课件42张PPT。第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念斜率 某一时刻 求函数的平均变化率 求瞬时速度 求函数在某一点处的导数 点击右图进入…Thank you for watching !
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．
2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)
3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)
4．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)
1．通过对函数的平均变化率、瞬时变化率、导数的概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．
2．通过求平均变化率、瞬时变化率及导数的学习，培养逻辑推理及数学运算的核心素养.
1．函数的平均变化率
(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为＝，其中Δx＝x2－x1是相对于x1的一个“增量”，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)是相对于f(x1)的一个“增量”．
(2)平均变化率的几何意义
设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如图所示．
思考：Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？
[提示] Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．平均变化率可正、可负、可为零．
2．瞬时速度与瞬时变化率
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，
即 ＝ .
3．导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ .
1．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
D [Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D.]
2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是( )
A．4 B．4.1
C．0.41 D．－1.1
B [＝＝＝＝4.1，故选B.]
3．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．
2 [∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是
＝＝
＝(2＋Δx)＝2.]
4．函数f(x)＝2在x＝6处的导数等于________．
0 [f′(6)＝ ＝ ＝0.]
求函数的平均变化率
【例1】 已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
[解] (1)因为f(x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为
＝0.9.
(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)
＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.
函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx.
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；
第三步，求平均变化率＝.
2．求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用的形式．
1．如图所示，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
B [平均变化率为＝－1.故选B.]
2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx
D [＝＝4＋2Δx.故选D.]
求瞬时速度
[探究问题]
1．物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，如何计算物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度？
[提示] Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，＝＝10＋5Δt.
2．当Δt趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？
[提示] 当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．
【例2】 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
思路探究：
―→
[解] ∵＝
＝＝3＋Δt，
∴ ＝ (3＋Δt)＝3.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
1．(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．
[解] 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵＝
＝＝1＋Δt，
∴ (1＋Δt)＝1.
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.
2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
[解] 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又＝＝(2t0＋1)＋Δt.
＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，
∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度＝.
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．
求函数在某一点处的导数
【例3】 (1)设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝1，则f′(x0)等于( )
A．1 B．－1
C．－ D．
(2)求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数．
思路探究：(1)类比f′(x0)＝ 求解．
(2)―→―→
(1)C [∵
＝ ＝－3f′(x0)＝1，
∴f′(x0)＝－，故选C.]
(2)[解] ∵Δy＝(1＋Δx)－－
＝Δx＋1－＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴f′(1)＝ ＝ ＝2.
求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称：一差、二比、三极限．
3．已知f′(1)＝－2，则 ＝________.
4 [∵f′(1)＝－2，
∴ ＝
＝－2 ＝－2f′(1)＝－2×(－2)＝4.]
4．求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
[解] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴＝6＋3Δx，
∴f′(1)＝ ＝ (6＋3Δx)＝6.
1．极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：f′(x0)＝ ＝ ＝ ，且y＝f(x)在x0处的导数是一个局部概念．
特别提醒：①取极限前，要注意化简，保证使Δx→0时分母不为0.
②函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．
③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.
1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( )
A．0.4 B．2
C．0.3 D．0.2
B [＝＝＝2.]
2．物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝ ＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是( )
A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率
B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率
C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率
D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率
C [结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．]
3．函数f(x)＝在x＝1处的导数为________．
[∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1，
∴＝＝，
∴f′(1)＝ ＝ ＝.]
4．设f(x)在x0处可导，若 ＝A，则f′(x0)＝________.
[
＝3 ＝3f′(x0)＝A.
故f′(x0)＝A.]
5．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求：(1)；(2)f′(1)．
[解] (1)＝
＝＝2＋Δx.
(2)f′(1)＝
＝ (2＋Δx)＝2.
课时分层作业(一) 变化率问题 导数的概念
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．4
B [由已知得：＝3，
∴m＋1＝3，∴m＝2.]
2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3 B．3
C．6 D．－6
D [由平均速度和瞬时速度的关系可知，
v＝s′(1)＝li (－3Δt－6)＝－6.]
3．若f(x)在x＝x0处存在导数，则 ( )
A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．以上答案都不对
B [由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关．]
4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
C [∵f′(x0)＝
＝ ＝ (a＋bΔx)＝a，
∴f′(x0)＝a.]
5．若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则 等于( )
A．f′(x0) B．2f′(x0)
C．－2f′(x0) D．0
B [法一：
＝
＝ ＋
＝f′(x0)＋
＝f′(x0)＋f′(x0)＝2f′(x0)．
法二：
＝
＝2
＝2f′(x0)．]
二、填空题
6．已知函数y＝＋3，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________.
[Δy＝f(1.5)－f(2)＝－＝－1＝.]
7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是________．
3>2>1 [∵1＝＝kMA，
2＝＝kAB，
3＝＝kBC，
由图象可知：kMA2>1.]
8．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________．
2 [物体的速度为v＝s′(t)，
∴s′(t)＝
＝
＝ ＝2－6t.
即v＝2－6t，
所以物体的初速度是v0＝2－6×0＝2.]
三、解答题
9．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．
[解] ∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx.
∴f′(1)＝ ＝ ＝ (aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，
∴a＝1.
10．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时平均速度．
[解] (1)初速度v0＝ ＝ ＝ (3－Δt)＝3(m/s)．
即物体的初速度为3 m/s.
(2)v＝
＝
＝
＝ (－Δt－1)＝－1(m/s)．
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，
方向与初速度相反．
(3)＝＝＝1(m/s)．
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.
[能力提升练]
1．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )
A．两机关节能效果一样好
B．A机关比B机关节能效果好
C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
B [由图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好．]
2．设函数f(x)可导，则 等于( )
A．f′(1) B．3f′(1)
C．f′(1) D．f′(3)
C [ ＝
＝f′(1)．]
3．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
[x3，x4] [由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．]
4．给出下列结论：①函数y＝2x2－1在x＝3处的导数为11；②若物体的运动规律是s＝f(t)，则物体在时刻t0的瞬时速度v等于f′(t0)；③物体做直线运动时，它的运动规律可以用函数v＝v(t)描述，其中v表示瞬时速度，t表示时间，那么该物体运动的加速度为a＝li .其中正确的结论序号为________．
②③ [①函数y＝2x2－1在x＝3处的导数为12，故①错，根据变化率在物理学中的含义知②③正确．]
5．若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)
s＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度．
(2)物体的初速度v0.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
[解] (1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
所以物体在t∈[3,5]上的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
因为物体在t＝0附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－18.
所以物体在t＝0处的瞬时变化率为
＝ (3Δt－18)＝－18.
即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
因为物体在t＝1附近的平均变化率为＝＝＝3Δt－12.
所以物体在t＝1处的瞬时变化率为 ＝ (3Δt－12)＝－12.
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
