课件49张PPT。第二章 随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.1 离散型随机变量的均值平均水平 P(Y＝axi＋b) aE(X)＋b p np 求离散型随机变量的均值 离散型随机变量的均值公式及性质 两点分布与二项分布的均值 离散型随机变量均值的实际应用 点击右图进入…Thank you for watching !2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.1 离散型随机变量的均值
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)
2.掌握两点分布、二项分布的均值．(重点)
3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点)
1.通过离散型随机变量的均值的学习，体会数学抽象的素养．
2.应用随机变量的均值解题提升数学运算的素养.
1．离散型随机变量的均值
(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．
(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
2．两点分布和二项分布的均值
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p；
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np.
思考：随机变量的均值与样本平均值有什么关系？
[提示] 随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．
1．若随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
p
则E(X)＝( )
A．0 B．－1
C．－ D．－
C [E(X)＝ipi＝(－1)×＋0×＋1×＝－.]
2．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________.
35 [E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.]
3．若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为________．
[E(X)＝np＝4×＝.]
求离散型随机变量的均值
【例1】 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．
[解] X的取值分别为1,2,3,4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，
故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，
故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
所以李明一年内参加考试次数X的分布列为
X
1
2
3
4
P
0.6
0.28
0.096
0.024
所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
求离散型随机变量X的均值的步骤
1．理解X的实际意义，并写出X的全部取值．
2．求出X取每个值的概率．
3．写出X的分布列(有时也可省略)．
4．利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．
其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识．
1．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．
[解] X可取的值为1,2,3，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝.
抽取次数X的分布列为
X
1
2
3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
离散型随机变量的均值公式及性质
【例2】 已知随机变量X的分布列如下：
X
－2
－1
0
1
2
P
m
(1)求m的值；
(2)求E(X)；
(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．
[解] (1)由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，
解得m＝.
(2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
(3)法一：(公式法)由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－.
法二：(直接法)由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：
Y
－7
－5
－3
－1
1
P
所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－.
1．该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解．
2．对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．
2．已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则a的值为________．
－3 [E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
∵Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3＝a＋3＝－2.
解得a＝－3.]
两点分布与二项分布的均值
【例3】 某运动员投篮命中率为p＝0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的均值；
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值．
[思路点拨] (1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望公式求解．
[解] (1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝0.6.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
1．(变换条件)求重复10次投篮时，命中次数ξ的均值．
[解] E(ξ)＝10×0.6＝6.
2．(改变问法)重复5次投篮时，命中次数为Y，命中一次得3分，求5次投篮得分的均值．
[解] 设投篮得分为变量η，则η＝3Y.
所以E(η)＝E(3Y)＝3E(Y)＝3×3＝9.
1．常见的两种分布的均值
设p为一次试验中成功的概率，则
(1)两点分布E(X)＝p；
(2)二项分布E(X)＝np.
熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．
2．两点分布与二项分布辨析
(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．
(2)不同点：
①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x＝0,1,2，…，n.
②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．
离散型随机变量均值的实际应用
[探究问题]
1．某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？
[提示] 每次平均得分为＝0.8.
2．在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？
[提示] 在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分)．因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平．具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数．
【例4】 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
[思路点拨] →→→
[解] (1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.
P(X＝6)＝＝0.63，
P(X＝2)＝＝0.25，P(X＝1)＝＝0.1，
P(X＝－2)＝＝0.02.
故X的分布列为：
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为
E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01
＝4.76－x(0≤x≤0.29)．
依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
1．实际问题中的均值问题
均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
2．概率模型的三个解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论．
3．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
[解] (1)由已知得小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”为事件A，
则事件A的对立事件为“X＝5”，
因为P(X＝5)＝×＝，
所以P(A)＝1－P(X＝5)＝.
所以这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．
由已知得X1～B，X2～B，
所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝.
所以E(2X1)＝2E(X1)＝，
E(3X2)－3E(X2)＝.
因为E(2X1)>E(3X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
1．求离散型随机变量均值的步骤：
(1)确定离散型随机变量X的取值；
(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；
(3)根据公式写出均值．
2．若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．( )
(2)随机变量的均值反映样本的平均水平．( )
(3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4.( )
(4)随机变量X的均值E(X)＝.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
0.2
0.5
m
则X的均值是( )
A．2 B．2.1
C．2.3 D．随m的变化而变化
B [由0.2＋0.5＋m＝1得m＝0.3，
∴E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1，故选B.]
3．已知X～B，则E(2X＋3)＝________.
103 [E(X)＝100×＝50，E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝103.]
4．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X表示取得的分数．求：
(1)X的分布列；
(2)X的均值．
[解] (1)由题意知，X可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
(2)E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
课时分层作业(十四)
离散型随机变量的均值
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于( )
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
D [∵E(X)＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.]
2．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)为( )
A．0.765 B．1.75
C．1.765 D．0.22
B [X的取值为0,1,2，
P(X＝0)＝0.1×0.15＝0.015，
P(X＝1)＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22，
P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，
E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.]
3．已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，则E(X)的值为( )
A． B．5
C．1 D．31
C [因为E(Y)＝E(5X＋1)＝5E(X)＋1＝6，
所以E(X)＝1.]
4．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
A．100 B．200
C．300 D．400
B [记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1 000,0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B.]
5．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )
A. B.
C.2 D.
D [X＝2,3.所以P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝2×＋3×＝.]
二、填空题
6．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________．
0．8 [因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.]
7．某射手射击所得环数X的分布列如下：
X
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知X的均值E(X)＝8.9，则y的值为________．
0．4 [由题意得
即解得]
8．对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题．记X为解出该题的人数，则E(X)＝________.
[由已知得X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝×＋×＝，
P(X＝2)＝×＝，E(X)＝0×＋1×＋2×＝.]
三、解答题
9．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格．按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数X的分布列及均值E(X)．
[解] X可能的取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴X的分布列为：
X
0
1
2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
10．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与均值．
[解] (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.
(2)X的所有可能取值为0,1,2，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
综上知，X的分布列为
X
0
1
2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
[能力提升练]
1．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
B [出海的期望效益E(ξ)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．]
2．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是( )
A. B.
C. D.
B [根据题意，X的所有可能取值为1,2,3，且P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依题意有E(X)>1.75，则p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，结合p的实际意义，可得0
3．把两封信投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱中的信件数X的均值E(X)＝________.
[每封信投到A邮箱的概率均为，
X～B，
∴E(X)＝.]
4．某人有10万元，准备用于投资房地产或购买股票，如果根据下面的盈利表进行决策：
那么应选择的决策方案是________．
投资房地产 [设购买股票的盈利为X，投资房地产的盈利为Y，
则购买股票的盈利的均值为
E(X)＝10×0.3＋3×0.5＋(－5)×0.2
＝3＋1.5－1＝3.5.
投资房地产的盈利的均值为
E(Y)＝8×0.3＋4×0.5＋(－4)×0.2
＝2.4＋2－0.8＝3.6.
因为E(Y)>E(X)，所以投资房地产的平均盈利高，即应选择投资房地产．]
5．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，则商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．
(1)设该顾客抽奖后中奖的奖券张数为ξ，求ξ的分布列；
(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位：元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．
[解] (1)∵每张奖券是否中奖是相互独立的，
∴ξ～B(4，)．
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
(2)∵ξ～B(4，)，∴E(ξ)＝4×＝2.
又由题意可知η＝2 300－100ξ，
∴E(η)＝E(2 300－100ξ)＝2 300－100E(ξ)＝2 300－100×2＝2 100.
即实际支出的数学期望为2 100元．
