1.2 导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
学 习 目 标
核 心 素 养
1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点)
2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)
3．能利用导数的运算法则求函数的导数．(重点、易混点)
1．通过基本初等函数的导数公式、导数运算法则的学习，体现数学运算的核心素养．
2．借助导数运算法则的应用，提升学生的逻辑推理核心素养.
1．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln a(a＞0)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝(a＞0，且a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝
2.导数的运算法则
(1)和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)积的导数
①[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
②[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)商的导数
＝(g(x)≠0)．
1. 等于( )
A． B．1
C．0 D．
C [因常数的导数等于0，故选C.]
2．若函数y＝10x，则y′|x＝1等于( )
A． B．10
C．10ln 10 D．
C [∵y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.]
3．(1)＝________；(2)(xex)′＝________.
(1) (2)(1＋x)ex [(1)＝
＝；
(2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.]
4．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________.
1 [f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝1.]
利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数．
(1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos.
[解] (1)∵y＝cos ＝，∴y′＝0.
(2)∵y＝＝x－5，∴y′＝－5x－6.
(3)∵y＝＝＝x，∴y′＝x.
(4)∵y＝lg x，∴y′＝.
(5)∵y＝5x，∴y′＝5xln 5.
(6)y＝cos＝sin x，∴y′＝cos x.
1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．
3．要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别．
下列结论，
①(sin x)′＝cos x；②＝x；
③ (log3x)′＝；④(ln x)′＝.
其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
C [①(sin x)′＝cos x，正确；
②＝x，错误；
③(log3x)′＝，错误；
④(ln x)′＝，正确；所以①④正确，故选C.]
利用导数的运算法则求导数
[探究问题]
1．如何求函数y＝tan x的导数？
[提示] y＝tan x＝，
故y′＝＝
＝.
2．如何求函数y＝2sin cos 的导数？
[提示] y＝2sin cos ＝sin x，故y′＝cos x.
【例2】 求下列函数的导数．
(1)y＝x－2＋x2；
(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝；
(4)y＝x2－sin cos.
[解] (1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
(3)y′＝.
(4)∵y＝x2－sincos＝x2－sin x，
∴y′＝2x－cos x.
1．(变条件)把例2(4)的函数换成“y＝xtan x”，求其导数．
[解] y′＝(x·tan x)′＝
＝
＝
＝.
2．(变结论)求例2(3)中的函数在点(1,0)处的切线方程．
[解] ∵y′|x＝1＝，
∴函数y＝在点(1,0)处的切线方程为y－0＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导，如求y＝1－2sin2的导数，因为y＝1－2sin2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.
1．给出下列命题：
①y＝ln 2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝3＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－，故②正确；显然③，④正确，故选C.]
2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝，则α等于( )
A. B. C. D.
D [∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝.]
3．设y＝－2exsin x，则y′等于( )
A．－2excos x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
D [∵y＝－2exsin x，∴y′＝－2exsin x－2excos x＝－2ex(sin x＋cos x)．]
4．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是________．
x＋y－6＝0 [∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－1，
∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.]
5．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝log2x2－log2x；
(3)y＝；
(4)y＝－2sin .
[解] (1)y′＝()′＝＝x－1＝x－＝.
(2)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，
∴y′＝(log2x)′＝.
(3)法一：y′＝＝cos x＋(cos x)′＝cos x－sin x＝－x－cos x－sin x＝－－sin x＝－－sin x＝－.
法二：y′＝＝
＝＝－
＝－.
(4)∵y＝－2sin
＝2sin ＝2sin cos ＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x．
课件38张PPT。第一章 导数及其应用1.2 导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)0 利用导数公式求函数的导数 利用导数的运算法则求导数 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三) 几个常用函数的导数
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．函数y＝mx2m－n的导数为y′＝4x3，则( )
A．m＝－1，n＝－2 B．m＝－1，n＝2
C．m＝1，n＝2 D．m＝1，n＝－2
D [∵y＝mx2m－n，∴y′＝m(2m－n)x2m－n－1，
又y′＝4x3，∴
∴即]
2．若f(x)＝，则f(x)的导数是( )
A.
B.
C.
D.
A [f′(x)＝＝
.]
3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为( )
A. B.
C. D.
B [∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，
∴f′(x)＝3ax2＋6x，
又f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.]
4．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(－1,1) D．(1,1)或(－1，－1)
D [切线的斜率k＝tan π＝－1，
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，
又f′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1，
∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D.]
5．某质点的运动方程为s＝(其中s的单位为米，t的单位为秒)，则质点在t＝3秒时的速度为( )
A．－4×3－4米/秒 B．－3×3－4米/秒
C．－5×3－5米/秒 D．－4×3－5米/秒
D [由s＝得s′＝＝(t－4)′＝－4t－5.
得s′|t＝3＝－4×3－5，故选D.]
二、填空题
6．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
1 [因为f(x)＝x2，g(x)＝ln x，
所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，
f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，
解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1.]
7．函数y＝ln x在x＝2处的切线斜率为________．
[∵y＝ln x，∴y′＝，∴y′|x＝2＝.]
8．已知函数f(x)＝f′sin x＋cos x，则f′＝________.
－ [∵f′(x)＝f′cos x－sin x，
∴f′＝f′cos －sin ＝－1，
∴f′(x)＝－cos x－sin x，
∴f′＝－cos －sin ＝－.]
三、解答题
9．若函数f(x)＝在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，求c的值．
[解] ∵f′(x)＝＝，
∴f′(c)＝.
依题意知f(c)＋f′(c)＝0，
即＋＝0，
∴2c－1＝0，得c＝.
10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
[解] 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.
令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，
即6x＋2y－1＝0.
[能力提升练]
1．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 019(x)＝( )
A．sin x B．－sin x
C．cos x D．－cos x
D [f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x，
f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝(－cos x)′＝sin x，所以4为最小正周期，故f2 019(x)＝f3(x)＝－cos x．]
2．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝( )
A．64 B．32
C．16 D．8
A [因为y′＝－x－，所以曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线方程为：y－a－＝－a－(x－a)，由x＝0得y＝a－，由y＝0得x＝3a，所以·a－·3a＝18，解得a＝64.]
3．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( )
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8) D.
B [∵y′＝3x2，k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1.
故P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．]
4．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为
________.
eln 3 [设切点为(x0，y0)．
因为y′＝3xln 3， ①
所以k＝3x0ln 3，所以y＝3x0ln 3·x，
又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，
所以3x0ln 3·x0＝3x0， ②
所以x0＝＝log3 e.
所以k＝eln 3.]
5．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
[解] (1)因为y′＝2x.
P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，
过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即
2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，
切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点M，
与PQ平行的切线方程为y－＝x－，
即4x－4y－1＝0.
