课件44张PPT。第一章 导数及其应用1.6 微积分基本定理连续 F(b)－F(a) F(b)－F(a) 0 求简单函数的定积分 求分段函数的定积分 利用定积分求参数 点击右图进入…Thank you for watching !1.6 微积分基本定理
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义．(重点、易混点)
2.掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分．(重点、难点)
1.通过微积分基本定理的学习，体现了数学抽象的核心素养.
2.借助于利用定积分求曲边梯形的面积，培养学生的数学运算及直观想象的核心素养.
1．微积分基本定理
内容
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a).
符号
f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a).
思考：满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一吗？
[提示] 不唯一，如F1(x)＝x＋1，F2(x)＝x＋5，…等其导数为1，故F(x)不唯一．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下．则
(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图①，则f(x)dx＝S上．
(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图②，则f(x)dx＝－S下．
(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，则f(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则f(x)dx＝0.
图① 图② 图③
1．若a＝(x－2)dx，则被积函数的原函数为( )
A．f(x)＝x－2 B．f(x)＝x－2＋C
C．f(x)＝x2－2x＋C D．f(x)＝x2－2x
[答案] C
2．cos xdx＝________.
1 [cos xdx＝sin x＝sin －sin 0＝1.]
3．如图所示，定积分f(x)dx的值用阴影面积S1，S2，S3表示为f(x)dx＝________.
S1－S2＋S3 [根据定积分的几何意义知f(x)dx＝S1－S2＋S3.]
求简单函数的定积分
【例1】 求下列定积分．
(1)(2x＋ex)dx；
(2)dx；
(3)2dx；
(4)(x－3)(x－4)dx.
[解] (1)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.
(2)dx
＝(ln x－3sin x)
＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1)
＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.
(3)∵
＝1－2sin cos ＝1－sin x，
∴dx＝(1－sin x)dx＝(x＋cos x)
＝－(0＋cos 0)＝－1.
(4)∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12，
∴(x－3)(x－4)dx
＝(x2－7x＋12)dx
＝
＝9－＋36＝.
?1?当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F?x?.
?2?由微积分基本定理求定积分的步骤,第一步：求被积函数f?x?的一个原函数F?x?；
第二步：计算函数的增量F?b?－F?a?.
1．计算下列定积分．
(1)dx；
(2)∫0dx；
(3)(1＋)dx.
[解] (1)dx＝
＝－
＝ln 2＋.
(2) dx＝cos xdx＝sin x＝1.
(3)(1＋)dx＝(＋x)dx＝
＝－
＝－－8
＝.
求分段函数的定积分
【例2】 计算下列定积分．
(1)f(x)＝求f(x)dx；
(2)|x2－1|dx.
思路探究：(1)按f(x)的分段标准，分成，，(2,4]三段求定积分，再求和．
(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．
[解] (1)f(x)dx＝sin xdx＋1dx＋(x－1)dx＝(－cos x)＋x＋
＝1＋＋(4－0)＝7－.
(2)|x2－1|dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx
＝＋＝2.
1．本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号，可先求函数f(x)的零点，结合积分区间，分段求解．
2．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．
3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．
2．(1)f(x)＝求f(x)dx.
(2)求|x2－x|dx的值．
[解] (1)f(x)dx＝(1＋2x)dx＋x2dx
＝(x＋x2)＋x3＝2＋＝.
(2)∵|x2－x|＝∴|x2－x|dx
＝(x2－x)dx＋(x－x2)dx＋(x2－x)dx
＝＋＋
＝＋＋＝.
利用定积分求参数
[探究问题]
1．求f(a)＝(2ax2－a2x)dx的表达式．
[提示] f(a)＝(2ax2－a2x)dx＝＝a－a2.
2．试求f(a)取得最大时a的值．
[提示] f(a)＝a－a2＝－＋
＝－＋，
∴当a＝时，f(a)的最大值为.
【例3】 (1)已知t＞0，f(x)＝2x－1，若f(x)dx＝6，则t＝________.
(2)已知2≤(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为
________.
[解] (1)f(x)dx＝(2x－1)dx＝t2－t＝6，
解得t＝3或－2，∵t＞0，∴t＝3.
(2)(kx＋1)dx＝＝k＋1.
由2≤k＋1≤4，得≤k≤2.
1．(变条件)若将例3(1)中的条件改为f(x)dx＝f，求t.
[解] 由f(x)dx＝(2x－1)dx＝t2－t，
又f＝t－1，∴t2－t＝t－1，得t＝1.
2．(变条件)若将例3(1)中的条件改为f(x)dx＝F(t)，求F(t)的最小值．
[解] F(t)＝f(x)dx＝t2－t＝－(t＞0)，
当t＝时，F(t)min＝－.
利用定积分求参数应注意的问题
利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．
1．求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数．
1．下列值等于1的是( )
A.xdx B.(x＋1)dx C.1dx D.dx
C [选项A，因为＝x，所以xdx＝＝；
选项B，因为＝x＋1，所以(x＋1)dx＝＝；
选项C，因为x′＝1，所以1dx＝x＝1；
选项D，因为＝，所以dx＝x＝.]
2．若dx＝3＋ln 2，则a的值是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
D [dx＝＝a2＋ln a－1，
∴a2－1＝3，且ln a＝ln 2，故a＝2.]
3.dx＝________.
[dx＝x2dx－xdx
＝－＝－＝.]
4．设函数f(x)＝则f(x)dx＝________.
[f(x)dx＝(x2＋1)dx＋(3－x)dx＝＋＝.]
5．已知f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，且f′(0)＝2，f(x)dx＝0，求f(x)的解析式．
[解] 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴a＋b＋c＝0.
∵f′(x)＝2ax＋b， ①
∴f′(0)＝b＝2. ②
f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx＝
＝a＋b＋c＝0. ③
由①②③得
∴f(x)＝－x2＋2x－.
课时分层作业(十) 微积分基本定理
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.(ex＋2x)dx等于( )
A．1 B．e－1
C．e D．e＋1
C [∵(ex＋2x)dx＝＝e＋1－1＝e，故选C.]
2．已知积分(kx＋1)dx＝k，则实数k＝( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
A [(kx＋1)dx＝＝k＋1＝k，
∴k＝2.]
3．设f(x)＝则f(x)dx＝( )
A. B.
C. D.
D [f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3＋
＝＋＝.]
4．若函数f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，则f(－x)dx＝( )
A. B.
C. D.
A [∵f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，
∴f(x)＝x2＋x，
∴f(－x)dx＝(x2－x)dx
＝＝.]
5．设a＝xdx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．a>c>b D．c>b>a
A
b＝x2dx＝＝，c＝x3dx＝＝，
∴a>b>c.]
二、填空题
6．dθ＝________.
[dθ＝cosθdθ＝sin θ 0
＝.]
7.－1(2－|x|)dx＝________.
[因为f(x)＝2－|x|＝所以
f(x)dx＝(2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋＝＋2＝.]
8．已知x∈(0,1]，f(x)＝(1－2x＋2t)dt，则f(x)的值域是________．
[0,2) [f(x)＝(1－2x＋2t)dt
＝(t－2xt＋t2)＝－2x＋2(x∈(0,1])．
∴f(x)的值域为[0,2)．]
三、解答题
9．计算定积分：(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.
[解] 设f(x)＝|2x＋3|＋|3－2x|，x∈[－3,3]，
则f(x)＝
所以(|2x＋3|＋|3－2x|)dx
10．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，求x0的值．
[解] 因为f(x)＝ax2＋c(a≠0)，且＝ax2＋c，
所以f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝＝＋c＝ax＋c，解得x0＝或x0＝－(舍去)．
即x0的值为.
[能力提升练]
1．若y＝(sin t＋cos t·sin t)dt，则y的最大值是( )
A．1 B．2
C．－1 D．0
B [y＝(sin t＋cos t·sin t)dt
＝sin tdt＋dt＝－cos t－cos 2t
＝－cos x＋1－(cos 2x－1)
＝－cos 2x－cos x＋
＝－cos2x－cos x＋
＝－(cos x＋1)2＋2≤2.]
2．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx等于( )
A．－1 B．－
C． D．1
B [∵f(x)dx是常数，
所以可设f(x)＝x2＋c(c为常数)，
所以c＝2f(x)dx＝2(x2＋c)dx＝2，
解得c＝－，
f(x)dx＝(x2＋c)dx＝dx＝＝－.]
3．设抛物线C：y＝x2与直线l：y＝1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于____________ .
[由得x＝±1.如图，由对称性可知，S＝2＝2＝.
]
4．已知f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝__________.
1 [因为f(1)＝lg 1＝0，
且3t2dt＝t3|＝a3－03＝a3，
所以f(0)＝0＋a3＝1，所以a＝1.]
5．已知f(x)＝－a(12t＋4a)dt，F(a)＝[f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值．
[解] 因为f(x)＝－a(12t＋4a)dt＝(6t2＋4at)＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)＝6x2＋4ax－2a2，
因为F(a)＝[f(x)＋3a2]dx＝(6x2＋4ax＋a2)dx＝(2x3＋2ax2＋a2x)＝2·13＋2a·12＋a2·1＝(a＋1)2＋1≥1.所以当a＝－1时，F(a)的最小值为1.
