课件41张PPT。第三章 数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.2 复数的几何意义模 复数与复平面内的点的关系复数的模及其应用 复数与复平面内向量的关系 点击右图进入…Thank you for watching !3.1.2 复数的几何意义
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(重点、难点)
2．掌握实轴、虚轴、模等概念. (易混点)
3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(重点)
1．通过复数的几何意义的学习，培养学生的直观想象核心素养．
2．借助复数在复平面内与点、平面向量的对应关系及复数模的学习及应用，提升学生的数学抽象及数学运算的核心素养.
1．复平面
思考：有些同学说，实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
[提示] 不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
2．复数的几何意义
3．复数的模
(1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模．
(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|且|z|＝.
1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为( )
A．(0，－1) B．(－1,0)
C．(0,0) D．(－1，－1)
A [复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为(0，－1)．]
2．向量a＝(－2, 1)所对应的复数是( )
A．z＝1＋2i B．z＝1－2i
C．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i
D [向量a＝(－2,1)所对应的复数是z＝－2＋i.]
3．在复平面内，O为原点，向量对应复数为－1－2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应复数为( )
A．－2－i B．2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
B [由题意知，A点坐标为(－1，－2)，B点坐标为(2,1)，故对应复数为2＋i.]
4．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.
[∵z＝1＋2i，
∴|z|＝＝.]
复数与复平面内的点的关系
[探究问题]
1．在复平面上，如何确定复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点所在的位置？
[提示] 看复数z＝a＋bi(a，b∈R)的实部和虚部所确定的点的坐标(a，b)所在的象限即可．
2．在复平面上，若复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第一象限，则实数a，b应满足什么条件？我们可以得到什么启示？
[提示] a>0，且b>0.在复平面内复数所表示的点所处位置，决定了复数实部、虚部的取值特征．
【例1】 求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：
(1)在复平面的第二象限内；
(2)在复平面内的x轴上方．
思路探究：→
→
[解] (1)点Z在复平面的第二象限内，
则解得a＜－3.
(2)点Z在x轴上方，
则
即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.
1．(变结论)本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．
[解] 点Z在x轴上，a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5.
故a＝5时，点Z在x轴上．
2．(变结论)本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．
[解] 因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，
所以＋a2－2a－15＋7＝0，
即a3＋2a2－15a－30＝0，
所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±.
所以a＝－2或a＝±时，点Z在直线x＋y＋7＝0上．
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标．
(2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．
复数的模及其应用
【例2】 (1)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝ ( )
A．1 B.
C. D．2
(2)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
(1)B [因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，故选B.]
(2)[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得
∴z＝－15＋8i.
1．复数z＝a＋bi模的计算：|z|＝.
2．复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离．
3．转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．
1．(1)若复数z＝＋(a2－a－6)i是实数，则z1＝(a－1)＋(1－2a)i的模为________．
(2)已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．
(1) [∵z为实数，∴a2－a－6＝0，
∴a＝－2或3.
∵a＝－2时，z无意义，∴a＝3，
∴z1＝2－5i，∴|z1|＝.]
(2)[解] 法一：∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝，
由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－，)．
法二：利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，
由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，
所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．
由图可知：－
复数与复平面内向量的关系
【例3】 (1)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋80i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
①求向量，，对应的复数；
②判定△ABC的形状．
(1)C [两个复数对应的点分别为A(6,5)，B(－2,3)，则C(2,4)．故其对应的复数为2＋4i.]
(2)[解] ①由复数的几何意义知：
＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，
所以＝－＝(1,1)， ＝－＝(－2,2), ＝－＝(－3,1)，所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
②因为||＝，||＝2，||＝，
所以||2＋||2＝||2，
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
复数与向量的对应和转化
对应：复数z与向量是一一对应关系．
转化：复数的有关问题转化为向量问题求解．
解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思想：利用复数的特征整体处理．
2．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为( )
A．－1＋i B．1－i
C．－5－5i D．5＋5i
D [由题意知，＝(2,3)，＝(－3，－2)，
∴＝－＝(5,5)，
∴对应的复数为5＋5i，故选D.]
1．复数的几何意义
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝；
(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离.
1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限. ]
2．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( )
A．1或3 B．1
C．3 D．2
A [依题意可得＝2，解得m＝1或3，故选A.]
3．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．
9 [∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上，∴m－3＝2，解之得m＝9.]
4．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
(3，＋∞) [∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴解得x＞3.]
5．在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模．
z1＝1－i；z2＝－＋i；z3＝－2；z4＝2＋2i.
[解] 在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，Z2， Z3(－2,0)，Z4(2,2)，则向量，，，分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示．
各复数的模分别为：|z1|＝＝；
|z2|＝＝1；
|z3|＝＝2；
|z4|＝＝2.
课时分层作业(十八) 复数的几何意义
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列命题中，假命题是( )
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|
D [①任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝≥0总成立．∴A正确；
②由复数相等的条件z＝0??|z|＝0，故B正确；
③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，
若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|.
反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；
④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．]
2．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式可知，e2i表示的复数在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [依题可知eix表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x，sin x)，故e2i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos 2，sin 2)，显然该点位于第二象限，选B.]
3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是( )
A．－1 B．4
C．－1和4 D．－1和6
C [由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.]
4．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [∵＜m＜1，∴3m－2＞0，m－1＜0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．]
5．如果复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z＝( )
A．－＋i B.－i
C．－－i D.＋i
D [设z＝a＋bi(a，b∈R)，由复数相等的充要条件，得
解得
即z＝＋i.]
二、填空题
6．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
－2＋3i [∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．∴z2＝－2＋3i.]
7．已知在△ABC中， ，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为________．
－1－5i [因为，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，所以＝(－1,2)，＝(－2，－3)，又＝－＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以对应的复数为－1－5i.]
8．复数z＝3a－6i的模为，则实数a的值为__________．
± [由|z|＝＝，得a＝±.]
三、解答题
9．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，求复数z.
[解] 因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a<0，由|z|＝2知，＝2，解得a＝±1，故a＝－1，所以z＝－1＋i.
10．在复平面内，分别求实数m的取值范围，使复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的对应点，
(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上．
[解] 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.
(2)由题意得
∴
∴－1＜m＜1.
(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2.∴m＝2.
[能力提升练]
1．在复平面内，复数z1，z2对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2＝( )
A．4＋5 B．5＋4i
C．3＋4i D．5＋4i或＋i
D [设z2＝x＋yi(x，y∈R)，
由条件得，
∴或故选D.]
2．复数z＝m(3＋i)－(2＋i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内的对应点P(3m－2，m－1)，当m>1时，P在第一象限；当m<时，P在第三象限，当3．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，则复数z＝________.
±i [因为z为纯虚数，所以设z＝ai(a∈R，且a≠0)，则|z－1|＝|ai－1|＝.
又因为|－1＋i|＝，所以＝，即a2＝1，
所以a＝±1，即z＝±i.]
4．已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，则的最大值为________．
[∵|x－2＋yi|＝，
∴(x－2)2＋y2＝3，故(x，y)在以C(2,0)为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识，易知的最大值为.]
5．已知z1＝cos θ＋isin 2θ，z2＝sin θ＋icos θ，当θ为何值时，
(1)z1＝z2；
(2)z1，z2对应点关于x轴对称；
(3)|z2|<.
[解] (1)z1＝z2??
?θ＝2kπ＋(k∈Z)．
(2)z1与z2对应点关于x轴对称
??
?θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
(3)|z2|<?＜
?3sin2θ＋cos2θ＜2?sin2θ＜
?kπ－＜θ＜kπ＋(k∈Z)．
