课件46张PPT。第二章 随机变量及其分布2.2 二项分布及其应用
2.2.3 独立重复试验与二项分布相同 B(n，p) 成功概率 独立重复试验概率的求法 二项分布 独立重复试验与二项分布综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !2.2.3 独立重复试验与二项分布
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解n次独立重复试验的模型．
2.理解二项分布．(难点)
3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．(重点)
1.通过学习独立重复试验与二项分布，体会逻辑推理的素养．
2.借助独立重复试验的模型及二项分布解题，提升数学运算的素养.
1．n次独立重复试验
一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
思考1：独立重复试验必须具备哪些条件？
[提示] 独立重复试验满足的条件：
第一：每次试验是在同样条件下进行的；
第二：各次试验中的事件是相互独立的；
第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
2．二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
思考2：二项分布与两点分布有什么关系？
[提示] (1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X＝1)或不发生(X＝0)；二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有n＋1种：事件A恰好发生0次，1次，2次，…，n次．
(2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布．
1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )
A. B.
C. D.
B [抛一枚硬币，正面朝上的概率为，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P＝C2×＝.]
2．已知随机变量X服从二项分布，X～B，则P(X＝2)等于________．
[P(X＝2)＝C24＝.]
3．姚明在比赛时罚球命中率为90%，则他在3次罚球中罚失1次的概率是________．
0.243 [设随机变量X表示“3次罚球，中的次数”，则X～B(3,0.9)，所以他在3次罚球中罚失1次的概率为P(X＝2)＝C0.92×(1－0.9)＝0.243.]
独立重复试验概率的求法
【例1】 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率．
[解] (1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8.
5次预报相当于5次独立重复试验，恰有2次准确的概率为C0.82×0.23＝0.051 2≈0.05.
因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为C(0.2)5＋C×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.
故所求概率为1－0.01＝0.99.
本例条件不变，求5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
[解] 由题意可知，第1,2,4,5次中恰有1次准确．
所以所求概率为C×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02.
故5次预报中恰有2次准确，且第3次预报准确的概率为0.02.
独立重复试验概率求法的三个步骤
1．判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．
2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．
3．计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．
1．已知两名射击运动员的射击水平：甲击中目标靶的概率是0.7，乙击中目标靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，则
(1)甲恰好击中目标2次的概率是________；
(2)两名运动员都恰好击中目标2次的概率是________．(结果保留两位有效数字)
(1)0.44 (2)0.19 [由题意，甲向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.7，乙向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.6，两人射击均服从二项分布．
(1)甲向目标靶射击3次，恰好击中2次的概率是C×0.72×(1－0.7)≈0.44.
(2)甲、乙两人各向目标靶射击3次，恰好都击中2次的概率是[C×0.72×(1－0.7)]×[C×0.62×(1－0.6)]≈0.19.]
二项分布
【例2】 某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立．
(1)求某应聘人员被录用的概率；
(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．
[思路点拨] 解答本题可根据二项分布的概率计算方法解答，同时注意互斥事件概率公式的应用．
[解] 设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A∪BC，
因为P(A)＝×＝，
P(B)＝2××＝，
P(C)＝，
所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝.
(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，且X～B，
Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0,1,2,3,4)，
因为P(A0)＝C×4＝，
P(A1)＝C××3＝，
P(A2)＝C×2×2＝，
P(A3)＝C×3×＝，
P(A4)＝C×4×0＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
1．本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
2．解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
2．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．有放回抽样时，求取到黑球的个数X的分布列．
[解] 有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.
又每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X～B.
所以P(X＝0)＝C03＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C21＝，
P(X＝3)＝C30＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
独立重复试验与二项分布综合应用
[探究问题]
1．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？
[提示] 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．
2．在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以看作独立重复试验吗？
[提示] 独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型．
【例3】 高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验．
(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；
(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次．求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列．
[思路点拨] (1)借助互斥事件及二项分布的知识求解．
(2)注意题设信息：直到种子发芽为止，且试验的次数不超过5次．
[解] (1)至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功．
设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X，
则P(X＝3)＝C×3×2＝，
P(X＝4)＝C×4×＝，
P(X＝5)＝C×5×0＝.
所以至少有3次发芽成功的概率
P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)
＝＋＋＝＝.
(2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝2×＝，
P(ξ＝4)＝3×＝，
P(ξ＝5)＝4×1＝.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
1．二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．
2．利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
3．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．
[解] (1)记“甲连续射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于做4次独立重复试验．
故P(A1)＝1－P()＝1－4＝，
所以甲连续射击4次，至少有1次未击中目标的概率为.
(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B2，则
P(A2)＝C×2×4－2＝；
P(B2)＝C×3×4－3＝.
由于甲、乙射击相互独立，故
P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝×＝.
所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.
1．n次独立重复试验的概率公式中各字母的含义
2．要注意区分二项分布、两点分布、超几何分布
当n＝1时，二项分布就是两点分布；
二项分布是有放回抽样，每次抽取时的总体没有改变，因此每次抽到某事物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验；超几何分布是不放回抽样，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的．即二项分布与超几何分布的最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)独立重复试验每次试验之间是相互独立的．( )
(2)独立重复试验每次试验只有发生与不发生两种结果．( )
(3)独立重复试验各次试验发生的事件是互斥的．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于( )
A．C×0.88×0.22 B．C×0.82×0.28
C．0.88×0.22 D．0.82×0.28
A [X服从二项分布，所以P(X＝8)＝C×0.88×0.22.]
3．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝( )
A．C2× B．C2×
C．2× D．2×
C [ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是2×.]
4．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
[解] 设“乙恰好比甲多击中目标2次”为事件A，“乙击中目标2次且甲击中目标0次”为事件B1，“乙击中目标3次且甲击中目标1次”为事件B2，则A＝B1∪B2，B1，B2为互斥事件，则P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝C×××C×
＋C××C×＝，
所以乙恰好比甲多击中目标2次的概率为.
课时分层作业(十三)
独立重复试验与二项分布
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在某次试验中，事件A出现的概率为p，则在n次独立重复试验中出现k次的概率为( )
A．1－pk B．(1－p)kpn－k
C．1－(1－p)k D．C(1－p)kpn－k
D [出现1次的概率为1－p，由二项分布概率公式可得出现k次的概率为C(1－p)kpn－k.]
2．假设流星穿过大气层落在地面上的概率为，现有流星数量为5的流星群穿过大气层有2个落在地面上的概率为( )
A. B.
C. D.
B [此问题相当于一个试验独立重复5次，有2次发生的概率，所以P＝C·2·3＝.]
3．在4次独立重复试验中事件出现的概率相同．若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为( )
A. B.
C. D.
A [设所求概率为p，则1－(1－p)4＝，得p＝.]
4．某单位6个员工借助互联网开展工作，每天每个员工上网的概率是0.5(相互独立)，则一天内至少3人同时上网的概率为( )
A. B.
C. D.
C [每天上网人数X～B(6,0.5)，
∴P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)
＝(C＋C＋C＋C)·6＝.]
5．若随机变量ξ～B，则P(ξ＝k)最大时，k的值为( )
A．1或2 B．2或3
C．3或4 D．5
A [依题意P(ξ＝k)＝C×k×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
可以求得P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝.故当k＝2或1时，P(ξ＝k)最大．]
二、填空题
6．下列说法正确的是________．(填序号)
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)；
②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B.
①② [①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．]
7．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p等于________．
或 [P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝，
即p2(1－p)2＝2·2，解得p＝或p＝.]
8．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为________．
[每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，
设申请A片区房源记为A，则P(A)＝，
所以恰有2人申请A片区的概率为C·2·2＝.]
三、解答题
9．某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列．
[解] 由已知每位参加保险人员选择A社区的概率为，4名人员选择A社区即4次独立重复试验，
即X～B，所以P(X＝k)＝C·k·4－k(k＝0,1,2,3,4)，所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
10．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中：
(1)至少有1棵成活的概率；
(2)两种大树各成活1棵的概率．
[解] 设Ak表示第k棵甲种大树成活，k＝1,2，Bl表示第l棵乙种大树成活，l＝1,2，则A1，A2，B1，B2相互独立，且P(A1)＝P(A2)＝，P(B1)＝P(B2)＝.
(1)至少有1棵成活的概率为1－P( )
＝1－P()·P()·P()·P()
＝1－22＝.
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知
所求概率为C×××C××＝.
[能力提升练]
1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( )
A．0.216 B．0.36
C．0.432 D．0.648
D [甲获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时p1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时p2＝C×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p＝p1＋p2＝0.648.]
2．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.则原点P移动5次后位于点(2,3)的概率为( )
A．5 B．C×5
C．C×3 D．C×C×5
B [质点每次只能向上或向右移动，且概率均为，所以移动5次可看成做了5次独立重复试验．质点P移动5次后位于点(2,3)(即质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次)的概率为C×2×3＝C×5.]
3．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y＝2)＝________.
[P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝，
∴p＝，
∴P(Y＝2)＝C··2＝.]
4．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S5＝3的概率为________．
[由题意知有放回地摸球为独立重复试验，且试验次数为5，这5次中有1次摸得红球．每次摸取红球的概率为，所以S5＝3时，概率为C×1·4＝.]
5．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．
[解] 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝，P(Bj)＝，P(Ck)＝.
(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率．
P＝3! P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×××＝.
(2)法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B，且ξ＝3－η，所以
P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C3＝，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C2＝，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C2＝，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C3＝.
故ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
p
法二：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di，i＝1,2,3.由已知，D1，D2，D3相互独立，且P(Di)＝P(Ai∪Ci)＝P(Ai)＋P(Ci)＝＋＝，所以ξ～B，
即P(ξ＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.
故ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
p
