课件50张PPT。第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理一般到特殊某个特殊情况下所研究的特殊情况已知的一般原理演绎推理与三段论 用三段论证明几何问题用三段论证明代数问题 点击右图进入…Thank you for watching !2.1.2 演绎推理
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解演绎推理的含义．(重点)
2．掌握演绎推理的模式，会利用“三段论”进行简单的推理．(重点、易混点)
1．通过演绎推理的学习，培养学生逻辑推理的核心素养．
2．借助“三段论”的应用，培养学生逻辑推理的核心素养.
1．演绎推理
(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．
2．“三段论”
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理，对特殊情况做出的判断
S是P
思考：如何分清大前提、小前提和结论？
[提示] 在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义．
1．“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是( )
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
B [得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”．]
2．三段论：
“①小宏在2019年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2019年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2019年的高考中正常发挥”中，“小前提”是________(填序号)．
③ [在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．]
3．下列几种推理过程是演绎推理的是________．
①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
① [①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理．]
4．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0”，你认为这个推理的错误是________．
大前提 [这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2>0”．显然这是个错误的推理，究其原因，是大前提错误，尽管推理形式是正确的，但是结论是错误的．]
演绎推理与三段论
【例1】 (1)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数
B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数
D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
(2)将下列推理写成“三段论”的形式：
①向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；
②0.33是有理数；
③y＝sin x(x∈R)是周期函数．
(1)B [对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大、小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大、小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．]
(2)①大前提：向量是既有大小又有方向的量．
小前提：零向量是向量．
结论：零向量也有大小和方向．
②大前提：所有的循环小数都是有理数．
小前提：0.33是循环小数．结论：0.33是有理数．
③大前提：三角函数是周期函数．
小前提：y＝sin x(x∈R)是三角函数．
结论：y＝sin x(x∈R)是周期函数．
把演绎推理写成“三段论”的一般方法
(1)用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系．
(2)在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的________是错误的．
小前提 [f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提错误．]
2．将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；
(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．
[解] (1)大前提：平行四边形的对角线互相平分，
小前提：菱形是平行四边形，
结论：菱形的对角线互相平分．
(2)大前提：等腰三角形的两底角相等，
小前提：∠A，∠B是等腰三角形的底角，
结论： ∠A＝∠B.
(3)大前提：数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，
小前提：通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，
结论：通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列.
用三段论证明几何问题
【例2】 如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．
[解] (1)同位角相等，两直线平行，(大前提)
∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)
所以DF∥AE.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
DE∥BA且DF∥EA，(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)
(3)平行四边形的对边相等，(大前提)
DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)
所以DE＝AF.(结论)
1．用“三段论”证明命题的格式
×××××× (大前提)
×××××× (小前提)
×××××× (结论)
2．用“三段论”证明命题的步骤：
(1)理清楚证明命题的一般思路；
(2)找出每一个结论得出的原因；
(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来
3．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点．求证：EF∥平面BCD.
[证明] 三角形的中位线平行于第三边，(大前提)
点E，F分别是AB，AD的中点，(小前提)
所以EF∥BD.(结论)
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，
则这条直线与此平面平行，(大前提)
EF平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，(小前提)
EF∥平面BCD. (结论)
用三段论证明代数问题
[探究问题]
1．数的大小比较常见方法有哪些？
[提示] 作差法、作比法、函数性质法(单调性、奇偶性等)、图象法、中间量法(常取0或1作为媒介)等．
2．证明函数性质(单调性、奇偶性、周期性)的依据是什么？试以函数单调性给予说明．
[提示] 证明函数性质(单调性、奇偶性、周期性)的依据是函数性质的相关定义及有关的知识原理．如函数单调性的证明常依据函数单调性的定义及单调性与导数的关系给予证明．
3．判断数列是等差(等比)数列的依据是什么？
[提示] 判断数列是等差(等比)数列的依据是等差(等比)数列的定义.
【例3】 (1)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
(2)已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
思路探究：(1)借助于指对互化及不等式大小的比较方法求解；(2)利用函数的单调性或导数法求解．
(1)D [令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z为正数，∴t＞1.
则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝＞0，
∴2x＞3y.
2x－5z＝－＝
＝＜0，
∴2x＜5z，
∴3y＜2x＜5z.
故选D.]
(2)[解] 法一：(定义法)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，
且x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)
＝ax2＋－ax1－
＝ax2－ax1＋－
＝ax1(ax2－x1－1)＋
＝ax1(ax2－x1－1)＋.
因为x2－x1＞0，且a＞1，
所以ax2－x1＞1.
而－1＜x1＜x2，
所以x1＋1＞0，x2＋1＞0，
所以f(x2)－f(x1)＞0，
所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
法二：(导数法)f(x)＝ax＋＝ax＋1－.
所以f′(x)＝axln a＋.
因为x＞－1，所以(x＋1)2＞0，
所以＞0.
又因为a＞1，所以ln a＞0，ax＞0，
所以axln a＞0.所以f′(x)＞0.
于是得f(x)＝ax＋在(－1，＋∞)上是增函数．
五类代数问题中的三段论
(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等．
(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等．
(3)三角函数问题：利用三角函数公式进行三角恒等变换，证明三角恒等式．
(4)数列问题：数列的通项公式，前n项和公式的应用，证明等差数列和等比数列．
(5)不等式类问题：如不等式恒成立问题，线性规划以及基本不等式的应用问题.
4．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c的关系是( )
A．成等差数列但不成等比数列
B．成等差数列且成等比数列
C．成等比数列但不成等差数列
D．不成等比数列也不成等差数列
A [由条件可知a＝log23，
b＝log26，c＝log212.
因为a＋c＝log23＋log212
＝log2 36＝2log2 6＝2b，
所以a，b，c成等差数列．
又因为ac＝log2 3log2 12≠(log2 6)2＝b2，
所以a，b，c不成等比数列．故选A.]
5．已知函数f(x)＝，求证：函数f(x)是奇函数，且在定义域上是增函数．
[证明] f(x)＝＝1－，
所以f(x)的定义域为R.
f(－x)＋f(x)＝＋＝2－
＝2－＝2－＝2－2＝0.
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
任取x1，x2∈R，且x1
则f(x1)－f(x2)＝－
＝2＝2·.
由于x1所以f(x1)1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．
2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．
3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.
1．平行于同一直线的两直线平行，因为a∥b，b∥c，所以a∥c，这个推理称为( )
A．合情推理 B．归纳推理
C．类比推理 D．演绎推理
D [本题的推理模式是三段论，故该推理是演绎推理．]
2．三段论①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③这艘船是准时起航的，其中大前提是( )
A．① B．②
C．①② D．③
A [根据三段论的定义，①为大前提，③为小前提，②为结论，故选A.]
3．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值为0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点，以上推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
A [大前提是“对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，且满足在x0附近左右两侧导函数值异号，那么x＝x0才是函数f(x)的极值点，所以大前提错误．故选A.]
4．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提：______________________________________________.
小前提：______________________________________________.
结论：______________________________________________.
一次函数的图象是一条直线 函数y＝2x＋5是一次函数 函数y＝2x＋5的图象是一条直线 [本题忽略了大前提和小前提．大前提为：一次函数的图象是一条直线．小前提为：函数y＝2x＋5为一次函数．结论为：函数y＝2x＋5的图象是一条直线．]
5. 用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.
[证明] 因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，
而直角三角形是三角形(小前提)，
所以直角三角形内角之和为180°(结论)．
设直角三角形两个锐角分别为∠A，∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，
(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，
所以∠A＋∠B＝90°(结论)．
课时分层作业(十三) 演绎推理
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( )
A．演绎推理 B．类比推理
C．合情推理 D．归纳推理
A [大前提为所有金属都能导电，小前提是铁是金属，结论为铁能导电，故选A.]
2．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：BC方框部分的证明是演绎推理的( )
A．大前提 B．小前提
C．结论 D．三段论
B [因为本题的大前提是“在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边”，证明过程省略了大前提，方框部分的证明是小前提，结论是“BC3．已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3>0，则f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值( )
A．恒为正数 B．恒为负数
C．恒为0 D．可正可负
A [由已知得f(0)＝0，a1＋a5＝2a3>0，所以a1>－a5.因为f(x)单调递增且为奇函数，所以f(a1)＋f(a5)>f(－a5)＋f(a5)＝0，f(a3)>0.所以f(a1)＋f(a3)＋f(a5)>0.故选A.]
4．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
A [根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．]
5．已知三条不重合的直线m，n，l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：
①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确的命题个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B.]
二、填空题
6．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________．
log2x－2≥0 [由三段论方法知应为log2x－2≥0.]
7. “如图所示，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”．
证明：在△ABC中 ，
因为CD⊥AB，AC>BC， ①
所以AD>BD, ②
于是∠ACD>∠BCD. ③
则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)
③ [由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．]
8．已知函数f(x)＝a－，若f(x)为奇函数，则a＝________.
[因为奇函数f(x)在x＝0处有定义且f(0)＝0(大前提)，而奇函数f(x)＝a－的定义域为R(小前提)，所以f(0)＝a－＝0(结论)．
解得a＝.]
三、解答题
9. S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.
[证明] 如图，作AE⊥SB于E.
∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AE?平面SAB.
∴AE⊥平面SBC.
又BC?平面SBC，
∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，
∴SA⊥BC.
∵SA∩AE＝A，SA?平面SAB，AE?平面SAB，
∴BC⊥平面SAB.∵AB?平面SAB，∴AB⊥BC.
10．已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明＜.
[证明] 因为不等式两边同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b＜a，m＞0，(小前提)
所以mb＜ma.(结论)
因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)
mb＜ma，(小前提)
所以mb＋ab＜ma＋ab，即b(a＋m)＜a(b＋m)．(结论)
因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b(a＋m)＜a(b＋m)，a(a＋m)＞0，(小前提)
所以＜，即＜.(结论)
[能力提升练]
1．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
[答案] A
2．下面几种推理中是演绎推理的是( )
A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)
B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N*)
C．由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
A [A为演绎推理，这里省略了大前提，B为归纳推理，C，D为类比推理．]
3．以下推理中，错误的序号为________．
①∵ab＝ac，∴b＝c；
②∵a≥b，b>c，∴a>c；
③∵75不能被2整除，∴75是奇数；
④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.
① [当a＝0时，ab＝ac，但b＝c未必成立．]
4．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有：
①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m,1)．给出以下三个结论：
(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.
其中正确结论为________．
(1)(2)(3) [由条件可知，
因为f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，且f(1,1)＝1，
所以f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋4＝f(1,2)＋6＝f(1,1)＋8＝9.又因为f(m＋1,1)＝2f(m,1)，
所以f(5,1)＝2f(4,1)＝22f(3,1)＝23f(2,1)
＝24f(1,1)＝16，所以f(5,6)＝f(5,1)＋10＝16＋10＝26.故(1)(2)(3)均正确．]
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn；
(3)证明：不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N*皆成立．
[解] (1)因为an＋1＝4an－3n＋1，
所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.
又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.
所以数列{an}的前n项和Sn＝＋.
(3)对任意的n∈N*, Sn＋1－4Sn＝＋－4＝－(3n2＋n－4)≤0.所以不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N*皆成立．
