1.1.7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用
1.7.2 定积分在物理中的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)
2.会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)
通过利用定积分求解曲边梯形的面积、变速直线运动的路程和变力做功的学习，培养学生的数学建模及直观想象、数学运算的核心素养.
1．定积分与平面图形面积的关系
(1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：
f(x)的符号
平面图形的面积与定积分的关系
f(x)≥0
S＝f(x)dx
f(x)＜0
S＝－f(x)dx
(2)一般地，如图所示，如果在公共的积分区间[a，b]上有f(x)＞g(x)，那么直线x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝[f(x)－g(x)]dx.即曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分．
2．变速直线运动的路程
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v(t)dt.
思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？
[提示] 不同．路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念．
3．变力做功
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a1．曲线y＝x3与直线y＝x所围成的图形的面积等于( )
A. (x－x3)dx B. (x3－x)dx
C．2(x－x3)dx D．2 (x－x3)dx
C [由题意知，由y＝x3及y＝x所围成的图形如图所示．
显然S＝2(x－x3)dx.]
2．一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6 s间的运动路程为( )
A．46 m B．46.5 m
C．87 m D．47 m
B [s＝(3t＋2)dt＝
＝(54＋12)－＝46.5(m)．]
3．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F(x)相同的方向，从x＝1处运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所作的功为________J.
14 [由题意可知，力F(x)所作的功
W＝F(x)dx＝(4x－1)dx＝(2x2－x)
＝14 J．]
利用定积分求平面图形的面积问题
[探究问题]
观察图形，完成下列探究问题：
1．图中阴影部分的面积能否用定积分[－(x－4)]dx表示？为什么？
[提示] 不能．由定积分的几何意义可知，当x∈[0,8]时，被积函数y＝－(x－4)表示的图形如图所示：
2．若以x为积分变量，如何用定积分表示图形中阴影部分的面积？
[提示] S＝2dx＋[－(x－4)]dx.
3．能否以y为积分变量，用定积分表示图形中阴影部分的面积？
[提示] 能．可表示为S＝dy.
【例1】 (1)已知函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为，则k＝________.
(2)求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成的图形的面积．
(1)2 [由解得 或
故阴影部分的面积为(kx－x2)dx ＝＝k3－k3＝k3＝，解得k＝2.]
(2)[解] 画出图形，如图所示．
解方程组
及
得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
所以S＝dx＋(2－x)－dx＝dx＋dx
＝＋
＝＋＋
＝＋6－×9－2＋＝.
1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图所示，已知点A，点P(x0，y0)(x0＞0)在曲线y＝x2上，若阴影部分的面积与△OAP的面积相等”，则x0＝________.
[解] 由题意知
×x0×＝∫x00x2dx，
即x0＝x，
解得x0＝或x0＝－或x0＝0.
∵x0＞0，∴x0＝.
2．(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线y＝x2在点P(2,4)处的切线与曲线及x轴所围成的图形面积为S”，求S.
[解] ∵y′|x＝2＝4，故曲线在P点处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即y＝4x－4，故所求面积S＝x2dx＋(x2－4x＋4)dx＝x3＋＝.
3．(变条件)把本例(2)的条件改为“求由曲线y2＝x，y＝2－x所围成的图形的面积．”
[解] 由得或
∴阴影部分的面积
S＝(2－y－y2)dy
＝＝－＝.
求曲边梯形面积的一般步骤如下：
求变速直线运动的路程
【例2】 有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求：
(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P移动的路程和离开原点的位移；
(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．
[解] (1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，
当t＞4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，
点P移动的路程s1＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt
＝－＝.
当t＝6时，点P的位移为
(8t－2t2)dt＝＝0.
(2)依题意(8t－2t2)dt＝0，
即4t2－t3＝0，
解得t＝0或t＝6，t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是从原点出发，又返回原点所用的时间．
做变速直线运动的物体，从时刻t＝a到时刻t＝b(a＜b)所经过的路程s和位移s′情况如下：
(1)若v(t)≥0，
则s＝v(t)dt；s′＝v(t)dt.即s＝s′.
(2)若v(t)≤0，则s＝－v(t)dt；s′＝v(t)dt.即s＝－s′.
(3)若在区间[a，c]上，v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)＜0，则s＝v(t)dt－v(t)dt，s′＝v(t)dt.
所以求路程时要事先求得速度的正负区间．
1．有一辆汽车以每小时36 km的速度沿平直的公路行驶，在B处需要减速停车．设汽车以2 m/s2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？
[解] 设从开始刹车到停车，汽车经过了t s.
v0＝36 km/h＝10 m/s，v(t)＝v0－at＝10－2t.
令v(t)＝0，解得t＝5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s＝(10－2t)dt＝(10t－t2)＝25(m)．
故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.
求变力做功
【例3】 设有一个长为25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．
[解] 设x表示弹簧伸长的长度，f(x)表示加在弹簧上的力，则f(x)＝kx(其中常数k为比例系数)．
因为当f(x)＝100时，x＝5，
所以k＝20.所以f(x)＝20x.
弹簧由25 cm伸长到40 cm时，弹簧伸长的长度x从0 cm变化到15 cm，故所做的功
W＝∫20xdx＝10x2＝2 250(N·cm)＝22.5(J)．
求变力做功的方法步骤
(1)要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移．
(2)利用变力做功的公式W＝F(x)dx计算．
(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．
2．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为( )
A．10 J B．12 J
C．14 J D．16 J
B [W＝2dx＋(2x－2)dx＝2x＋(x2－2x)＝4＋(16－8－4＋4)＝12(J)．]
1．对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时：
(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．
(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．
这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．
2．已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．
3．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求变力做功时，要注意单位，F(x)单位：N，x单位：m.
1．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( )
③ ④
A．①③ B．②③
C．①④ D．③④
D [①错误，S＝[f(x)－g(x)]dx；
②错误，S＝2dx＋(2－2x＋8)dx；
③④正确．]
2．曲线y＝cos x与坐标轴所围图形的面积是( )
A．2 B．3
C. D．4
3．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车( )
A．405 B．540
C．810 D．945
A [停车时v(t)＝0，由27－0.9t＝0，得t＝30，
∴s＝∫v(t)dt＝∫(27－0.9t)dt＝(27t－0.45t2)＝405.]
4．设a＞0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
5．一物体在变力F(x)＝(N)的作用下沿坐标平面内x轴的正方向由x＝8 m处运动到x＝18 m处，求力F(x)在这一过程中所做的功．
[解] 由题意得力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在[8,18]上的定积分，从而
W＝F(x)dx＝－36x－1＝(－36·18－1)－(－36·8－1)＝(－2)－＝(J)．
从而可得力F(x)在这一过程中所做的功为 J.
课件45张PPT。第一章 导数及其应用1.7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用
1.7.2 定积分在物理中的应用F(x)dx 利用定积分求平面图形的面积问题 求变速直线运动的路程 求变力做功 ④ ③点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十一) 定积分的简单应用
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是( )
A.f(x)dx
B.
C.f(x)dx＋f(x)dx
D.f(x)dx－f(x)dx
D [在区间[a，b]上图形在x轴下方，积分为负值，
∴S＝f(x)dx－f(x)dx.故选D.]
2．如图所示，阴影部分的面积是( )
A．2 B．2－
C. D.
C [S＝(3－x2－2x)dx＝＝.]
3．汽车以v＝(3t＋2) m/s做变速运动时，在第1 s至第2 s之间的1 s内经过的路程是( )
A．5 m B. m
C．6 m D. m
D [根据题意，汽车以v＝(3t＋2) m/s做变速运动时，汽车在第1 s至第2 s之间的1 s内经过的路程s＝ (3t＋2)dt＝＝ m，故选D.]
4．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t s时速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )
A. m B. m
C. m D. m
A [v＝0时物体达到最高，此时40－10t2＝0，则t＝2 s.
又∵v0＝40 m/s，∴t0＝0 s．∴h＝(40－10t2)dt＝＝(m)．]
5．如果1 N的力使弹簧伸长1 cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为( )
A．0.5 J B．1 J
C．50 J D．100 J
A [由于弹簧所受的拉力F(x)与伸长量x成正比，依题意，得F(x)＝x，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为W＝∫F(x)dx＝∫xdx＝x2＝50(N·cm)＝0.5(J)．]
二、填空题
6．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c＞0)围成图形的面积是，则c＝________.
[由得
由题意可知
∫0(x2－cx3)dx＝，即0＝－＝，解得c＝.]
7．质点运动的速度是(18t－3t2)m/s，质点在[0,8]时间段内所通过的路程为________．
152 m [路程s＝(18t－3t2)dt＋(3t2－18t)dt
＝(9t2－t3)＋(t3－9t2)＝9×62－63＋83－9×82－63＋9×62＝152(m)．]
8．如图所示，阴影部分是由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________．
＋ln 2 [S＝dx＋dx
＝x＋ln x＝＋ln 2.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值．
[解] 由题图知方程f(x)＝0有三个实根，
其中有两个相等的实根x1＝x2＝0，于是b＝0，
所以f(x)＝x2(x＋a)．有＝∫[0－(x3＋ax2)]dx
＝－＝，所以a＝±3.又－a＞0?a＜0，
所以a＝－3.
10．一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求：
(1)此点在t＝4 s时的位置；
(2)此点在t＝4 s时运动的路程．
[解] 因为位置决定于位移，所以它是v(t)在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]上哪些时间段的位移为负．
(1)在t＝4 s时，该点的位移为
(t2－4t＋3)dt＝＝(m)．
即在t＝4 s时该点在距出发点 m处．
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上，v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0，∴该点在t＝4 s时的路程为
S＝(t2－4t＋3)dt＋＋(t2－4t＋3)dt＝(t2－4t＋3)dt－(t2－4t＋3)dt＋(t2－4t＋3)dt＝4(m)．
[能力提升练]
1.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的图形的面积为( )
A. B.
C. D.
B [由图可知f(x)＝－x2＋1.∴f(x)与x轴围成的图形的面积S＝(1－x2)dx＝＝－＝＋＝.]
2．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
C [令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，
∴汽车行驶距离s＝dt
＝7t－t2＋25ln(1＋t)
＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.]
3．抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成的面积为________．
[由y′＝－2x＋4，得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两切线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6.
由得C(2,2)．
∴S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)dx
＝×2×2－＝2－＝.]
4．如图所示，一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B，C运动到D，其中AB＝50 m，BC＝40 m，CD＝30 m，变力F＝(单位：N)，在AB段运动时F与运动方向成30°角，在BC段运动时F与运动方向成45°角，在CD段运动时F与运动方向相同，则物体由A运动到D所做的功为________．(≈1.732，≈1.414，精确到1 J)
1 723 J [在AB段运动时F在运动方向上的分力F1＝Fcos 30°，在BC段运动时F在运动方向上的分力F2＝Fcos 45°.
由变力做功公式得：
W＝∫cos 30° dx＋cos 45°dx＋600＝＋＋600
＝ ＋450＋600≈1 723(J)．
所以物体由A运动到D变力F所做的功为1 723 J．]
5．已知S1为直线x＝0，y＝4－t2及y＝4－x2所围成图形的面积，S2为直线x＝2，y＝4－t2及y＝4－x2所围成图形的面积(t为常数)．
(1)若t＝，求S2；
(2)若t∈(0,2)，求S1＋S2的最小值．
[解] (1)当t＝时，S2＝[2－(4－x2)]dx
＝＝(－1)．
(2)当t∈(0,2)时，S1＝[(4－x2)－(4－t2)]dx
＝＝t3.S2＝[(4－t2)－(4－x2)]dx
＝＝－2t2＋t3.
所以S＝S1＋S2＝t3－2t2＋.S′＝4t2－4t＝4t(t－1)，令S′＝0，得t＝0(舍去)或t＝1，
当0＜t＜1时，S′＜0，S单调递减，
当1＜t＜2时，S′＞0，S单调递增，
所以当t＝1时，Smin＝2.
