B.
C. D.
C [依题意得P(A)＝，P(B)＝，事件A，B中至少有一件发生的概率等于1－P( )＝1－P()·P()＝1－×＝.]
5．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是( )
A. B.
C. D.
D [由P(A )＝P(B )，得P(A)P()＝P(B)·P()，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
∴P(A)＝P(B)．又P( )＝，
∴P()＝P()＝，∴P(A)＝.]
二、填空题
6．两个人通过某项专业测试的概率分别为，，他们一同参加测试，则至多有一人通过的概率为________．
[二人均通过的概率为×＝，
∴至多有一人通过的概率为1－＝.]
7．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________．
[“从200个螺杆中，任取一个是A型”记为事件B.“从240个螺母中任取一个是A型”记为事件C，则P(B)＝，P(C)＝.
∴能配成A型螺栓的概率P＝P(BC)＝P(B)·P(C)＝·＝.]
8．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．
[甲、乙两人都未能解决的概率为＝×＝，
问题得到解决就是至少有1人能解决问题，
∴P＝1－＝.]
三、解答题
9.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，求灯亮的概率．
[解] 记A，B，C，D这4个开关闭合分别为事件A，B，C，D，又记A与B至少有一个不闭合为事件，
则P()＝P(A)＋P(B)＋P( )＝，
则灯亮的概率为P＝1－P( )＝1－P()P()P()＝1－＝.
10．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
(1)第3次拨号才接通电话；
(2)拨号不超过3次而接通电话．
[解] (1)由题意可知，第3次拨号才接通电话的概率为：
P＝××＝.
(2)设他第i次才拨通电话为事件Ai，i＝1,2,3，
则拨号不超过3次而接通电话可表示为A1＋A2＋ A3.
∴P(A1＋A2＋ A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋×＋××＝.
[能力提升练]
1.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A片上，则跳三次之后停在A片上的概率是( )
A. B.
C. D.
A [由题意知逆时针方向跳的概率为，顺时针方向跳的概率为，青蛙跳三次要回到A只有两条途径：
第一条：按A→B→C→A，P1＝××＝；
第二条：按A→C→B→A，P2＝××＝，
所以跳三次之后停在A上的概率为
P1＋P2＝＋＝.]
2．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为＋；②目标恰好被命中两次的概率为×；③目标被命中的概率为×＋×；④目标被命中的概率为1－×.其中正确说法的序号是( )
A．②③ B．①②③
C．②④ D．①③
C [设“甲射击一次命中目标”为事件A，“乙射击一次命中目标”为事件B，显然，A，B相互独立，则目标恰好被命中一次的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝×＋×＝，故①不正确；目标恰好被命中两次的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝×，故②正确；目标被命中的概率为P(A∪B∪AB)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)＝×＋×＋×或1－P( )＝1－P()·P()＝1－×，故③不正确，④正确．故选C.]
3．已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球．现从两袋中各取2个球，则取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为________．
[记“从甲袋中取得2个白球”为事件A，“从乙袋中取得1个黑球和1个白球”为事件B，则P(AB)＝P(A)P(B)＝·＝.记“从甲袋中取得1个黑球和1个白球”为事件C，“从乙袋中取得2个白球”为事件D，则P(CD)＝P(C)P(D)＝·＝.所以取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为＋＝＝.]
4．设两个相互独立事件A与B，若事件A发生的概率为p，B发生的概率为1－p，则A与B同时发生的概率的最大值为________．
[事件A与B同时发生的概率为p(1－p)＝p－p2(p∈[0,1])，当p＝时，最大值为.]
5．(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立，在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
[解] (1)X＝2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
(2)X＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
