课件34张PPT。第三章 数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念a＝c且b＝d (b＝0) 虚数 (a＝0) 复数的概念及分类 复数相等的充要条件 点击右图进入…Thank you for watching !
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．(重点)
2．理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点)
3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)
1．通过复数概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．
2．通过复数有关概念的应用，培养学生的数学运算的核心素养.
1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集．
2．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.
3．复数的分类
z＝a＋bi(a，b∈R)
思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？
[提示]
1．用C，R和I分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( )
A．C＝R∩I B．R∩I＝{0}
C．R＝C∩I D．R∩I＝
D [由复数的概念可知R?C，I?C，R∩I＝.]
2．复数i－2的虚部是( )
A．i B．－2
C．1 D．2
C [i－2＝－2＋i，因此虚部是1.]
3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为( )
A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0
A [∵(x＋y)i＝x－1，
∴
∴x＝1，y＝－1.]
4．在下列数中，属于虚数的是________，属于纯虚数的是________．
0,1＋i，πi，＋2i，－i，i.
1＋i，πi，＋2i，－i，i πi，i [根据虚数的概念知：1＋i，πi，＋2i，－i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，i都是纯虚数．]
复数的概念及分类
【例1】 实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是①实数？②虚数？③纯虚数？
[解] ①当x满足即x＝5时，z是实数．
②当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．
③当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
复数分类的关键
(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式．
(2)注意分清复数分类中的条件
设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数?b＝0，②z为虚数?b≠0，③z为纯虚数?a＝0，b≠0，④z＝0?a＝0，且b＝0.
1．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．
1或－3 [由条件知a2－3＋2a＝0，
∴a＝1或a＝－3.]
2．实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是①实数；②虚数；③纯虚数；④零．
[解] 由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
①当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.
②当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.
③当时，z是纯虚数，解得k＝4.
④当时，z＝0，解得k＝－1.
复数相等的充要条件
[探究问题]
1．由3>2能否推出3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？
[提示] 由3>2不能推出3＋i>2＋i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．
2．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？
[提示] 若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0.
【例2】 (1) 若复数z＝(m＋1)＋(m2 －9)i<0，则实数m的值等于________．
(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值．
思路探究：(1)等价转化为虚部为零，且实部小于零；
(2)根据复数相等的充要条件求解．
(1)－3 [∵z<0，∴∴m＝－3.]
(2)[解] 设a是原方程的实根，
则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，
所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，
所以a＝－且－＋3m＝0，所以m＝.
1．(变条件)若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的实数根，求复数m的值．
[解] 由题意可知，1＋1－2i＋3m－i＝0，即m＝－＋i.
2．(变条件)若x2＋(1－2i)x＋(3m－i)>0，求实数m的取值范围．
[解] 由题意可知，x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝ x2＋x＋3m－(2x＋1)i>0，
故 解得
所以实数m的取值范围为.
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数．
1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．
2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.
1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
A.，1 B.，5
C．±，5 D．±，1
C [令得a＝±，b＝5.]
2．给出下列三个命题：(1)若z∈C，则z2≥0；(2)2i－1的虚部是2i；(3)2i的实部是0.其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
B [(1)错误，例如z＝i，则z2＝－1；(2)错误，因为2i－1的虚部是2；(3)正确，因为2i＝0＋2i.]
3．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为________．
或 [∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴解得或]
4．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，则实数m的值为________．
2 [由题意得解得m＝2.]
5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.
[解] 由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.
(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，
∴m＝5或－3.
(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，
∴m≠5且m≠－3.
(3)当时，复数z是纯虚数，
∴m＝－2.
(4)当时，复数z是0，
∴m＝－3.
课时分层作业(十七) 数系的扩充和复数的概念
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列命题：
(1)若a＋bi＝0，则a＝b＝0；
(2)x＋yi＝2＋2i?x＝y＝2；
(3)若y∈R，且(y2－1)－(y－1)i＝0，则y＝1.
其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
B [(1)，(2)所犯的错误是一样的，即a，x不一定是复数的实部，b，y不一定是复数的虚部；(3)正确，因为y∈R，所以y2－1，－(y－1)是实数，所以由复数相等的条件得解得y＝1.]
2．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为( )
A．－2 B．3
C．－3 D．±3
B [由题知解得m＝3.故选B.]
3．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D.＋i
A [3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.]
4．4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
C [由题意知解得a＝－4.]
5．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [因为a，b∈R，“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”，则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．]
二、填空题
6．设m∈ R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
－2 [解得m＝－2.]
7．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.
2 ±2 [由复数相等的充要条件有
即]
8．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是________．
③ [当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．]
三、解答题
9．若x，y∈R，且(x－1)＋yi＞2x，求x，y的取值范围．
[解] ∵(x－1)＋yi＞2x，∴y＝0且x－1＞2x，
∴x＜－1，
∴x，y的取值范围分别为x＜－1，y＝0.
10．实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
[解] (1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
[能力提升练]
1．下列命题正确的个数是( )
①1＋i2＝0；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
④两个虚数不能比较大小．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B [对于①，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0，故①正确．对于②，两个虚数不能比较大小，故②错．
对于③，当x＝1，y＝i时x2＋y2＝0成立，故③错．④正确．]
2．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
B [由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0.
所以解得
所以z＝3－i.]
3．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝________.
2 [方程可化为解得x＝2.]
4．复数z＝cos＋isin，且θ∈，若z是实数，则θ的值为________；若z为纯虚数，则θ的值为________．
± 0 [若z为实数，则sin＝cos θ＝0，
又∵θ∈，∴θ＝±.
若z为纯虚数，则有
∴θ＝0.]
5．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1[解] 由于z1∴z1∈R且z2∈R，
当z1∈R时，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.
当z2∈R时，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，
∴当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1∴z1
