课件25张PPT。第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习课复数的概念 复数的几何意义 复数的四则运算 转化与化归思想 点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知z＝11－20i，则1－2i－z等于( )
A．z－1 B．z＋1
C．－10＋18i D．10－18i
C [1－2i－z＝1－2i－(11－20i)＝－10＋18i.]
2.＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
D [＝＝＝2－i.]
3．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
A [由已知得＝i(1－i)＝i＋1，则z＝1－i，故选A.]
4．若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )
A．(2,4) B．(2，－4)
C．(4，－2) D．(4,2)
C [z＝＝4－2i对应的点的坐标是(4，－2)，故选C.]
5．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
B [∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，
∴4a＋(a2－4)i＝－4i.
∴解得a＝0.故选B.]
6．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
A [因为z1＝z2，所以解得m＝1或m＝－2，
所以m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．]
7．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于( )
A．i B．－i
C．±1 D．±i
D [设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，由z＋＝4，z·＝8得，
??
所以＝＝＝±i.]
8．如图所示，在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i, 0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )
A．3＋i B．3－i
C．1－3i D．－1＋3i
D [＝＋＝1＋2i－2＋i＝－1＋3i，所以C对应的复数为－1＋3i.]
9．若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝( )
A． B．
C．－ D．2
C [因为＝＝－i，又复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，所以＝，即b＝－.]
10．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在( )
A．实轴上
B．虚轴上
C．直线y＝±x(x≠0)上
D．以上都不对
C [设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi.∵z2为纯虚数，∴
∴y＝±x(x≠0)．]
11．已知0
A．(1,5) B．(1,3)
C．(1，) D．(1，)
C [由已知，得|z|＝.
由0∴|z|＝∈(1，)．故选C.]
12．设z1，z2为复数，则下列四个结论中正确的是( )
A．若z＋z＞0，则z＞－z
B．|z1－z2|＝
C．z＋z＝0?z1＝z2＝0
D．z1－1是纯虚数或零
D [举例说明：若z1＝4＋i，z2＝2－2i，则z＝15＋8i，z＝－8i，z＋z＞0，但z与－z都是虚数，不能比较大小，故A错；因为|z1－z2|2不一定等于(z1－z2)2，故|z1－z2|与不一定相等，B错；若z1＝2＋i，z2＝1－2i，则z＝3＋4i，z＝－3－4i，z＋z＝0，但z1＝z2＝0不成立，故C错；设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则1＝a－bi，故z1－1＝2bi，当b＝0时是零，当b≠0时，是纯虚数．故D正确．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．
21 [复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.]
14. a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝________.
[＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.
又a为正实数，所以a＝.]
15．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．
8 [a＋bi＝＝＝＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.从而a＋b＝8.]
16．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.
4i [设m＝bi(b∈R且b≠0)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，
即解得∴m＝4i.]
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，
(1)z是实数？
(2)z是纯虚数？
[解] (1)要使复数z为实数，
需满足解得m＝－2或－1.
即当m＝－2或－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，需满足
解得m＝3.即当m＝3时，z是纯虚数．
18．(本小题满分12分)已知复数z1＝1－i，z1·z2＋1＝2＋2i，求复数z2.
[解] 因为z1＝1－i，所以1＝1＋i，
所以z1·z2＝2＋2i－1＝2＋2i－(1＋i)＝1＋i.
设z2＝a＋bi(a，b∈R)，由z1·z2＝1＋i，
得(1－i)(a＋bi)＝1＋i，
所以(a＋b)＋(b－a)i＝1＋i，
所以解得a＝0，b＝1，所以z2＝i.
19．(本小题满分12分)计算：(1)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
[解] (1)原式＝
＝＝＝＝＝－1＋i.
(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
20．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1.①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②
由①②联立，解得或
所以＝－i，或＝－＋i.
21．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
[解] (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则
z2＝a2－b2＋2abi，
由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝1.
22．(本小题满分12分)已知z为虚数，z＋为实数．
(1)若z－2为纯虚数，求虚数z；
(2)求|z－4|的取值范围．
[解] (1)设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，
则z－2＝x－2＋yi，由z－2为纯虚数得x＝2，所以z＝2＋yi，则z＋＝2＋yi＋＝2＋i∈R，得y－＝0，y＝±3，所以z＝2＋3i或z＝2－3i.
(2)因为z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i∈R，所以y－＝0，
因为y≠0，所以(x－2)2＋y2＝9，
由(x－2)2<9得x∈(－1,5)，
所以|z－4|＝|x＋yi－4|＝
＝
＝∈(1,5).
复数的概念
【例1】 当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i，
(1)为实数；
(2)为纯虚数；
(3)对应的点在第一象限内；
(4)复数z对应的点在直线x－y＝0上．
[解] (1)z∈R?a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2.
(2)z为纯虚数，
即故a＝0.
(3)z对应的点在第一象限，则
∴∴a＜0，或a＞2.
∴a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
(4)依题设(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0，
∴a＝2.
处理复数概念问题的两个注意点
(1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部．
(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根．
1．(1)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为( )
A．0 B．－1
C．1 D．－2
(2)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(1)A (2)D [(1)因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选A.
(2)因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.]
复数的几何意义
【例2】 (1)(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若＝2＋，则a＝________，b＝________.
(1)C (2)－3 －10 [(2)∵＝2＋，
∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)，
即∴]
2．若i为虚数单位，如图所示的复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
A．E B．F C．G D．H
D [∵点Z(3,1)对应的复数为z，
∴z＝3＋i，＝＝＝＝2－i，
该复数对应的点的坐标是(2，－1)，即H点．]
复数的四则运算
【例3】 (1)已知是z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
(2)已知复数z1＝2－3i，z2＝，则等于( )
A．－4＋3i B．3＋4i
C．3－4i D．4－3i
(1)A (2)D [(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入z·i＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，
由复数相等的条件得，
∴
∴z＝1＋i，故选A.
(2)＝＝
＝＝4－3i.]
1．(变结论)本例题(1)中已知条件不变，则＝__________.
i [由例题解析知z＝1＋i，所以＝1－i.
＝＝i.]
2．(变结论)本例题(2)中已知条件不变，则z1z2＝__________.
－i [z1z2＝
＝＝＝＝－i.]
?1?复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似.
?2?复数的除法运算，将分子、分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成a＋bi?a，b∈R?的结构形式.
?3?利用复数相等，可实现复数问题的实数化.
转化与化归思想
【例4】 已知z是复数，z＋2i，均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围．
[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＝－2.
又＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i为实数，
∴x＝4.∴z＝4－2i，又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限．
∴解得2∴实数a的取值范围是(2,6)．
一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi?x，y∈R?，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.
3．已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
[解] 设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.
又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
∴∴，或
或或∴
或或或
