课件48张PPT。第一章 导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数减增
快陡峭慢平缓函数与导函数图象间的关系 利用导数求函数的单调区间 已知函数的单调性求参数的范围点击右图进入…Thank you for watching !1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)
3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)
1．通过函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养学生的逻辑推理、直观想象的核心素养．
2．借助利用导数研究函数的单调性问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
1．函数的单调性与其导数正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)＞0
单调递增
f′(x)＜0
单调递减
思考：如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？
[提示] f(x)是常数函数．
2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)
1．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．不确定
A [∵f(x)＝2x－sin x，
∴f′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．]
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
D [∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′(x)＜0，
当x＜0时，f′(x)＜0.]
3．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________．
(0，＋∞) [∵f(x)＝ex－x，
∴f′(x)＝ex－1.
由f′(x)＞0得，ex－1＞0，
即x＞0.
∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]
函数与导函数图象间的关系
【例1】 (1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )
(1)D (2)D [(1)由函数的图象可知：当x＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
(2)从f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数单调递增；在区间内，导数单调递减．即函数f(x)的图象在内越来越陡，在内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合．]
研究函数与导函数图象之间关系的方法
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
1．已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
C [当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，
∴f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，
故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故选C.]
利用导数求函数的单调区间
角度1 不含参数的函数求单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝3x2－2ln x；(2)f(x)＝x2·e－x；
(3)f(x)＝x＋.
[解] (1)函数的定义域为D＝(0，＋∞)．∵f′(x)＝6x－，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－(舍去)，用x1分割定义域D，得下表：
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
↗
∴函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)．∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域D，得下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f′(x)
↘
↗
↘
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)．
(3)函数的定义域为D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，用x1，x2分割定义域D，得下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
－
0
＋
f(x)
↗
↘
↘
↗
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
角度2 含参数的函数的单调区间
【例3】 讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．
思路探究：―→
―→
[解] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－＝.
(1)当a＝0时，f′(x)＝，
由f′(x)＞0，得x＞1，
由f′(x)＜0，得0＜x＜1.
∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
(2)当a＞0时，
f′(x)＝，
∵a＞0，∴－＜0.
由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1.
∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
利用导数求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．
(4)结合定义域写出单调区间．
2．设f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
[解] f(x)的定义域为
(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)＞0，
所以f(x)在(－∞， ＋∞)上单调递增．
若a＞0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a＞0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.
已知函数的单调性求参数的范围
[探究问题]
1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？
[提示] 不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．
2．若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？
[提示] f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．
【例4】 已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．
思路探究：―→―→
[解] 由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
1．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1的单调减区间为(－1,1)，求a的取值范围．
[解] 由f′(x)＝3x2－a，①当a≤0时，f′(x)≥0，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
∴f(x)在上为减函数，
∴f(x)的单调递减区间为，
∴＝1，即a＝3.
2．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上单调递减，求a的范围．
[解] 由题意可知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴，即，∴a≥3.
即a的取值范围是[3，＋∞)．
3．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上不单调，求a的范围．
[解] ∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，
由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0)，
∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，
∴0＜＜1，即0＜a＜3.
故a的取值范围为(0,3)．
1．解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.
2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
1．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为( )
C [∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1,4)上为增函数，
∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；
当1＜x＜4时，f′(x)＞0.故选C.]
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
D [∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2.
∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]
3．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( )
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
B [函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得0＜x≤1.]
4．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0, 1)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．a＝1
C．(－∞，1] D．(0,1)
A [∵f′(x)＝3x2－2ax－1，
且f(x)在(0,1)内单调递减，
∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，
∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.]
5．试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
[解] 函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－＝.
当k≤0时，kx－1＜0，
∴f′(x)＜0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当k＞0时，由f′(x)＜0，即＜0，
解得0＜x＜；
由f′(x)＞0，即＞0，解得x＞.
∴当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；
当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
课时分层作业(五) 函数的单调性与导数
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．在区间(3,5)上f(x)是增函数
C [由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C.]
2．函数y＝x＋xln x的单调递减区间是( )
A．(－∞，e－2) B．(0，e－2)
C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)
B [因为y＝x＋xln x，所以定义域为(0，＋∞)．
令y′＝2＋ln x<0，解得0即函数y＝x＋xln x的单调递减区间是(0，e－2)，故选B.]
3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－)∪[，＋∞)
B．[－，]
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－， )
B [f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0?－≤a≤.]
4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝xe2
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
B [显然y＝sin x在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝xe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe2在(0，＋∞)内为增函数；
对于C，y′＝3x2－1＝3，
故函数在，上为增函数，
在上为减函数；
对于D，y′＝－1(x＞0)．
故函数在(1，＋∞)上为减函数，
在(0,1)上为增函数，故选B.]
5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )
A B C D
D [对于选项A，若曲线C1为y＝f(x)的图象，曲线C2为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f′(x)＜0；y＝f(x)在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f′(x)＞0.因此，选项A可能正确．
同理，选项B、C也可能正确．
对于选项D，若曲线C1为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C2不相符；若曲线C2为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C1不相符．因此，选项D不可能正确．]
二、填空题
6．函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为
__________.
[令f′(x)＝1－2cos x>0，则cos x<，又x∈(0，π)，解得7．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．
(1,2) [f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.]
8．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．
[f′(x)＝，由题意得f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a≤，但当a＝时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a的取值范围是.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
(2)若a＝－1，求f(x)的单调区间．
[解] f′(x)＝(ax＋2a＋1)xex.
(1)若a＝1，则f′(x)＝(x＋3)xex，f(x)＝(x2＋x－1)ex，
所以f′(1)＝4e，f(1)＝e.
所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.
(2)若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)xex.
令f′(x)＝0解x1＝－1，x2＝0.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)＞0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0；
所以f(x)的增区间为(－1,0)，减区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．
10．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f(x)＝6ln x＋h(x)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间(1，m＋)上是单调函数，求实数m的取值范围．
[解] (1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，
其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h′(x)＝2ax＋b，
∴解得
∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8，
∴f(x)＝6ln x＋x2－8x＋2.
(2)∵f′(x)＝＋2x－8
＝(x＞0)．
∴当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
↘
↗
∴f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，
f(x)的单调递减区间为(1,3)．
要使函数f(x)在区间上是单调函数，
则解得＜m≤.
即实数m的取值范围为.
[能力提升练]
1．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2.则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
B [构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，
则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2.
∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数．
∴f(x)>2x＋4?g(x)>0?g(x)>g(－1)，
∴x>－1.]
2．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
C [因为′＝.又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．因此选C.]
3．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．
(0，＋∞) [若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.]
4．若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
[显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝.由f′(x)＞0，得函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)＜0，得函数f(x)单调递减区间为.因为函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以k－1＜＜k＋1，解得－＜k＜，又因为(k－1，k＋1)为定义域内的一个子区间，所以k－1≥0，即k≥1.综上可知，1≤k＜.]
5．(1)已知函数f(x)＝axekx－1，g(x)＝ln x＋kx.当a＝1时，若f(x)在(1，＋∞)上为减函数，g(x)在(0,1)上为增函数，求实数k的值；
(2)已知函数f(x)＝x＋－2ln x，a∈R，讨论函数f(x)的单调区间．
[解] (1)当a＝1时，f(x)＝xekx－1，
∴f′(x)＝(kx＋1)ekx，g′(x)＝＋k.
∵f(x)在(1，＋∞)上为减函数，
则?x＞1，f′(x)≤0?k≤－，
∴k≤－1.
∵g(x)在(0,1)上为增函数，
则?x∈(0,1)，g′(x)≥0?k≥－，
∴k≥－1.
综上所述，k＝－1.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝1－－＝.
①当Δ＝4＋4a≤0，即a≤－1时，
得x2－2x－a≥0，
则f′(x)≥0.
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当Δ＝4＋4a＞0，即a＞－1时，
令f′(x)＝0，得x2－2x－a＝0，
解得x1＝1－，x2＝1＋＞0.
(ⅰ)若－1＜a≤0，则x1＝1－≥0，
∵x∈(0，＋∞)，
∴f(x)在(0,1－)，(1＋，＋∞)上单调递增，
在(1－，1＋)上单调递减．
(ⅱ)若a＞0，则x1＜0，当x∈(0,1＋)时，f′(x)＜0，当x∈(1＋，＋∞)时，f′(x)＞0，
∴函数f(x)在区间(0,1＋)上单调递减，
在区间(1＋，＋∞)上单调递增.
