课件41张PPT。第三章 数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义复数加减法的运算 复数加减运算的几何意义 复数模的最值问题 点击右图进入…Thank you for watching !3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握复数代数形式的加、减运算法则．(重点)
2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(易错点)
1．通过复数代数形式的加、减运算，培养学生的数学运算核心素养．
2．通过复数加、减运算几何意义的学习，培养学生直观想象的核心素养.
1．复数加法与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则
①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有
①z1＋z2＝z2＋z1；
②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
2．复数加减法的几何意义
如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应．
思考：类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？
[提示] |z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝ ( )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
B [z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.]
2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
A [(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.]
3．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝( )
A．0 B．6i
C．6 D．6－6i
D [∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.]
4．已知向量1对应的复数为2－3i，向量2对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为________．
1－i [＝－＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.]
复数加减法的运算
【例1】 (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.
(1)－2－i (2) [(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.
(2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
所以
解得x＝1，y＝0，
所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，
所以|z1＋z2|＝.]
复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加?减?，虚部与虚部相加?减?.
1．计算：
(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝________；
(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝________；
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.
(1)6＋i (2)－7＋7i (3)－11i [(1)(3＋5i)＋(3－4i)
＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.
(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i＝－7＋7i.
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i.]
复数加减运算的几何意义
【例2】 (1)复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，则|z1－z2|＝________.
(2)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0、3＋2i、－2＋4i，试求：
①所表示的复数，所表示的复数；
②对角线所表示的复数；
③对角线所表示的复数及的长度．
(1) [由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝.]
(2)[解] ①＝－，∴所表示的复数为－3－2i.
∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.
②∵＝－，
∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
③对角线＝＋，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，||＝＝.
1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
2．常见结论
在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB 为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
[解] 设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．
则＝－＝(x，y)－(1,2)＝(x－1，y－2)．
＝－＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．
∵＝，∴解得故点D对应的复数为2－i.
复数模的最值问题
[探究问题]
1．满足|z|＝1的所有复数z对应的点组成什么图形？
[提示] 满足|z|＝1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．
2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点组成什么图形？
[提示] ∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．
3．复数|z1－z2|的几何意义是什么？
[提示] 复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．
【例3】 (1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1 B.
C．2 D.
(2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
(1)A [设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2, |Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1，
所以|z＋i＋1|min＝1.]
(2)[解] 如图所示， ||＝＝2.
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.
1．(变条件)若本例题(2)条件改为“设复数z满足|z－3－4i|＝1”，求|z|的最大值．
[解] 因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应的点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6.
2．(变条件)若本例题(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．
[解] 因为|z|＝1且z∈C，作图，如图所示：
所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1.
|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.
1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
1. a，b为实数，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为( )
A．1＋i B．2＋i
C．3 D．－2－i
D [∵z1＝2＋bi，z2＝a＋i，∴z1＋z2＝2＋bi＋(a＋i)＝0，所以a＝－2，b＝－1，即a＋bi＝－2－i.]
2．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．]
3．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.
5 [|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5.]
4．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
－1 [z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴
解得a＝－1.]
5．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋，对应的复数及A，B两点间的距离．
[解] 向量＋对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.
∵＝－，∴向量对应的复数为
(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.
∴A，B两点间的距离为
|－8－2i|＝＝2.
课时分层作业(十九) 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝( )
A． B．－
C．－ D．5
B [(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，所以解得a＝，b＝－，
故有a＋b＝－.]
2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
B [z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.]
3．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
D [z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.
∵z1＋z2所对应的点在实轴上，
∴1＋a＝0，
∴a＝－1.]
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i、－1＋3i，则对应的复数是( )
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
D [依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，
即对应的复数为4－2i.故选D.]
5．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
B [设z＝x＋yi，则由
|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.]
二、填空题
6．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.
3 [由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以解得a＝3.]
7．若z1＝2－i，z2＝－＋2i，则z1，z2在复平面上所对应的点为Z1，Z2，这两点之间的距离为________．
[||＝＝.]
8．若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为________．
9π [由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π.]
三、解答题
9．在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．
[解] 如图所示.
对应复数z3－z1，
对应复数z2－z1，
对应复数z4－z1.
由复数加减运算的几何意义，得＝＋，∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，
∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.
∴AD的长为||＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.
10．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．
[解] ∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i
＝＋(m2－2m－15)i.
∵z1＋z2为虚数，∴m2－2m－15≠0且m≠－2，
解得m≠5，m≠－3且m≠－2(m∈R)．
所以m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．
[能力提升练]
1．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
A [|AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A. ]
2．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )
A．0 B．1
C. D.
C [由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离，即为.]
3．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝________.
－4i [设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
则
所以所以z＝－4i.]
4．已知z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β且z1－z2＝＋i，则cos(α＋β)的值为________．
[∵z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β，
∴z1－z2＝(cos α－cos β)＋i(sin α＋sin β)＝＋i，
∴
①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，即cos(α＋β)＝.]
5．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数；
(3)求△APB的面积．
[解] (1)由于四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，
即对应的复数是－2＋2i.
(2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，
即对应的复数是5.
(3)由于＝＝－＝，
＝＝，
于是·＝－，
而||＝，||＝，
所以··cos∠APB＝－，
因此cos∠APB＝－，
故sin∠APB＝，
故S△APB＝||||sin∠APB
＝×××＝.
即△APB的面积为.
