课件47张PPT。第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数
1.1.3 导数的几何意义直线PT 斜率k 导数几何意义的应用 求切点坐标 求曲线的切线方程 点击右图进入…Thank you for watching !1.1.3 导数的几何意义
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．
2．会求导函数．(重点、难点)
3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)
4．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(易混点)
1．通过导数几何意义的学习，培养学生数学抽象及直观想象的核心素养．
2．借助切线方程的求解，提升学生的数学运算核心素养.
1．导数的几何意义
(1)切线的定义
如图所示，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(2)导数的几何意义
导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝ ＝f′(x0)．
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．导函数
对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝ .
思考： f′(x0)与f′(x)有什么区别？
[提示] f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数．
1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＝0
C．f′(x0)＜0 D．f′(x0)不存在
C [由题意可知，f′(x0)＝－2＜0，故选C.]
2．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________．
45° [设切线的倾斜角为α，则
tan α＝f′(x0) ＝1，又α∈[0°，180°)，
∴α＝45°.]
3．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．
x＋y－3＝0 [切线的斜率为k＝－1.
∴点 A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0.]
导数几何意义的应用
【例1】 (1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)＞f′(xB)
B．f′(xA)＜f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
(1)B (2)A [(1)由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)＜f′(xB)．
(2)由题意，知k＝y′|x＝0
＝ ＝1，∴a＝1.
又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.]
1．本例(2)中主要涉及了两点：①f′(0)＝1，②f(0)＝b.
2．解答此类问题的关键是理解导数的几何意义．
3．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
1．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B．
C．－ D．－1
A [由题意可知，f′(1)＝2.
又 ＝ ＝ (aΔx＋2a)＝2a.故由2a＝2得a＝1.]
2．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )
A．－4 B．3
C．－2 D．1
D [直线l的方程为＋＝1，
即x＋y－4＝0.
又由题意可知f(2)＝2，f′(2)＝－1，
∴f(2)＋f′(2)＝2－1＝1.]
求切点坐标
【例2】 过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点．
(1) 平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角．
[解] f′(x)＝ ＝ ＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，
∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点．
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
∴2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
(3)∵切线与x轴成135°的倾斜角，
∴其斜率为－1.即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
1．本题关键是由条件得到直线的斜率，从而得知函数在某点处的导数，进而求出切点的横坐标．
2．根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)求切线的斜率f′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
(5)将x0代入f(x)求y0得切点坐标．
3．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标．
[解] 设切点P(m，n)，切线斜率为k，
由y′＝ ＝
＝ (4x＋2Δx)＝4x，
得k＝y′|x＝m＝4m.
由题意可知4m＝8，∴m＝2.
代入y＝2x2－7得n＝1.
故所求切点P为(2,1)．
求曲线的切线方程
[探究问题]
1．如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？
[提示] y－y0＝k(x－x0)．即根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．
2．曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？
[提示] 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．
3．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？
[提示] 不一定．曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示．
【例3】 已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程．
思路探究：(1)―→―→
(2)―→―→
―→
[解] (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1,1)．
y′|x＝1＝ ＝
＝[3＋3Δx＋Δx2]＝3.
∴k＝y′|x＝1＝3.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝x0＝3x，由题意可知kPQ＝y′|x＝x0，
即＝3x，又y0＝x，所以＝3x，即2x－x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－.
①当x0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0.
②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0.
1．(变结论)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
[解] 由
解得或
从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)，
即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．
2．(变条件)求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程．
[解] 设切点为Q(a，a2＋1)，＝＝2a＋Δx，当Δx趋于0时，(2a＋Δx)趋于2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，＝2a，解得a＝1±，所求的切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)．
利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
1．曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过在x0处的切线刻
画：f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线斜率为正值，在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明曲线在x0处的切线斜率为负值，在x0附近曲线是下降的．
2．曲线在某点处切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
3．在求曲线上某点处的切线方程时，要注意区分切线、切线的斜率和该点处的导数这三者之间的关系，函数在某点处可导是曲线在该点处存在切线的充分不必要条件．因此，在求曲线上某点处的切线方程时，如果导数不存在，可由切线的定义来求切线方程．
1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( )
A．4 B．－4
C．－2 D．2
D [由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.]
2．下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
C [根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．]
3．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：
f′(a)________f′(b)(填“＜”或“＞”)．
＞ [f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，
由图象可得f′(a)＞f′(b)．]
4．曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．
x＋2y＋4＝0 [f′(－2)＝
＝ ＝ ＝－，
∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，
即x＋2y＋4＝0.]
5．已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值．
[解] 设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则
f′(x)＝
＝3x2－4x.
由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点坐标为或(2,3)．
当切点为时，
有＝4×＋a，
∴a＝.
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，
∴a＝－5，
因此切点坐标为或(2,3)，
a的值为或－5.
课时分层作业(二) 导数的几何意义
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直
B [由导数的几何意义可知选项B正确．]
2．若函数f(x)＝x＋，则f′(1)＝( )
A．2 B.
C．1 D．0
D [f′(1)＝
＝ ＝0.]
3．已知点P(－1,1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为( )
A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1
C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2
B [由题意可知， 曲线在点P处的切线方程为
y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.]
4．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C． D．
D [∵y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x，
∴令2x＝tan ＝1，得x＝.∴y＝＝，所求点的坐标为.]
5．如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
A [易得切点P(5,3)，∴f(5)＝3，k＝－1，即f′(5)＝－1.∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.]
二、填空题
6．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
2 [∵f′(1)＝2，
又 ＝ ＝ (aΔx＋2a)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.又f(1)＝a＋b＝3，∴b＝2.
∴＝2.]
7．曲线y＝x2－2x＋3在点A(－1,6)处的切线方程是
__________.
4x＋y－2＝0 [因为y＝x2－2x＋3，切点为点A(－1,6)，所以斜率k＝y′|x＝－1
＝
＝ (Δx－4)＝－4，
所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.]
8．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________．
(0,0) [设P(x0，y0)，则
y′|x＝x0＝
＝ (2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.
因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，
所以点P处的切线的斜率为2，
所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0,0)．]
三、解答题
9．若曲线y＝f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，求a的值．
[解] ∵f′(a)＝ ＝3a2，∴曲线在(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，切线与x轴的交点为.
∴三角形的面积为·|a3|＝，得a＝±1.
10．已知曲线y＝x2，
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．
[解] (1)设切点为(x0，y0)，
∵y′|x＝x0＝
＝ ＝2x0，
∴y′|x＝1＝2.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1.
(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为A(x0，y0)，
由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，
∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)， ①
再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x， ②
联立①，②得x0＝1或x0＝5.
从而切点为(1,1)时，
切线的斜率为k1＝2x0＝2，
此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，
当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，
此时切线方程为y－25＝10(x－5)，
即y＝10x－25.
综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.
[能力提升练]
1．已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A．0B．0C．0D．0B [由函数的图象，可知函数f(x)是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在x＝2处的切线斜率k1大于在x＝3处的切线斜率k2，所以f′(2)>f′(3)．记A(2，f(2))，B(3，f(3))，作直线AB，则直线AB的斜率k＝＝f(3)－f(2)，由函数图象，可知k1>k>k2>0，即f′(2)>f(3)－f(2)>f′(3)>0.故选B.]
2．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
D [∵
＝ ＝－1，
∴ ＝－2，即f′(1)＝－2.
由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝－2，故选D.]
3．若函数y＝f(x)的图象在x＝4处的切线方程是y＝－2x＋9，则f(4)－f′(4)＝________.
3 [由题意得f(4)＝－2×4＋9＝1，
f′(4)＝ ＝－2，
从而f(4)－f′(4)＝1－(－2)＝3.]
4．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是__________(填序号)．
② [由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．]
5．已知曲线f(x)＝.
(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；
(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．
[解] (1)f′(x)＝
＝ ＝－.
设过点A(1,0)的切线的切点为P， ①
则f′(x0)＝－，即该切线的斜率为k＝－.
因为点A(1,0)，P在切线上，
所以＝－， ②
解得x0＝.
故切线的斜率k＝－4.
故曲线过点A(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)，
即4x＋y－4＝0.
(2)设斜率为－的切线的切点为Q，
由(1)知，k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±.
所以切点坐标为或.
故满足斜率为－的曲线的切线方程为
y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，
即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.
