课件45张PPT。第一章 导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.3 函数的最大(小)值与导数连续不断 最小值极值各极值端点最大值求函数的最值 已知函数的最值求参数 与最值有关的综合问题 点击右图进入…Thank you for watching !1.3.3 函数的最大(小)值与导数
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数的最值的概念．(难点)
2.了解函数的最值与极值的区别与联系．(易混点)
3.会用导数求在给定区间上函数的最值．(重点)
1.通过函数最大(小)值存在性的学习，体现直观想象核心素养.
2.借助函数最值的求解问题，提升学生的数学运算的核心素养.
1．函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．
思考：函数的极值与最值的区别是什么？
[提示] 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．
1．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值 B．有极值
C．有最大值 D．有最小值
A [f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．]
2．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为( )
A．0 B. C. D.
C [f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)＜0，即函数f(x)在区间[2,4]上是单调递减函数，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.]
3．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.
1 [f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．
令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2，
当x∈(－2,0)时，f′(x)＜0，
当x∈(0,2)时，f′(x)＞0，
∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．
∴f(0)＝m＝1.]
求函数的最值
角度1 不含参数的函数最值
【例1】 求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2,2]；
(2)f(x)＝sin 2x－x，x∈.
[解] (1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，
令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：
x
－2
(－2，－1)
－1
(－1,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1
↗
11
↘
－1
↗
11
从表中可以看出，当x＝－2时或x＝1时，函数f(x)取得最小值－1.
当x＝－1或x＝2时，函数f(x)取得最大值11.
(2)f′(x)＝2cos 2x－1，令f′(x)＝0，得cos 2x＝，
又∵x∈，∴2x∈[－π，π]．
∴2x＝±.∴x＝±.
∴函数f(x)在上的两个极值分别为
f＝－，f＝－＋.
又f＝－，f＝.
比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－.
角度2 含参数的函数最值
【例2】 a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
[解] f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．
若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0.若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.
∵x∈[0,1]，则只考虑x＝的情况．
(1)若0＜＜1，即0＜a＜1，
则当x＝时，f(x)有最大值f()＝2a.(如下表所示)
x
0
(0，)
(，1)
1
f′(x)
＋
0
－
f(x)
0
↗
2a
↘
3a－1
(2)若≥1，即a≥1时，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.
综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；
当0＜a＜1，x＝时，f(x)有最大值2a；
当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
1．求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
2．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．
1．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
[解] f′(x)＝3x2－2ax.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
①当≤0，即a≤0时，
f(x)在[0,2]上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
②当≥2，即a≥3时，
f(x)在[0,2]上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
③当0＜＜2，即0＜a＜3时，f(x)在上单调递减，
在上单调递增，
从而f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
已知函数的最值求参数
【例3】 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
[解] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)当a>0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
↗
b
↘
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3
∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，
f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
已知函数在某区间上的最值求参数的值?范围?是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程?不等式?解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.
2．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
－1 [f′(x)＝＝，当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－0，f(x)单调递增，当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．∴f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1.]
与最值有关的综合问题
[探究问题]
1．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若f(x)≥c或f(x)≤c恒成立，则c满足的条件是什么？
[提示] c≤f(x)min或c≥f(x)max.
2．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若存在x0∈[a，b]，使得f(x)≥c或f(x)≤c成立，则c满足的条件是什么？
[提示] c≤f(x)max或c≥f(x)min.
【例4】 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
思路探究：(1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；
(2)构造函数g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围．
[解] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
↗
极大值1－m
↘
∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m.
h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．
1．(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？
[解] 令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
0
(0,1)
1
(1,2)
2
g′(t)
＋
0
－
g(t)
－1－m
↗
极大值1－m
↘
－3－m
∴g(t)在[0,2]上有最小值g(2)＝－3－m，
存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立，
等价于g(t)的最小值g(2)<0.
∴－3－m<0，∴m>－3，
所以实数m的取值范围为(－3，＋∞)．
2．(变条件)若将本例(2)的条件改为“对任意的t1，t2∈(0,2)，都有h(t1)＜－2t2＋m”，求实数m的取值范围．
[解] ∵h(t)＝－t3＋t－1，t∈(0,2)
∴h′(t)＝－3t2＋1
由h′(t)＝0得t＝或t＝－(舍)
又当0＜t＜时，h′(t)＞0，
当＜t＜2时，h′(t)＜0.
∴当t＝时，h(t)max＝－＋－1＝.
令φ(t)＝－2t＋m，t∈(0,2)，
∴φ(t)min＞m－4.
由题意可知
≤m－4，
即m≥＋3＝.
∴实数m的取值范围为.
分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．
2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．
1．下列结论正确的是( )
A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x＝a和x＝b时取得
D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
D [函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．]
2．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A．π－1 B.－1
C．π D．π＋1
C [因为y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.]
3．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
D [f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.]
4．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意x∈[－1,2]，都有f(x)＞m，则实数m的取值范围是________．
[f′(x)＝3x2－x－2＝0，x＝1，－.
f(－1)＝5，f＝5，f(1)＝3，f(2)＝7，
∴m＜3.]
5．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值，并求f(x)在[－2,2]上的最大值．
[解] f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－2
(－2,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
f(x)
－40＋a
↗
极大值a
↘
－8＋a
所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.
所以当x＝0时，f(x)取到最大值3.
课时分层作业(七) 函数的最大(小)值与导数
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为( )
A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
A [令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)，
又f′(x)＜g′(x)，故F′(x)＜0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max≤F(a)＝f(a)－g(a)．]
2．函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e
C．e2 D.
A [令y′＝＝＝0(x＞0)，
解得x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0.
y极大值＝f(e)＝，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，
所以ymax＝.]
3．函数f(x)＝x2·ex＋1，x∈[－2,1]的最大值为( )
A．4e－1 B．1
C．e2 D．3e2
C [∵f′(x)＝(x2＋2x)ex＋1＝x(x＋2)ex＋1，∴f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.
又当x∈[－2,1]时，ex＋1＞0，
∴当－2＜x＜0时，f′(x)＜0；
当0＜x＜1时f′(x)＞0.
∴f(x)在(－2,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增．
又f(－2)＝4e－1，f(1)＝e2，
∴f(x)的最大值为e2.]
4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为( )
A．16 B．12
C．32 D．6
C [∵f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，由f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝24，f(2)＝－8，
可知M－m＝24－(－8)＝32.]
5．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．0≤a<1 B．0C．－1B [∵f′(x)＝3x2－3a，则f′(x)＝0有解，可得a＝x2.
又∵x∈(0,1)，∴0二、填空题
6．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．
－71 [f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
则f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.]
7．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
(－∞，2ln 2－2] [函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln 2－2即可．]
8．已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是__________．
[e，＋∞) [由f(x)＝＋2ln x得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0时，f′(x)>0.故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln a＋1.要使f(x)≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e.]
三、解答题
9．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解] 易知f(x)的定义域为.
(1)f′(x)＝＋2x＝
＝.
当－0；
当－1当x>－时，f′(x)>0，
从而f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减．
(2)由(1)知f(x)在区间上的最小值为f＝ln 2＋.
又因为f－f＝ln＋－ln－
＝ln＋＝<0，
所以f(x)在区间上的最大值为
f＝＋ln.
10．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)≥2 019对于?x∈[－2,2]恒成立，求a的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.
由f′(x)<0，得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)由f′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1.
因为f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，f(－1)＝－5＋a，
故当－2≤x≤2时，f(x)min＝－5＋a.
要使f(x)≥2 019对于?x∈[－2,2]恒成立，只需f(x)min＝－5＋a≥2 019，解得a≥2 024.
[能力提升练]
1．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( )
A．－13 B．－15
C．10 D．15
A [对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，
由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，
易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，
∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，
且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，
f′(n)min＝f′(－1)＝－9，
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.]
2．若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，) B．(－1,4)
C．(－1,2] D．(－1,2)
C [由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
－2
↗
2
↘
由此得a2－12＜－1＜a，
解得－1＜a＜.
又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2.
综上，－1＜a≤2.]
3．已知a≤4x3＋4x2＋1对任意x∈[－1,1]都成立，则实数a的取值范围是________．
(－∞，1] [设f(x)＝4x3＋4x2＋1，则f′(x)＝12x2＋8x＝4x(3x＋2)，
由f′(x)＝0得x＝－或x＝0.
又f(－1)＝1，f＝，f(0)＝1，f(1)＝9，
故f(x)在[－1,1]上的最小值为1.
故a≤1.]
4．已知函数f(x)＝x3－x2＋6x＋a，若?x0∈[－1,4]，使f(x0)＝2a成立，则实数a的取值范围是________．
[∵f(x0)＝2a，即x－x＋6x0＋a＝2a，
可化为x－x＋6x0＝a，
设g(x)＝x3－x2＋6x，则g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)＝0，得x＝1或x＝2.
∴g(1)＝，g(2)＝2，g(－1)＝－，g(4)＝16.
由题意，g(x)min≤a≤g(x)max，∴－≤a≤16.]
5．已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
[解] (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
令x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
－ek－1
↗
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，
函数f(x)在[0,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，
由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，
函数f(x)在[0,1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
