课件48张PPT。第一章 导数及其应用1.2 导数的计算
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)y对u的导数与u对x的导数的乘积复合函数的导数 复合函数与导数的运算法则的综合应用 导数运算法则的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解复合函数的概念(易混点)．
2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数(重点、易错点).
1．通过复合函数求导公式的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养．
2．借助复合函数求导及导数运算法则的综合应用，提升学生的数学运算的核心素养.
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
[提示] 函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．
2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
1．已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)的值为( )
A．1－sin 1 B．1＋sin 1
C．sin 1－1 D．－sin 1
A [因为f′(x)＝－sin x＋，
所以f′(1)＝－sin 1＋＝1－sin 1.故选A.]
2．函数y＝sin x·cos x的导数是( )
A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝2cosx·sinx D．y′＝cosx·sinx
B [y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.]
3．函数y＝的导数是( )
A. B.
C．－ D．－
C [∵y＝，
∴y′＝－2××(3x－1)′
＝－.]
4．函数y＝是由________三个函数复合而成的．
[答案] y＝，u＝v2＋1，v＝sin x
复合函数的导数
【例1】 求下列函数的导数．
(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；
(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.
[解] (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4
＝－6(2x－1)－4＝－.
(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数．
∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′
＝3u2·cos x＋3cos v
＝3sin2x cos x＋3cos 3x.
1．解答此类问题常犯两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．
2．复合函数求导的步骤
1．求下列函数的导数．
(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；
(3)y＝2sin；(4)y＝.
[解] (1)令u＝3x－2，
则y＝10u，
所以y′x＝y′u·ux′＝10uln 10·(3x－2)′
＝3×103x－2ln 10.
(2)令u＝ex＋x2，则y＝ln u，
所以y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.
(3)设y＝2sin u，u＝3x－，
则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos.
(4)设y＝u－，u＝1－2x，
则y′x＝y′u·u′x＝·(1－2x)′
＝－u－×(－2)＝(1－2x)－.
复合函数与导数的运算法则的综合应用
【例2】 求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝x；
(3)y＝xcossin.
[解] (1)∵(ln 3x)′＝×(3x′)＝，
∴y′＝
＝＝.
(2)y′＝(x)′＝x′＋x()′
＝＋
＝.
(3)∵y＝xcossin
＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x，
∴y′＝＝－sin 4x－cos 4x·4
＝－sin 4x－2xcos 4x.
1．在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．
2．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．
2．求下列函数的导数．
(1)y＝sin2；(2)y＝sin3x＋sin x3；
(3)y＝；(4)y＝xln(1＋x)．
[解] (1)∵y＝，
∴y′＝＝sin x.
(2)y′＝(sin3x＋sin x3)′
＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2
＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
(3)y′＝＝
＝.
(4)y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′
＝ln(1＋x)＋.
导数运算法则的综合应用
[探究问题]
1．若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，你能求出切点坐标及b的值吗？
[提示] 设P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝ex0，
所以ex0＝1，即x0＝0，
∴点P(0,1)．
由点P(0,1)在直线y＝x＋b上可知b＝1.
2．若点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离？
[提示] 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
【例3】 (1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A. B．2
C．3 D．0
(2)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
思路探究：(1)―→
―→
(2)―→
(1)A (2)2 [(1)设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝，∴y′|x＝x0＝＝2，
解得x0＝1，
∴y0＝ln(2－1)＝0，
即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
(2)令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.]
1．(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值．
[解] 由题意可知，设切点P(x0，y0)，则
y′|x＝x0＝＝2，∴x0＝1，即切点P(1,0)，
∴＝2，解得m＝8或－12.
即实数m的值为8或－12.
2．(变结论)求(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积．
[解] 由题意可知，切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.
令x＝0得y＝1；令y＝0得x＝－.∴SΔ＝××1＝.
本题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.
1．导数的求法
对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数．
2．和与差的运算法则可以推广
[f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn)．
3．积、商的求导法则
(1)若c为常数，则[c·f(x)]′＝c·f′(x)；
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，＝；
(3)当f(x)＝1时，有＝－.
4．求简单复合函数f(ax＋b)的导数
实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键．
1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
[答案] A
2．函数y＝(2 019－8x)3的导数y′＝( )
A．3(2 019－8x)2 B．－24x
C．－24(2 019－8x)2 D．24(2 019－8x)2
C [y′＝3(2 019－8x)2×(2 019－8x)′
＝3(2 019－8x)2×(－8)＝－24(2 019－8x)2.]
3．函数y＝x2cos 2x的导数为( )
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
B [y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′
＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′
＝2xcos 2x－2x2sin 2x.]
4．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.
[∵f′(x)＝，
∴f′(1)＝＝.]
5．设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切．求a，b的值．
[解] 由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，得f′(x)＝＋＋a，则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，此即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得＋a＝，故a＝0.
课时分层作业(四) 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列函数不是复合函数的是( )
A. y＝－x3－＋1 B．y＝cos
C．y＝ D．y＝(2x＋3)4
A [A不是复合函数，B、C、D均是复合函数，其中B是由y＝cos u，u＝x＋复合而成；C是由y＝，u＝ln x复合而成；D是由y＝u4，u＝2x＋3复合而成．]
2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5) D.
B [∵y＝xln(2x＋5)，∴y′＝ln(2x＋5)＋.]
3．函数y＝(ex＋e－x)的导数是( )
A.(ex－e－x) B.(ex＋e－x)
C．ex－e－x D．ex＋e－x
A [y′＝(ex＋e－x)′＝(ex－e－x)．]
4．当函数y＝(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0等于( )
A．a B．±a
C．－a D．a2
B [y′＝＝＝，
由x－a2＝0得x0＝±a.]
5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
B [设切点坐标是(x0，x0＋1)，
依题意有
由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.]
二、填空题
6．f(x)＝且f′(1)＝2，则a的值为________．
2 [∵f(x)＝(ax2－1)，
∴f′(x)＝(ax2－1)－(ax2－1)′＝.
又f′(1)＝2，∴＝2，∴a＝2.]
7．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
(e，e) [设P(x0，y0)．∵y＝xln x，
∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x.
∴k＝1＋ln x0.又k＝2，
∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e.
∴y0＝eln e＝e.
∴点P的坐标是(e，e)．]
8．点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是__________．
[与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，
∴x0＝，y0＝.即P到直线y＝x－1的距离最短．∴d＝＝.]
三、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝ln(ex＋x2)；
(2)y＝102x＋3；
(3)y＝sin4x＋cos4x.
[解] (1)令u＝ex＋x2，则y＝ln u.
∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.
(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln 10.
(3)y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2 x·cos2 x＝1－sin2 2x＝1－(1－cos 4x)＝＋cos 4x.
∴y′＝－sin 4x.
10．曲线y＝esin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
[解] ∵y＝esin x，∴y′＝esin xcos x，
∴y′|x＝0＝1.
∴曲线y＝esin x在(0,1)处的切线方程为
y－1＝x，即x－y＋1＝0.
又直线l与x－y＋1＝0平行，故可设为x－y＋m＝0.
由＝得m＝－1或3.
∴直线l的方程为：x－y－1＝0或x－y＋3＝0.
[能力提升练]
1．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A. B.
C. D．1
A [依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.
曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×＝.]
2．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
D [因为y＝，
所以y′＝＝＝.
因为ex>0，所以ex＋≥2，所以y′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．
又因为α∈[0，π)，
所以α∈.]
3．函数y＝ln 在x＝0处的导数为________．
[y＝ln ＝ln ex－ln(1＋ex)＝x－ln(1＋ex)，
则y′＝1－.当x＝0时，y′＝1－＝.]
4．已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．
y＝－2x－1 [设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝ln x－3x，f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1.]
5．(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′；
(2)在曲线y＝上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程．
[解] (1)∵f(x)＝eπxsin πx，
∴f′(x)＝πeπxsinπx＋πeπxcos πx
＝πeπx(sin πx＋cos πx)．
∴f′＝πe
＝πe.
(2)设切点的坐标为P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝0.
又y′＝，
∴y′|x＝x0＝＝0.
解得x0＝0，此时y0＝1.
即该点的坐标为(0,1)，切线方程为y－1＝0.
