课件52张PPT。第一章 导数及其应用1.4 生活中的优化问题举例效率最高利润最大用料最省函数 导数 面积、体积的最值问题 用料最省、成本(费用)最低问题利润最大、效率最高问题 点击右图进入…Thank you for watching !1.4 生活中的优化问题举例
学 习 目 标
核 心 素 养
1.体会导数在解决实际问题中的作用.
2.能利用导数解决简单的实际问题．(重点、难点)
1.通过利用导数解决生活中的优化问题的学习，培养学生数学建模的核心素养.
2.借助实际问题的求解，提升学生逻辑推理及数学运算的核心素养.
1．优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．用导数解决优化问题的基本思路
思考：解决生活中优化问题应注意什么？
[提示] (1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．
(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等．
1．已知某生产厂家的年利润y(单位： 万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．7万件 B．9万件
C．11万件 D．13万件
B [设y＝f(x)，
即f(x)＝－x3＋81x－234.
故f′(x)＝－x2＋81.令f′(x)＝0，即－x2＋81＝0，
解得x＝9或x＝－9(舍去)．
当0＜x＜9时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增；
当x＞9时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减．
因此，当x＝9时，y＝f(x)取最大值．
故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]
2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B．
C．－1 D．－8
C [由题意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∵0≤x≤5，
∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，
即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.]
3．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6 m B．8 m
C．4 m D．2 m
C [设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，因此h＝＝4(m)．]
4．某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为______元时，利润最大．
115 [利润为S(x)＝(x－30)(200－x)
＝－x2＋230x－6 000，S′(x)＝－2x＋230，
由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．]
面积、体积的最值问题
【例1】 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[解] 设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
1．立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．
2．解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．
1．周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm3.
π [设矩形的长为x cm，
则宽为(10－x)cm(0＜x＜10)．
由题意可知圆柱体积为
V＝πx2(10－x)＝10πx2－πx3.
∴V′＝20πx－3πx2，
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝，
且当x∈时，V′(x)＞0，
当x∈时，V′(x)＜0，
∴当x＝时，V(x)max＝π cm3.]
用料最省、成本(费用)最低问题
【例2】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．
思路探究：(1)由C(0)＝8可求k的值从而求出f(x)的表达式．
(2)求函数式f(x)的最小值．
[解] (1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5或x＝－(舍去)．
当0当50，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
2．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v，
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
[解] (1)Q＝P·
＝·
＝·400
＝－v2＋6 000(0(2)Q′＝－5v，令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，
当00，
∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝(元).
利润最大、效率最高问题
[探究问题]
1．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？
[提示] 根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．
2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？
[提示] (1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
【例3】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
思路探究：(1)根据x＝5时，y＝11求a的值．
(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．
[解] (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)·(x－6)，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值42
↘
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
(变条件)本例条件换为：
该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1＜x≤12)满足：当1＜x≤4时，y＝a(x－3)2＋，(a，b为常数)；当4＜x≤12时，y＝－100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．
(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大，(≈2.65)
[解] (1)由题意：x＝2时y＝800，∴a＋b＝800，
又∵x＝3时y＝150，∴b＝300，可得a＝500.
∴y＝，
(2)由题意：
f(x)＝y(x－1)＝
，
当1＜x≤4时，f(x)＝500(x－3)2(x－1)＋300＝500x3－3 500x2＋7 500x－4 200，
f′(x)＝500(3x－5)(x－3)，
∴由f′(x)＞0，得＜x＜3，
∴f(x)在，(3,4)上递增，在上递减，
∵f＝＋450＜f(4)＝1 800，
∴当x＝4时有最大值，f(4)＝1 800
当4＜x≤12时，f(x)＝(x－1)＝2 900－100x＋≤2 900－400≈1 840，
当且仅当100x＝，即x＝2≈5.3时取等号，
∴x＝5.3时有最大值1 840，∵1 800＜1 840，
∴当x＝5.3时f(x)有最大值1 840，即当销售价格为5.3元的值，使店铺所获利润最大．
利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．
解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．
1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．
1．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0A．30 B．40
C．50 D．60
B [V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，
因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)>0，
此时V(x)单调递增；
当402．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
D [设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．]
3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________．
3 [设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r＞0)，则水桶的高为，所以S＝πr2＋2πr×＝πr2＋(r＞0)，求导数，得S′＝2πr－，令S′＝0，解得r＝3.
当0＜r＜3时，S′＜0；当r＞3时，S′＞0，所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省．]
4．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________．
0.032 [存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，x∈(0,0.048)．所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0＜x＜0.048)，由于y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0得x＝0.032或x＝0(舍去)，又当0＜x＜0.032时，y′＞0；当0.032＜x＜0.048时，y′＜0，所以当x＝0.032时，y取得最大值．]
5．用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
[解] 设长方体的宽为x m，则长为2x m，
高为h＝＝(4.5－3x)m(0＜x＜)．
故长方体的体积为
V(x)＝2x2(4.5－3x)＝(9x2－6x3)m3.
从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．
令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1，
因此x＝1.
当0＜x＜1时，V′(x)＞0；
当1＜x＜时，V′(x)＜0，
故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值．
从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m)3，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
故当长方体的长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.
课时分层作业(八) 生活中的优化问题举例
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )
A．32,16 B．30,15 C．40,20 D．36,18
A [要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最短．]
2．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
B [设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当40.所以当x＝4时，y最小．]
3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
D [设圆锥的高为x cm，则底面半径为 cm.其体积为V＝πx(202－x2)(0＜x＜20)，V′＝π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0.所以当x＝时，V取最大值．]
4．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为( )
A.和R B.R和R
C.R和R D．以上都不对
B [设矩形与半圆直径垂直的一边的长为x，
则另一边长为2，
则l＝2x＋4(0＜x＜R)，l′＝2－.
令l′＝0，解得x1＝R，x2＝－R(舍去)．
当0＜x＜R时，l′＞0；
当R＜x＜R时，l′＜0.
所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的相邻两边长分别为R， R．]
5．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是( )
A．100 B．150
C．200 D．300
D [由题意，得总成本函数为
C(x)＝20 000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝
所以P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．]
二、填空题
6．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台．
6 [设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．]
7．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．
40 [由题设知y′＝x2－39x－40，
令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，
故函数y＝x3－x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减．∴当x＝40时，y取得最小值．
由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.]
8．用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为________时容器的容积最大．
1.2 m [设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，高为[14.8－4x－4(x＋0.5)]＝(3.2－2x)m.由3.2－2x＞0及x＞0，得0＜x＜1.6.设容器容积为y，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.由y′＝0及0＜x＜1.6，解得x＝1.在定义域(0,1.6)内，只有x＝1使y′＝0.由题意，若x过小(接近于0)或过大(接近于1.6)，y的值都很小(接近于0)．因此当x＝1时，y取最大值，且ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高为1.2 m．]
三、解答题
9．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？
[解] 设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知p＝kv3，
因为v＝10，p＝6，所以k＝＝0.006.
于是有p＝0.006v3.
又设船的速度为每小时v千米时，行驶1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行驶1千米所用时间为小时，所以行驶1千米的总费用为q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.
q′＝0.012v－＝(v3－8 000)，
令q′＝0，解得v＝20.
当v＜20时，q′＜0；
当v＞20时，q′＞0，
所以当v＝20时，q取得最小值．
即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需的费用总和最少．
10．某商店经销一种商品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数，2≤a≤5)的税收．设每件产品的售价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例．已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．
(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式；
(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．
[解] (1)设日销售量为，则＝10，
∴k＝10e40，则日售量为件．
则日利润L(x)＝(x－30－a)＝10e40；
答：该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式为L(x)＝10e40.
(2)L′(x)＝10e40.
①当2≤a≤4时，33≤a＋31≤35，
当35＜x＜41时，L′(x)＜0.
∴当x＝35时，L(x)取最大值为10(5－a)e5；
②当4＜a≤5时，35≤a＋31≤36，
令L′(x)＝0，得x＝a＋31，易知当x＝a＋31时，L(x)取最大值为10e9－a.
综合上得L(x)max＝.
答：当2≤a≤4时，当每件产品的日售价35元时，为L(x)取最大值为10(5－a)e5；当4＜a≤5时，每件产品的日售价为a＋31元时，该商品的日利润 L(x)最大，最大值为10e9－a.
[能力提升练]
1．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )
A.π B.π
C.π D.π
A [设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3.
则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r＞0，
∴r＝是其唯一的极值点．
∴当r＝时，V取得最大值，最大值为π.]
2．用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)，当容器的体积最大时，该容器的高为( )
A．8 cm B．9 cm
C．10 cm D．12 cm
C [设容器的高为x cm，容器的体积为V(x)cm3，
则V(x)＝(90－2x)(48－2x)x
＝4x3－276x2＋4 320x(0因为V′(x)＝12x2－552x＋4 320，
由12x2－552x＋4 320＝0，
得x＝10或x＝36(舍)，
因为当00，当10V′(x)<0，
所以当x＝10时，V(x)在区间(0,24)内有唯一极大值，
所以容器高x＝10 cm时，容器体积V(x)最大．]
3．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30 n mile/h，当速度为10 n mile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲乙两地相距800 n mile，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________．
20 n mile/h [由题意设燃料费y与航速v间满足y＝av3(0≤v≤30)，
又∵25＝a·103，∴a＝.
设从甲地到乙地海轮的航速为v，费用为y，
则y＝av3×＋×400＝20v2＋.
由y′＝40v－＝0，得v＝20<30.
当00，
∴当v＝20时，y最小．]
4．如图所示，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是__________．
[设CD＝x，则点C的坐标为，
点B的坐标为
，
∴矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·＝－＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
故当x＝时，f(x)取最大值.]
5．如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？
[解] 设C点距D点x km，则AC＝50－x(km)，
所以BC＝＝(km)．
又设总的水管费用为y元，
依题意，得y＝3a(50－x)＋5a(0y′＝－3a＋.
令y′＝0，解得x＝30.
在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．
故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．
