课件42张PPT。3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
第三章 数系的扩充与复数的引入a－bi 复数乘法的运算 复数除法的运算 共轭复数及其应用 点击右图进入…Thank you for watching !3.2.2 复数代数形式的乘除运算
学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．(重点、难点)
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(易混点)
3．了解共轭复数的概念．(难点)
1．通过复数代数形式的乘法、除法的学习，培养学生的数学运算核心素养．
2．通过共轭复数及其应用的学习，提升学生的数学运算核心素养.
1．复数代数形式的乘法法则
(1)复数代数形式的乘法法则
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
思考1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
[提示] 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3
思考2：|z|2＝z2，正确吗？
[提示] 不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1.
2．共轭复数
如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示．即z＝a＋bi，则＝a－bi.
3．复数代数形式的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)．
1．复数(3＋2i)i等于( )
A．－2－3i B．－2＋3i
C．2－3i D．2＋3i
B [(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B.]
2．已知复数z＝2－i，则z·的值为( )
A．5 B. C．3 D.
A [z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.]
3．(2－i)÷i＝________.
－1－2i [(2－i)÷i＝＝＝－1－2i.]
4．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝________.
1＋i [＋z2＝＋(1＋i)2＝＋1＋2i＋i2
＝1－i＋2i＝1＋i.]
复数乘法的运算
【例1】 (1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
(2)计算：
①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；
②(3＋4i)(3－4i)；
③(1＋i)2.
(1)B [z＝＝＋i，因为对应的点在第二象限，所以解得a<－1，故选B.]
(2)[解] ①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)
＝－20＋15i.
②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25.
③(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.
1．两个复数代数形式乘法的一般方法
复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
(3)(1±i)2＝±2i.
1．(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
(2)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．
(1)C (2)5 [(1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i，故选C.
(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，
所以z的实部是5.]
复数除法的运算
【例2】 (1)如图所示，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)计算：＋－.
(1)B [由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，
所以＝＝－1＋2i，
对应的点在第二象限．]
(2)[解] 原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－＝8＋8－16－16i＝－16i.
1．两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.
2．(1)(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
(2)计算：①；②.
(1)D
(2)[解] ①＝＝＝1－i.
②＝＝＝－1－3i.
共轭复数及其应用
[探究问题]
1．若z＝，则z是什么数？这个性质有什么作用？
[提示] z＝?z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．
2．若z≠0且z＋＝0，则z是什么数？这个性质有什么作用？
[提示] z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用这个性质可证明一个复数为纯虚数．
3．三个实数|z|，||，z·具有怎样的关系？
[提示] 设z＝a＋bi，则＝a－bi，所以|z|＝，||＝＝，z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，所以|z|2＝||2＝z·.
【例3】 (1)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( )
A． B．
C．1 D．2
(2)已知复数z满足|z|＝，且(1－2i)z是实数，求.
思路探究：可以先设复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解．
(1)A [法一：∵z＝＝＝＝＝＝－＋，
∴＝－－，∴z·＝.
法二：∵z＝，
∴|z|＝＝＝＝，∴z·＝.]
(2)[解] 法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i，又因为(1－2i)z是实数，所以b－2a＝0，即b＝2a，又|z|＝，所以a2＋b2＝5.解得a＝±1，b＝±2，所以z＝1＋2i或－1－2i，所以＝1－2i或－1＋2i，即＝±(1－2i)．
法二：因为(1－2i)z是实数，故可设z＝b(1＋2i)，b∈R，由|z|＝可知|b|＝，所以b＝±1，
即＝±(1－2i)．
1．(变结论)在例(1)条件不变的情况下，把例(1)的结论改为求.
[解] 由例题(1)的解析可知z＝－＋，＝－－，z·＝，∴＝＝＝－i.
2．(变条件)把例(2)的条件“(1－2i)z是实数”换成“(1－2i)z是纯虚数”，求.
[解] 设z＝a＋bi，则＝a－bi，由例题(2)的解析可知a＝－2b，由|z|＝＝ ＝，得b＝1，a＝－2；或 b＝－1，a＝2.所以＝－2－i，或＝2＋i.
1．由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数．
2．注意共轭复数的简单性质的运用．
1．复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
3．复数问题实数化思想
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．
1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于( )
A．－i B．i
C．－1 D．1
A [z＝＝－i.]
2．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝( )
A．2－3i B．2＋3i
C．3＋2i D．3－2i
A [∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴＝2－3i.]
3．复数(i为虚数单位)的实部等于________．
－3 [由题可得＝－3－i，－3－i的实部为－3.]
4．(1＋i)2－＝________.
－＋i [(1＋i)2－＝2i－
＝－＋i.]
5．已知复数z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值．
[解] z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i, z2＝＝＝＝＋i.由于z1和z2互为共轭复数，所以有
解得
课时分层作业(二十) 复数代数形式的乘除运算
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
D [＝＝－1－i，选D.]
2．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
C [z－1＝＝1－i，所以z＝2－i，故选C.]
3．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)
＝－＋(2＋)i，对应点在第二象限．]
4．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4 B．－
C．4 D．
D [∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
∴z＝＝＝＋i.
故z的虚部为，选D.]
5．设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t等于( )
A. B. C．－ D．－
A [∵z2＝t＋i，∴2＝t－i.
z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，
又∵z1·2∈R，∴4t－3＝0，∴t＝.]
二、填空题
6. i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则z·＝________.
1 [∵z＝＝＝＝i，
∴＝－i，∴z·＝1.]
7．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.
1 [∵＝b＋i，∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi，
∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.]
8．设复数z1，z2在复平面内的对应点分别为A，B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝________.
[∵z1(1－i)＝3－i，∴z1＝＝＝2＋i，∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，∴z2＝1＝2－i，∴|z2|＝.]
三、解答题
9．已知复数z＝.
(1)求z的实部与虚部；
(2)若z2＋m＋n＝1－i(m，n∈R，是z的共轭复数)，求m和n的值．
[解] (1)z＝＝＝2＋i，
所以z的实部为2，虚部为1.
(2)把z＝2＋i代入z2＋m＋n＝1－i，
得(2＋i)2＋m(2－i)＋n＝1－i，
所以解得m＝5，n＝－12.
10．把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由已知得：(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知，
解得a＝2，b＝1，∴z＝2＋i.
∴＝＝＝＝＋i.
[能力提升练]
1．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( )
A．－5 B．5
C．－4＋i D．－4－i
A [∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，
∴z2＝－2＋i，
∴z1z2＝－1－4＝－5，故选A.]
2．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
D [A项，|z1－z2|＝0?z1－z2＝0?z1＝z2?1＝2，真命题；B项，z1＝2?1＝2＝z2，真命题；
C项，|z1|＝|z2|?|z1|2＝|z2|2?z1·1＝z2·2，真命题；
D项，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．]
3．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
[＝＝＝
＝，
∴∴a＝.]
4．设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝________.
4 [＋＝可化为，
＋＝，
即＋i＝＋i，
由复数相等的充要条件知
∴
∴x＋y＝4.]
5．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2，
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设u＝，证明u为纯虚数．
[解] (1)因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0.
所以ω＝z＋＝x＋yi＋
＝x＋yi＋＝x＋＋i.
因为ω是实数且y≠0，
所以y－＝0，
所以x2＋y2＝1，
即|z|＝1.此时ω＝2x.
因为－1＜ω＜2，
所以－1＜2x＜2，
从而有－＜x＜1，
即z的实部的取值范围是.
(2)证明：设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
由(1)知，x2＋y2＝1，
∴u＝＝
＝
＝＝－i.
因为x∈，y≠0，
所以≠0，所以u为纯虚数.
