课件34张PPT。第二章 随机变量及其分布阶段复习课
第2课 离散型随机变量的分布列、期望与方差点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(二)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设离散型随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
4
P
p
则p的值为( )
A. B.
C. D.
C [由＋＋＋p＝1得p＝.故选C.]
2．P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)等于( )
A. B.
C. D.
B [P(B|A)＝＝＝，故选B.]
3．已知随机变量X～B，则D(2X＋1)等于( )
A．6 B．4
C．3 D．9
A [∵X～B，∴D(X)＝6××＝，
∴D(2X＋1)＝4D(X)＝4×＝6.故选A.]
4．已知甲投球命中的概率是，乙投球命中的概率是.假设他们投球命中与否相互之间没有影响．如果甲、乙各投球1次，那么恰有1人投球命中的概率为
( )
A. B.
C. D.
D [记“甲投球1次命中”为事件A，“乙投球1次命中”为事件B.根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式，得所求的概率为P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.]
5．在每次比赛中，如果运动员A胜运动员B的概率都是，那么在五次比赛中，运动员A恰有三次获胜的概率是( )
A. B.
C. D.
B [运动员A恰有三次获胜的概率P＝C3×2＝.故选B.]
6．设X～N，则X落在(－3.5，－0.5]内的概率是( )
A．95.44% B．99.73%
C．4.56% D．0.26%
B [由X～N知μ＝－2，σ＝，P(－3.5＜X≤－0.5)＝P(－2－3×0.5＜X≤－2＋3×0.5)＝0.997 3.]
7．已知10件产品中有3件是次品，任取2件，若X表示取到次品的件数，则E(X)等于( )
A. B.
C. D.1
A [由题意知，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.]
8．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )
A. B.
C. D.
D [记“第一次摸到正品”为事件A，“第二次摸到正品”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝.故P(B|A)＝＝.]
9．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为( )
A．恰有1只是坏的
B．4只全是好的
C．恰有2只是好的
D．至多有2只是坏的
C [X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．
∴P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故表示恰好有2个是好的．]
10．已知甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，若目标被击中，则它是被甲击中的概率是( )
A．0.45 B．0.6
C．0.65 D．0.75
D [令事件A，B分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标，由题意可知P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，令事件C表示目标被击中，则C＝A∪B，则
P(C)＝1－P()P()＝1－0.4×0.5＝0.8，
所以P(A|C)＝＝＝0.75.]
11．某地区高二女生的体重X(单位：kg)服从正态分布N(50,25)，若该地区有高二女生2 000人，则体重在50 kg～65 kg间的女生约有( )
A．683人 B．954人
C．997人 D．994人
C [由题意知，μ＝50，σ＝5，
∴P(50－3×5∴P(50∴体重在50 kg～65 kg的女生大约有2 000×0.498 65≈997(人)．]
12．(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“－－”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
( )
A. B.
C. D.
A [由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝.故选A.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知随机变量ξ～B，随机变量η＝2ξ－1，则E(η)＝________.
[ξ～B，∴E(ξ)＝5×＝，
∴E(η)＝E(2ξ－1)＝2E(ξ)－1＝2×－1＝.]
14．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X的均值为________个，方差为________．
98．5 1.477 5 [由题意可知X～B(100,98.5%)，
∴E(X)＝np＝100×98.5%＝98.5，
D(X)＝np(1－p)＝100×98.5%×1.5%＝1.477 5.]
15．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
0．18 [记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.]
16．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：
①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；
②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；
③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；
④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.
其中所有正确结论的序号是________．
①②④ [①所求概率P＝＝＝，故①正确；
②取到红球的次数X～B，其方差为6××＝，故②正确；③设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}，则P(A)＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝，故③错；④每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为1－3＝，故④正确．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．
[解] 记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi(i＝1,2,3)相互独立．
(1)“甲第三次试跳才成功”为事件 A3，且三次试跳相互独立，则P( A3)＝P()P()P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.所以甲第三次试跳才成功的概率为0.063.
(2)设“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.
法一：(直接法)因为C＝A1＋B1＋A1B1，且A1，B1，A1B1彼此互斥，
所以P(C)＝P(A1)＋P(B1)＋P(A1B1)＝P(A1)P()＋P()P(B1)＋P(A1)P(B1)＝0.7×0.4＋0.3×0.6＋0.7×0.6＝0.88.
法二：(间接法)P(C)＝1－P()P()＝1－0.3×0.4＝0.88.
所以甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.
18．(本小题满分12分)甲乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较．
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P
[解] 工人甲生产出次品数X的数学期望和方差分别为E(X)＝0×＋1×＋2×＝0.7，
D(X)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81.
工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为
E(Y)＝0×＋1×＋2×＝0.7，
D(Y)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.61.
由E(X)＝E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)>D(Y)，可见乙的技术比较稳定．
19．(本小题满分12分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任取3人参加学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
[解] (1)X的所有可能取值为0,1,2.
依题意得P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P(C)＝＝，∴所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.
(3)P(B)＝＝＝，
P(B|A)＝＝＝＝.
20．(本小题满分12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的数学期望．
[解] (1)必须要走到1号门才能走出，ξ可能的取值为1,3,4,6.
P(ξ＝1)＝.
P(ξ＝3)＝×＝.
P(ξ＝4)＝×＝.
P(ξ＝6)＝2××1＝.
∴ξ的分布列为：
ξ
1
3
4
6
P
(2)E(ξ)＝1×＋3×＋4×＋6×＝(小时)．
21．(本小题满分12分)进货商当天以每份1元的进价从报社购进某种报纸，以每份2元的价格售出．若当天卖不完，剩余报纸以每份0.5元的价格被报社回收．根据市场统计，得到这个月的日销售量X(单位：份)的频率分布直方图(如图所示)，将频率视为概率．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)若进货量为n(单位：份)，当n≥X时，求利润Y的表达式；
(3)若当天进货量n＝400，求利润Y的分布列和数学期望E(Y)．
[解] (1)由题图可得，100a＋0.002×100＋0.003×100＋0.003 5×100＝1，解得a＝0.001 5.
(2)因为n≥X，所以Y＝(2－1)X－0.5(n－X)＝1.5X－0.5n.
(3)销售量X的所有可能取值为200,300,400,500，由第(2)问知对应的Y分别为100,250,400.
由频率分布直方图可得
P(Y＝100)＝P(X＝200)＝0.20，
P(Y＝250)＝P(X＝300)＝0.35，
P(Y＝400)＝P(X≥400)＝0.45.
利润Y的分布列为
Y
100
250
400
P
0.20
0.35
0.45
所以E(Y)＝0.20×100＋0.35×250＋0.45×400＝287.5.
22．(本小题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立．
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．
[解] (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，
由题意知，各局比赛结果相互独立，
故P(A1)＝3＝，
P(A2)＝C2×＝，
P(A3)＝C22×＝.
所以甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为.
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，
由题意知，各局比赛结果相互独立，
所以P(A4)＝C22×＝.
由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得
P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝.
又P(X＝1)＝P(A3)＝，
P(X＝2)＝P(A4)＝，
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
第2课 离散型随机变量的分布列、期望与方差
条件概率与相互独立事件的概率
【例1】 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
[思路点拨] (1)这三列火车之间是否正点到达互不影响，因此本题是相互独立事件同时发生的概率问题，注意两列正点到达所包含的情况．
(2)这三列火车至少有一列正点到达的对立事件是三列火车都没正点到达，这种情况比正面列举简单些，因此利用对立事件的概率公式求解．
[解] 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P()
＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
1．(改变问法)本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．
[解] 恰有一列火车正点到达的概率
P3＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.
2．(变换条件，改变问法)若一列火车正点到达计5分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤10)．
[解] 事件“ξ≤10”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，
所以P(ξ≤10)＝1－P(ABC)
＝1－P(A)P(B)P(C)
＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.
1．条件概率的求法
(1)利用定义，分别求出P(A)和P(AB)，解得.
(2)借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.
2．求解相互独立事件同时发生的概率时，要注意以下几个问题：
(1)若事件A与B相互独立，则事件与B，A与，与分别相互独立，且有
P(B)＝P()P(B)，P(A)＝P(A)P()，P( )＝P()P()．
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
1．有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件，求：
(1)第一次抽到次品的概率；
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；
(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．
[解] 记第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B.
(1)第一次抽到次品的概率为P(A)＝＝.
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝.
(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B|A)＝÷＝.
独立重复试验与二项分布
【例2】 甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人答对与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
(1)求随机变量ξ的分布列；
(2)设C表示事件“甲队得2分，乙队得1分”，求P(C)．
[思路点拨] (1)由于甲队中每人答对的概率均为，因此每人回答一个问题可以看成3次独立重复试验，可用二项分布求分布列；(2)用独立事件的概率公式求概率．
[解] (1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝C×3＝，
P(ξ＝1)＝C××2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×＝，
P(ξ＝3)＝C×3＝，
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
(2)甲队得2分，乙队得1分，两事件相互独立，
由(1)得，甲队得2分的概率P(ξ＝2)＝，
乙队得1分的概率P＝××＋××＋××＝.
根据独立事件概率公式得，“甲队得2分，乙队得1分”的概率P(C)＝×＝.
1．判断一个随机变量是否服从二项分布的关键
(1)对立性，即一次试验中，事件发生与否二者必居其一．
(2)重复性，即试验独立重复地进行了n次．
(3)随机变量是事件发生的次数．
2．二项分布实际应用问题的解题思路
(1)根据题意设出随机变量．
(2)分析出随机变量服从二项分布．
(3)找到参数n(试验的次数)和p(事件发生的概率)．
(4)写出二项分布的分布列．
2．甲、乙两选手比赛，每局比赛甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为1－p，采用了“3局2胜制”(这里指最多比赛3局，先胜2局者为胜，比赛结束)．若仅比赛2局就结束的概率为.
(1)求p的值；
(2)若采用“5局3胜制”(这里指最多比赛5局，先胜3局者为胜，比赛结束)，求比赛局数X的分布列和数学期望．
[解] (1)仅比赛2局就结束，即为甲连胜2局或乙连胜2局，
所以p·p＋(1－p)(1－p)＝，
即25p2－25p＋6＝0，解得p＝或p＝.
(2)当p＝时，即甲胜的概率为，乙胜的概率为1－＝.
X的可能取值为3,4,5.
P(X＝3)＝3＋3＝，
P(X＝4)＝C2··＋C2··＝，
P(X＝5)＝C2·2·＋C2·2·＝，
所以X的分布列为
X
3
4
5
P
所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝≈4.
当p＝时，
结论与p＝相同．
离散型随机变量的期望与方差
【例3】 (2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？
[解] (1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知
P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4，P(X＝500)＝＝0.4.
因此X的分布列为
X
200
300
500
P
0.2
0.4
0.4
(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，因此只需考虑200≤n≤500.
当300≤n≤500时，
若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.
因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.
当200≤n<300时，
若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.
因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.
所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．
求离散型随机变量的期望与方差的步骤
3．一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字)．
(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列．
(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E(ξ)，D(ξ)．
[解] (1)由已知，随机变量η的取值为：2,3,4,5,6.设掷一次正方体骰子所得点数为η0，则
P(η0＝1)＝，P(η0＝2)＝，
P(η0＝3)＝，
即P(η＝2)＝×＝，
P(η＝3)＝2××＝，
P(η＝4)＝2××＋×＝，
P(η＝5)＝2××＝.
P(η＝6)＝×＝.
所以η的分布列为：
η
2
3
4
5
6
P
(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设其发生的概率为p，由(1)知，p＝，
因为随机变量ξ～B，
所以E(ξ)＝np＝10×＝，
D(ξ)＝np(1－p)＝10××＝.
