课件48张PPT。第一章 导数及其应用章末复习课导数的几何意义 函数的单调性与导数 函数的极值、最值与导数 生活中的优化问题 函数方程思想 点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(一) 导数及其应用
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列求导运算正确的是( )
A．(cos x)′＝sin x B. ＝cos
C.＝－ D.＝
D [A错误，(cos x)′＝－sin x；B错误；＝0；C错误；′＝－；D正确．]
2．如果物体的运动方程为s＝＋2t(t＞1)，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是( )
A.米/秒 B.米/秒
C.米/秒 D.米/秒
A [∵s＝s(t)＝＋2t，∴s′(t)＝－＋2.
故物体在2秒末的瞬时速度s′(2)＝－＋2＝.]
3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
A [∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.]
4．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为( )
A．0 B．2
C．1 D．－1
A [∵f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，
∴f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，
∴f′(1)＝1－2f′(1)－1，∴f′(1)＝0.]
5．函数f(x)＝x·e－x的一个单调递增区间是( )
A．[－1,0] B．[2,8]
C．[1,2] D．[0,2]
A [f(x)＝x·e－x，则f′(x)＝＝，
令f′(x)＞0，得x＜1，故增区间为(－∞，1)，
又因为[－1,0]?(－∞，1)，故选A.]
6．函数f(x)＝exsin x在区间上的值域为( )
A．[0，e] B．(0，e)
C．[0，e) D．(0，e]
A [f′(x)＝ex(sin x＋cos x)．∵x∈，f′(x)＞0.
∴f(x)在上是单调增函数，
∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f＝e.]
7．一物体以速度v＝3t2＋2t(单位：m/s)做直线运动，则它在t＝0 s到t＝3 s时间段内的位移是( )
A．31 m B．36 m
C．38 m D．40 m
B [S＝(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)|＝33＋32＝36(m)．]
8．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是( )
A．2 B．1
C．0 D．由a确定
C [f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R上单调递增，无极值．故选C.]
9．已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a、b∈R且ab≠0)的图象如图所示，若|x1|＞|x2|，则有( )
A．a＞0，b＞0
B．a＜0，b＜0
C．a＜0，b＞0
D．a＞0，b＜0
B [∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋1有两个零点x1，x2，且|x1|＞|x2|，
由图可知x1＋x2＝－＜0，且x1是极小值点，∴a＜0，b＜0.]
10．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( )
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
A [f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，
则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0?a＝－1，
则f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，
令f′(x)＝0，
得x＝－2或x＝1，
当x＜－2或x＞1时，f′(x)＞0，
当－2＜x＜1时，f′(x)＜0，
则f(x)极小值为f(1)＝－1.]
11．设函数f(x)＝x－ln x(x＞0)，则y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
D [f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝3，当0＜x＜3时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间(0,3)上为减函数．又f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，f＝＋1＞0，所以y＝f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．]
12．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
A [当x＞0时，令F(x)＝，则F′(x)＝＜0，
∴当x＞0时，
F(x)＝为减函数．
∵f(x)为奇函数，且由f(－1)＝0，得f(1)＝0，故F(1)＝0.
在区间(0,1)上，F(x)＞0；在(1，＋∞)上，F(x)＜0.
即当0＜x＜1时，f(x)＞0；
当x＞1时，f(x)＜0.
又f(x)为奇函数，
∴当x∈(－∞，－1)时，f(x)＞0；
当x∈(－1,0)时，f(x)＜0.
综上可知，f(x)＞0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．(3x＋sin x)dx＝__________.
＋1 [(3x＋sin x)dx＝0＝－(0－cos 0)＝＋1.]
14．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
(－ln 2,2) [设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，
∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，
∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，∴y0＝eln 2＝2，
∴点P的坐标为(－ln 2,2)．]
15．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是__________．
(－2,2) [令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，
可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，
极小值为f(1)＝－2，
如图所示，－2
16．将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________．
[设AD＝x(0则s′＝×.
令s′＝0，解得x＝.当x∈时，s′<0，s为减函数；当x∈时，s′>0，s为增函数．故当x＝时，s取得极小值，也是最小值，此时s的最小值为.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)，求函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积．
[解] 根据题意，得到
f(x)＝，
从而得到y＝xf(x)＝
所以围成的面积为S＝∫02x2dx＋(－2x2＋2x)dx＝.
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．
[解] (1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.
∵f(x)在x＝3处取得极值，
∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，
解得a＝3.
∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.
(2)A点在f(x)上，
由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，
f′(1)＝6－24＋18＝0，
∴切线方程为y＝16.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.讨论f(x)的单调性．
[解] f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．
(1)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
(2)设a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．
①若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
②若a＞－，则ln(－2a)＜1，
故当x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)＜0.
所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a)，1)上单调递减．
③若a＜－，则ln(－2a)＞1，
故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0.
所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a))上单调递减．
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)[解] (1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.
因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，
则有f′(1)＝0，f′(2)＝0，即
解得
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
则f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
当x∈[0,1)时，f′(x)>0；
当x∈[1,2]时，f′(x)<0；
当x∈(2,3]时，f′(x)>0.
所以当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，当x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.
所以当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)所以9＋8c9.
故c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
21．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，
底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，从而
V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得r<5，
故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
22．(本小题满分12分)抛物线y＝ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y＝4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值．
[解] 由题设可知抛物线为凸形，它与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝－，
所以S＝∫－0(ax2＋bx)dx＝b3， ①
又直线x＋y＝4与抛物线y＝ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，
由方程组得
ax2＋(b＋1)x－4＝0，其判别式Δ＝0，
即(b＋1)2＋16a＝0.
于是a＝－(b＋1)2，代入①式得：
S(b)＝(b>0)，S′(b)＝；
令S′(b)＝0，得b＝3，且当00；
当b>3时，S′(b)<0.
故在b＝3时，S(b)取得极大值，也是最大值，
即a＝－1，b＝3时，S取得最大值，
且Smax＝.
导数的几何意义
【例1】 已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[解] (1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)法一：设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为
y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16.
整理得，x＝－8，
∴x0＝－2.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝，
又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，
∴＝3x＋1.
解得，x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1.
∴或
即切点为(1，－14)或(－1，－18)．
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
1．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．
2．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．
1．直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝________.
－15 [∵y＝x3＋ax＋1过点(2,3)，
∴a＝－3，∴y′＝3x2－3，
∴k＝y′|x＝2＝3×4－3＝9，
∴b＝y－kx＝3－9×2＝－15.]
函数的单调性与导数
【例2】 (1)f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)≤0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有( )
A．af(b)＜bf(a) B．bf(a)＜af(b)
C．af(a)＜bf(b) D．bf(b)＜af(a)
(2)设f(x)＝aln x＋，其中a为常数，讨论函数f(x)的单调性．
(1)A [令F(x)＝，则F′(x)＝.
又当x＞0时，xf′(x)－f(x)≤0，∴F′(x)≤0，
∴F(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又a＜b，
∴F(a)＞F(b)，
∴＞，
∴bf(a)＞af(b)，故选A.]
(2)[解] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
①当a＝－时，Δ＝0，
f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0，
f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－＜a＜0时，Δ＞0.
设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，
则x1＝，x2＝，
由x1＝＝＞0，
所以x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，
x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，
综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－＜a＜0时，
函数f(x)在，
上单调递减，
在上单调递增．
利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f?x?与其导数f′?x?之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解.,求解参数范围的步骤为：
?1?对含参数的函数f?x?求导，得到f′?x?；
?2?若函数f?x?在?a，b?上单调递增，则f′?x?≥0恒成立；若函数f?x?在?a，b?上单调递减，则f′?x?≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；
?3?验证参数范围中取等号时，是否恒有f′?x?＝0.若f′?x?＝0恒成立，则函数f?x?在?a，b?上为常函数，舍去此参数值.
2．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
[解] 函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．
当a－1＞1，即a＞2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．
依题意当x∈(1,4)时，f′(x)＜0，
当x∈(6，＋∞)时，f′(x)＞0.
故4≤a－1≤6，即5≤a≤7.因此a的取值范围是[5,7].
函数的极值、最值与导数
【例3】 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0＜t＜3)上的最大值和最小值．
[解] (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.
又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，
得f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
①当0＜t≤2时，在区间(0，t)上，f′(x)＜0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2.
②当2＜t＜3时，当x变化时，f′(x)，
f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0,2)
2
(2，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
f(x)
2
↘
－2
↗
t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．
f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)＜0，
所以f(x)max＝f(0)＝2.
(变结论)在本例条件不变的情况下，若关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．
[解] 令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，
则g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
在x∈[1,2)上，g′(x)＜0；在x∈(2,3]上，g′(x)＞0.
要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，
则解得－2＜c≤0.
(1?求极值时一般需确定f′?x?＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点.
?2?求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.
3．(2019·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数．证明：f′(x)在区间存在唯一极大值点．
[解] 设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x－，g′(x)＝－sin x＋，
当x∈时，g′(x)单调递减，而g′(0)>0，g′<0，可得g′(x)在有唯一零点，设为a.
则当x∈(－1，a)时，g′(x)>0；当x∈时，g′(x)<0.
所以g(x)在(－1，a)单调递增，在单调递减，
故g(x)在存在唯一极大值点，即f′(x)在存在唯一极大值点.
生活中的优化问题
【例4】 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元．
(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；
(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．
[解] 由题意可知
＋πr2l＝，∴l＝－.
又圆柱的侧面积为2πrl＝－，
两端两个半球的表面积之和为4πr2.
所以y＝×3＋4πr2×4＝＋8πr2.
又l＝－＞0?r＜2，
所以定义域为(0,2)．
(2)因为y′＝－＋16πr＝，
所以令y′＞0，得2＜r＜2；
令y′＜0，得0＜r＜2.
所以当r＝2米时，该容器的建造费用最小，为96π千元，此时l＝米．
解决优化问题的步骤
(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．
(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
(3)验证数学问题的解是否满足实际意义．
4．现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/小时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
[解] (1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，函数的定义域为(0,35]，即y＝＋300x(0＜x≤35)．
(2)由(1)知y＝＋300x(0＜x≤35)，所以y′＝－＋300.令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值．又当0＜x≤35时，y′＜0，所以y＝＋300x在(0,35]上单调递减，故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．
故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/小时的速度行驶.
函数方程思想
【例5】 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求f(x)的极值点；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；
(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝3(x2－2)，令f′(x)＝0，
得x1＝－，x2＝.
当x∈(－∞，－)∪(，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(－，) 时，f′(x)＜0，
因此x1＝－，x2＝分别为f(x)的极大值点、极小值点．
(2)由(1)的分析可知y＝f(x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a与y＝f(x)的图象有3个不同交点需5－4＝f()＜a＜f(－)＝5＋4.则方程f(x)＝a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围为(5－4，5＋4)．
(3)法一：f(x)≥k(x－1)，
即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，
因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，
所以所求k的取值范围是为(－∞，－3]．
法二：直线y＝k(x－1)过定点(1,0)且f(1)＝0，
曲线f(x)在点(1,0)处切线斜率f′(1)＝－3，
由(2)中草图知要使x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值范围为(－∞，－3]．
论方程根的个数，研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极?最?值的应用.问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极?最?值列出，然后再借助单调性和极?最?值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解.
5．已知函数f(x)＝ex＋，a∈R，试讨论函数f(x)的零点个数．
[解] 函数f(x)的定义域为{x|x≠a}．
(1)当x＞a时，ex＞0，x－a＞0，∴f(x)＞0，
即f(x)在(a，＋∞)上无零点．
(2)当x＜a时，f(x)＝，
令g(x)＝ex(x－a)＋1，则g′(x)＝ex(x－a＋1)．
由g′(x)＝0得x＝a－1.
当x＜a－1时，g′(x)＜0；
当x＞a－1时，g′(x)＞0，
∴g(x)在(－∞，a－1)上单调递减，在(a－1，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝g(a－1)＝1－ea－1.
∴当a＝1时，g(a－1)＝0，∴x＝a－1是f(x)的唯一零点；
当a＜1时，g(a－1)＝1－ea－1＞0，∴f(x)没有零点；
当a＞1时，g(a－1)＝1－ea－1＜0，∴f(x)有两个零点．
