课件53张PPT。第一章 导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.2 函数的极值与导数0点af(a)0点bf(b)极值点极值极小值极大值求函数的极值点和极值 由极值求参数的值或取值范围 极值问题的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !1.3.2 函数的极值与导数
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解极大值、极小值的概念．(难点)
2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(重点、易混点)
3．会用导数求函数的极大值、极小值．(重点)
1．通过极值点与极值概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．
2．借助函数极值的求法，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养.
1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
思考：导数为0的点一定是极值点吗？
[提示] 不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0, 但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．
2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．
1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
C [设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]
2．函数f(x)＝－的极值点为( )
A．0 B．－1
C．0或1 D．1
D [∵f′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝1.
又当x＞1时f′(x)＞0,0＜x＜1时f′(x)＜0，
∴1是f(x)的极小值点．
又x＜0时f′(x)＜0，故x＝0不是函数的极值点．]
3．若可导函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f′(1)＝________，1是函数f(x)的________值．
0 极大 [由题意可知，当x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，
∴f′(1)＝0,1是函数f(x)的极大值．]
4．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．
2 [由f′(x)＝3x2－6x＝0，
解得x＝0或x＝2.
列表如下：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x＝2时，f(x)取得极小值．]
求函数的极值点和极值
角度1 不含参数的函数求极值
【例1】 求下列函数的极值
(1)y＝x3－3x2－9x＋5；
(2)y＝x3(x－5)2.
[解] (1)∵y′＝3x2－6x－9，
令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；
当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.
(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)
＝5x2(x－3)(x－5)，令y′＝0，
即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,3)
3
(3,5)
5
(5，＋∞)
y′
＋
0
＋
0
－
0
＋
y
↗
无极值
↗
极大值108
↘
极小值0
↗
∴x＝0不是y的极值点；
x＝3是y的极大值点，y极大值＝f(3)＝108；
x＝5是y的极小值点，y极小值＝f(5)＝0.
角度2 含参数的函数求极值
【例2】 已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当a∈R且a≠时，求函数的极值．
思路探究：
―→
[解] f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2.
由a≠知，－2a≠a－2.
以下分两种情况讨论：
若a＞，则－2a＜a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2a)
－2a
(－2a，a－2)
a－2
(a－2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)在(－∞，－2a) ，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－2a，a－2)内是减函数．
∴函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a；
函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
若a＜，则－2a＞a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a－2)
a－2
(a－2，－2a)
－2a
(－2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数．
∴函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2；
函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，
且f(－2a)＝3ae－2a.
求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)求函数的定义域；
(2)求函数的导数f′(x)；
(3)令f′(x)＝0，求出全部的根x0；
(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内；
(5)判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．
1．若函数f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函数f(x)的极值．
[解] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝.
(1)当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值．
(2)当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝a.
当0＜x＜a时，f′(x)＜0；当x＞a时，f′(x)＞0.
∴f(x)在x＝a处取得极小值，且f(a)＝a－ln a，无极大值．综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.
由极值求参数的值或取值范围
【例3】 (1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________.
(2)已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．
思路探究： (1)由f′(1)＝0及f(1)＝10求a，b，注意检验极值的存在条件；
(2)f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，等价于f′(x)＝0在(1，＋∞)内有两个不等实根．
(1)4，－11 [f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
依题意得即
解得或
但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以，不符合题意，应舍去．
而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.]
(2)[解] f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．
所以
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．
已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
?1?根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
?2?因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
2．若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，求函数f(x)的极大值．
[解] ∵f′(x)＝(x－m)(3x－m)，且f′(2)＝0，
∴(m－2)(m－6)＝0，即m＝2或m＝6.
(1)当m＝2时，f′(x)＝(x－2)(3x－2)，
由f′(x)＞0得x＜或x＞2；
由f′(x)＜0得＜x＜2.
∴x＝2是f(x)的极小值点，不合题意，故m＝2舍去．
(2)当m＝6时，f′(x)＝(x－6)(3x－6)，
由f′(x)＞0得x＜2或x＞6；
由f′(x)＜0得2＜x＜6.
∴x＝2是f(x)的极大值，∴f(2)＝2×(2－6)2＝32.
即函数f(x)的极大值为32.
极值问题的综合应用
[探究问题]
1．如何画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象．
[提示] f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)．
由f′(x)＞0得x＜－2或x＞3，
∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)．
由f′(x)＜0得－2＜x＜3，
∴函数f(x)的递减区间是(－2,3)．
由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16.
∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一)．
2．当a变化时，方程2x3－3x2－36x ＋16＝a有几解？
[提示] 方程2x3－3x2－36x＋16＝a解的个数问题可转化为函数y＝a与y＝2x3－3x2－36x＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：
(1)当a＞60或a＜－65时， 方程2x3－3x2－36x＋16＝a有且只有一解；
(2)当a＝60或a＝－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有两解；
(3)当－65＜a＜60时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a三解．
【例4】 已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．
思路探究：求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．
[解] 令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1
当x>1时，f′(x)>0.
所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；
当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.
因为方程f(x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图．
由已知应有
解得－21．(改变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？
[解] 由例题，知函数的极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a，
若f(x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0，或－2＋a＝0，
所以a＝－2或a＝2.
2．(改变条件)本例中，若方程f(x)＝0有且只有一个实根，求实数a的范围．
[解] 由例题可知，要使方程f(x)＝0有且只有一个实根，
只需2＋a＜0或－2＋a＞0，
即a＜－2或a＞2.
用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基本上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质，可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．
1．函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )
A．在(1,2)上函数f(x)为增函数
B．在(3,4)上函数f(x)为减函数
C．在(1,3)上函数f(x)有极大值
D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
D [由图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，
当2＜x＜4时，f′(x)＜0，
当4＜x＜5时，f′(x)＞0，
∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]
2．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
B [∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，
∴f′(2)＝0,24＋4a＋36＝0，a＝－15，∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.]
3．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
D [令y′＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，y′＜0；当x＞－1时，y′＞0.故当x＝－1时，y取得极小值．]
4．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f(x)既有极大值又有极小值，
∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.]
5.求下列函数的极值
(1)f(x)＝x2－2ln x；
(2)y＝.
[解] (1)∵f′(x)＝2x－，
且函数定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1.
(2)∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且y′＝，令y′＝0，得x1＝－1，x2＝2，
∴当x变化时，y′，y的变化情况如表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
(1,2)
2
(2，＋∞)
y′
＋
0
－
＋
0
＋
y
单调递增
－
单调递减
单调递增
3
单调递增
故当x＝－1时，y有极大值－.
课时分层作业(六) 函数的极值与导数
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B [依题意，记函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f′(x)＜0.因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值，选B.]
2．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )
A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
C [由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.
当x＜－1或x＞3时，y′＞0；由－1＜x＜3时，y′＜0.
∴当x＝－1时，函数有极大值5；3?(－2,2)，故无极小值．]
3．已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )
A．－4 B．－2
C．4 D．2
D [∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；
当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减，∴f(x)的极小值点为a＝2.]
4．当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
B [∵三次函数过原点，故可设为
y＝x3＋bx2＋cx，
∴y′＝3x2＋2bx＋c.
又x＝1,3是y′＝0的两个根，
∴，即
∴y＝x3－6x2＋9x，
又y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)
∴当x＝1时，f(x)极大值＝4 ，
当x＝3时，f(x)极小值＝0，满足条件，故选B.]
5．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有且只有一个极小值，则( )
A．0C．b>0 D．b<
A [f′(x)＝3x2－3b，要使f(x)在(0,1)内有极小值，则即解得0二、填空题
6．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＋b＝________.
－2 [∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴即
解得a＝2，b＝－4，
∴a＋b＝2－4＝－2.]
7．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
(－∞，－1) [∵y＝ex＋ax，
∴y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，
即x＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.]
8．若直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．
(－2,2) [令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，则极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2.如图，观察得－2＜a＜2时恰有三个不同的公共点．]
三、解答题
9．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．
[解] f′(x)＝3ax2 ＋2bx＋c，
(1)法一：∵x＝±1是函数的极值点，
∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．
由根与系数的关系知
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1， ③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
法二：由f′(1)＝f′(－1)＝0，得3a＋2b＋c＝0， ①
3a－2b＋c＝0， ②
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1， ③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x＜－1或x＞1时f′(x)＞0，
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
在(－1,1)上是减函数．
∴当x＝－1时，函数取得极大值，x＝－1为极大值点；当x＝1时，函数取得极小值，x＝1为极小值点．
10．设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
[解] (1)因为f(x)＝aln x＋＋x＋1，
故f′(x)＝－＋.
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，
即f′(1)＝0，
从而a－＋＝0，
解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x＞0)，
f′(x)＝－－＋
＝＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－因x2＝－不在定义域内，舍去．
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值，且f(1)＝3.
[能力提升练]
1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( )
A．－ B．－2
C．－2或－ D．不存在
A [∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b且f(x)在x＝1处取得极大值10，
∴f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10，
∴a2＋8a＋12＝0，∴a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.
当a＝－2，b＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)．
当＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，
∴f(x)在x＝1处取得极小值，与题意不符．
当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)；
当x＜1时，f′(x)＞0，当1＜x＜3时，f′(x)＜0，
∴f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意；
∴＝－＝－.]
2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
D [由图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]
3．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
y＝－ [由题知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y＝－.]
4．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．
[1,5) [∵f′(x)＝3x2＋2x－a，
函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个极值点，
即f′(x)＝0在(－1,1)内恰有一个根．
又函数f′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－.
∴应满足∴
∴1≤a<5.]
5．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
[解] (1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)的极大值是f＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)＞0，
x取足够小的负数时，有f(x)＜0，
所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值＝f＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，
即＋a＜0或a－1＞0，∴a＜－或a＞1，
∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
