1.5 定积分的概念
1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 汽车行驶的路程
1.5.3 定积分的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解定积分的概念．(难点)
2.理解定积分的几何意义．(重点、易错点)
3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想．(难点)
4.能用定积分的定义求简单的定积分．(重点)
1.通过曲边梯形面积和汽车行驶路程及定积分概念的学习，培养学生的数学抽象及数学运算的核心素养.
2.借助定积分的几何意义及性质的学习，培养学生的直观想象及逻辑推理的核心素养.
1．曲边梯形的面积和汽车行驶的路程
(1)曲边梯形的面积
①曲线梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．
②求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．
图① 图②
③求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和，取极限．
(2)求变速直线运动的(位移)路程
如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
2．定积分的概念
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)作和式f(ξi)Δx＝ f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝.其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
思考：f(x)dx是一个常数还是一个变量？f(x)dx与积分变量有关系吗？
[提示] 由定义可得定积分f(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即f(x)dx＝f(t)dt＝f(u)du.
3．定积分的几何意义与性质
(1)定积分的几何意义
由直线x＝a，x＝b(a＜b)，x轴及一条曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积设为S，则有：
① ② ③
①在区间[a，b]上，若f(x)≥0，则S＝f(x)dx，如图①所示，即f(x)dx＝S.
②在区间[a，b]上，若f(x)≤0，则S＝－f(x)dx，如图②所示，即f(x)dx＝－S.
③若在区间[a，c]上，f(x)≥0，在区间[c，b]上，f(x)≤0，则S＝f(x)dx－f(x)dx，如图③所示，即(SA，SB表示所在区域的面积)．
(2)定积分的性质
①kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
②[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．
1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值( )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均正确
C [作近似计算时，Δx＝xi＋1－xi很小，误差可忽略，所以f(x)可以是[xi，xi＋1]上任一值f(ξi)．]
2．如图所示，图中阴影部分的面积用定积分表示为( )
A.2xdx
B.(2x－1)dx
C.(2x＋1)dx
D.(1－2x)dx
B [根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为2xdx－1dx＝(2x－1)dx.]
3．已知x2dx＝，x2dx＝，1dx＝2，则(x2＋1)dx＝________.
[∵x2dx＝，x2dx＝，1dx＝2，
∴(x2＋1)dx＝x2dx＋x2dx＋1dx
＝＋＋2＝＋2＝.]
求曲边梯形的面积
【例1】 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．
[解] (1)分割
将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点，，…，把区间[0,1]等分成n个小区间：
，，…，，…，，
简写作(i＝1,2，…，n)．
每个小区间的长度为Δx＝－＝.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.
(2)近似代替
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用f(ξi)的相反数－f(ξi)＝－为其一边长，以小区间长度Δx＝为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为
ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即
S＝Si≈－(ξi)Δx
＝·
＝－[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝－·n(n－1)(2n－1)＋·
＝－＝－.
(4)取极限
当分割无限变细，即Δx趋向于0时，n趋向于∞，
此时－趋向于S.从而有
S＝ ＝.
所以由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积为.
求曲边梯形的面积
(1)思想：以直代曲．
(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限．
(3)关键：近似代替．
(4)结果：分割越细，面积越精确．
(5)求和时可用到一些常见的求和公式，如
1＋2＋3＋…＋n＝，
12＋22＋32＋…＋n2＝，
13＋23＋33＋…＋n3＝.
1．求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．
[解] ∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．由
得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．
(1)分割
将区间[0,2]n等分，
则Δx＝，
取ξi＝.
(2)近似代替求和
Sn＝ 2·
＝[12＋22＋32＋…＋(n－1)2]
＝.
(3)取极限
S＝Sn＝ ＝.
∴所求平面图形的面积为
S阴影＝2×4－＝.
∴2S阴影＝，即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形面积为.
求变速直线运动的路程
【例2】 已知汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2t(单位：km/h)，求它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少？
[解] 将时间区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为，
在第i个时间段的路程近似为Δsi＝vΔt＝·，i＝1,2，…，n.
所以sn＝Δsi＝ ·
＝－[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]
＝－＋·
＝－＋＋3＋，
s＝sn＝
＝，所以这段时间行驶的路程为 km.
求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.
2．一物体自200 m高空自由落下，求它在开始下落后的第3秒至第6秒之间的距离．(g＝9.8 m/s2)
[解] 自由落体的下落速度为v(t)＝gt.
将[3,6]等分成n个小区间，每个区间的长度为.
在第i个小区间(i＝1,2，…，n)上，以左端点函数值作为该区间的速度．
所以sn＝v＝ ·＝·＝9g＋·＝9g＋g·.
所以s＝sn＝ ＝9g＋g＝×9.8＝132.3(m)．
故该物体在下落后第3 s至第6 s之间的距离是132.3 m.
利用定积分的性质及几何意义求定积分
[探究问题]
1．在定积分的几何意义中f(x)≥0，如果f(x)＜0，f(x)dx表示什么？
[提示] 如果在区间[a，b]上，函数f(x)＜0，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图所示)，
由于Δxi＞0，f(ξi)＜0，
故f(ξi)·Δxi＜0，从而定积分f(x)dx＜0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，
即f(x)dx＝－S或S＝－f(x)dx.
2.dx的几何意义是什么？
[提示] 是由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2为半径的圆的面积即dx＝π.
3．若f(x)为[－a，a]上的偶函数，则f(x)dx与f(x)dx存在什么关系？若f(x)为[－a，a]上的奇函数，则f(x)dx等于多少？
[提示] 若f(x)为偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx；若f(x)为奇函数，则－af(x)dx＝0.
【例3】 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值．
(1)2dx；
(2)xdx；
(3)dx.
[解] (1)2dx表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以2dx＝2.
① ② ③
(2)xdx表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为，所以xdx＝.
(3) dx表示的是图③中阴影部分所示的半径为1的半圆的面积，其值为，所以dx＝.
1．(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求dx.
[解] dx表示的是图④中阴影部分所示半径为1的圆的的面积，其值为，
∴dx＝.
2．(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求
dx.
[解] dx表示的是图⑤中阴影部分所示半径为1的圆的面积，其值为，
∴dx＝.
3．(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求
(x＋)dx.
[解] 由定积分的性质得，
(x＋)dx＝xdx＋dx.
∵y＝x是奇函数，∴xdx＝0.
由例3(3)知dx＝.
∴ (x＋)dx＝.
1．求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤
(1)分割：n等分区间[a，b]；
(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
(3)求和：f(ξi)·；
(4)取极限：s＝f(ξi)·.
“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．
2．定积分f(x)dx是一个和式 f(ξi)的极限，是一个常数．
3．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．
4．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．
1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间中每个小区间的长度为( )
A. B.
C. D.
B [区间长度为2，n等分后每个小区间的长度都是，故选B.]
2．定积分f(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关
A [由定积分的定义可知A正确．]
3．由y＝sin x，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．
sin xdx [∵0＜x＜，
∴sin x＞0.
∴y＝sin x，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为sin xdx.]
4．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__________．
55 [∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.
∴物体运动的路程近似值s＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.]
5．计算：(2－5sin x)dx.
[解] 由定积分的几何意义得，
2dx＝×2＝2π.
由定积分的几何意义得，sin xdx＝0.
所以(2－5sin x)dx
＝2dx－5sin xdx＝2π.
课件56张PPT。第一章 导数及其应用1.5 定积分的概念
1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 汽车行驶的路程
1.5.3 定积分的概念y＝f(x) 近似值小曲边梯形小曲边梯形矩形小曲边梯形近似值求和取极限分割近似代替求和取极限分割近似代替求和定积分 被积式积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量求曲边梯形的面积 求变速直线运动的路程 利用定积分的性质及几何意义求定积分点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(九) 定积分的概念
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列结论中成立的个数是( )
①x3dx＝ ·；②x3dx＝ ·；
③x3dx＝ ·.
A．0 B．1
C．2 D．3
C [由定积分的概念可知②③正确，①错误，故选C.]
2．关于定积分a＝(－2)dx的叙述正确的是( )
A．被积函数为y＝2，a＝6
B．被积函数为y＝－2，a＝6
C．被积函数为y＝－2，a＝－6
D．被积函数为y＝2，a＝－6
C [由定积分的概念可知，被积函数为y＝－2，由定积分的几何意义可知a＝－6.故选C.]
3．变速直线运动的物体的速度为v(t)≥0，初始t＝0时所在位置为s0，则当t1秒末它所在的位置为( )
A．v(t)dt B．s0＋v(t)dt
C．v(t)dt－s0 D．s0－v(t)dt
B [由位移是速度的定积分，同时不可忽视t＝0时物体所在的位置，故当t1秒末它所在的位置为s0＋v(t)dt.]
4．若f(x)dx＝1，g(x)dx＝－3，则[2f(x)＋g(x)]dx＝( )
A．2 B．－3
C．－1 D．4
C [[2f(x)＋g(x)]dx＝2f(x)dx＋g(x)dx＝2×1－3＝－1.]
5．若f(x)为偶函数，且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于( )
A．0 B．4
C．8 D．16
D [∵被积函数f(x)为偶函数，∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等．]
二、填空题
6．若[f(x)＋g(x)]dx＝3，[f(x)－g(x)]dx＝1，则
[2g(x)]dx＝________.
2 [[2g(x)]dx＝[(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]dx＝[f(x)＋g(x)]dx－[f(x)－g(x)]dx＝3－1＝2.]
7．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．
dx [如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx－dx
＝dx.]
8．物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)＝2t(t的单位：h，v的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为__________km.
66 [以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得过剩近似值为s＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．]
三、解答题
9．已知xdx＝，x2dx＝，求下列定积分的值．
(1)(2x＋x2)dx；(2)(2x2－x＋1)dx.
[解] (1)(2x＋x2)dx＝2xdx＋x2dx
＝2×＋＝e2＋.
(2)(2x2－x＋1)dx＝2x2dx－xdx＋1dx，
因为已知xdx＝，x2dx＝，
又由定积分的几何意义知：1dx等于直线x＝0，x＝e，y＝0，y＝1所围成的图形的面积，
所以1dx＝1×e＝e，
故(2x2－x＋1)dx＝2×－＋e＝e3－e2＋e.
10．利用定积分的几何意义求下列定积分．
(1)dx；(2)(2x＋1)dx；
(3)(x3＋3x)dx.
[解] (1)曲线y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图①所示．
其面积为S＝·π·32＝π.
由定积分的几何意义知dx＝π.
(2)曲线f(x)＝2x＋1为一条直线.(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3围成的直角梯形OABC的面积，如图②.
其面积为S＝(1＋7)×3＝12.
根据定积分的几何意义知
(2x＋1)dx＝12.
(3)∵y＝x3＋3x在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，
∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知(x3＋3x)dx＝0.
[能力提升练]
1．已知f(x)＝x3－x＋sin x，则f(x)dx的值为( )
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．不确定
A [由题意知f(x)为奇函数，由奇函数的性质有
f(x)dx＝－f(x)dx，而f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝0.]
2．与定积分|sin x|dx相等的是( )
C [当x∈(0，π]时，sin x≥0；
当x∈时，sin x＜0.
∴由定积分的性质可得
3．定积分dx的值为________．
[因为y＝，
所以(x－1)2＋y2＝1，它表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．定积分dx就是该圆的面积的四分之一，所以定积分dx＝.]
4．汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速直线运动时，第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程是________m.
6.5 [由题意知，所求路程为直线x＝1，x＝2，y＝0与y＝3x＋2所围成的直角梯形的面积，故s＝×(5＋8)×1＝6.5(m)．]
5．如图所示，抛物线y＝x2将圆x2＋y2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为＋，求(－x2)dx.
[解] 解方程组
得x＝±2.
∴阴影部分的面积为
(－x2)dx.
∵圆的面积为8π，
∴由几何概型可得阴影部分的面积是
8π·＝2π＋.
由定积分的几何意义得，
(－x2)dx＝(－x2)dx
＝π＋.
