课件47张PPT。第二章 推理与证明2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法推理论证已知条件定义公理定理所要证明的结论已知条件定义公理定理
结论出发充分条件定理定义公理综合法的应用 分析法的应用 综合法和分析法的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)
2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)
通过综合法、分析法的学习和应用，培养学生的逻辑推理的核心素养.
1．综合法
定义
推证过程
特点
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法
→→→…→(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)
顺推证法或由因导果法
2.分析法
定义
框图表示
特点
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法
逆推证法或执果索因法
思考1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
[提示] 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．
思考2: 综合法与分析法有什么区别？
[提示] 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．
1．用分析法证明：欲使①A>B，只需②CA．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [②?①，∴②是①的充分条件．]
2．命题“对于任意角θ，cos4 θ－sin4 θ＝cos 2 θ”的证明：“cos4 θ－sin4 θ＝(cos2 θ－sin2 θ)(cos2 θ＋sin2 θ)＝cos2 θ－sin2 θ＝cos 2 θ”，其过程应用了( )
A．分析法 B．综合法
C．综合法、分析法综合使用 D．间接证法
B [从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．]
3．要证明A＞B，若用作差比较法，只要证明________．
A－B＞0 [要证A＞B，只要证A－B＞0. ]
4．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，
即证______，由于______显然成立，因此原不等式成立．
a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0 [用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．]
综合法的应用
【例1】 (1)已知a，b是正数，且a＋b＝1，证明：＋≥4.
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.
①求证：A的大小为；
②若sin B＋sin C＝，证明△ABC为等边三角形．
[证明] (1)法一：∵a，b是正数且a＋b＝1，
∴a＋b≥2，∴≤，
∴＋＝＝≥4.
法二：∵a，b是正数，∴a＋b≥2>0，
＋≥2>0，
∴(a＋b)≥4.
又a＋b＝1，
∴＋≥4.
法三：＋＝＋＝1＋＋＋1
≥2＋2＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．
(2)①由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，
得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，
即bc＝b2＋c2－a2，
所以cos A＝＝，
所以A＝.
②因为A＋B＋C＝180°，
所以B＋C＝180°－60°＝120°，
由sin B＋sin C＝，
得sin B＋sin(120°－B)＝，
sin B＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝，
sin B＋cos B＝，
即sin(B＋30°)＝1.
因为0°＜B＜120°，所以30°＜B＋30°＜150°，
所以B＋30°＝90°，B＝60°，
所以A＝B＝C＝60°，
即△ABC为等边三角形．
综合法的解题步骤
1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)证明：CD⊥AE；
(2)证明：PD⊥平面ABE.
[证明] (1)在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.
而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，
∴PD在底面ABCD内的射影是AD.
又AB⊥AD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
分析法的应用
【例2】 设a，b为实数，求证： ≥(a＋b)．
[证明] 当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b＞0时，
用分析法证明如下：要证≥(a＋b)，
只需证()2≥.
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
用分析法证明不等式的三个关注点
(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、基本不等式、已知的重要不等式等．
(2)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”“看”“需知” ，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件或充要条件．
(3)分析法为逆推证明，因此在使用时要注意逻辑性与规范性，其格式一般为“要证……，只要证…….只需证……，……显然成立，所以……成立”．
2．已知a，b是正实数，求证：＋≥＋.
[证明] 要证＋≥＋，
只要证a＋b≥(＋)．
即证(a＋b－)(＋)≥(＋)，
因为a，b是正实数，即证a＋b－≥，
也就是要证a＋b≥2，即(－)2≥0.
而该式显然成立，所以＋≥＋.
综合法和分析法的综合应用
[探究问题]
1．在实际解题时，综合法与分析法能否可以结合起来使用？
[提示] 在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．
2．你会用框图表示综合法与分析法交叉使用时的解题思路吗？
[提示] 用框图表示如下：
其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论．
【例3】 已知a，b，c是不全相等的正数，且0求证：logx＋logx＋logx思路探究：解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质转化成整式不等式证明．
[证明] 要证明：
logx＋logx＋logx只需要证明logx由已知0abc.
由公式≥>0，≥>0，≥>0，
又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴··>＝abc.
即··>abc成立．
∴logx＋logx＋logx1．(变条件)删掉本例条件“0[证明] 要证lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c，只需证lg>lg(a·b·c)，
即证··＞abc.
因为a，b，c为不全相等的正数，
所以≥＞0，≥＞0，≥＞0，
且上述三式中等号不能同时成立，
所以··＞abc成立，
所以lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c成立．
2．(变条件)把本例条件“0[证明] 法一：由左式推证右式
∵abc＝1，且a，b，c为不全相等的正数，
∴＋＋＝bc＋ac＋ab
＝＋＋＞＋＋
＝＋＋.
∴＋＋＞＋＋.
法二：由右式推证左式
∵a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，
∴＋＋＝＋＋
＜＋＋＝ ＋＋.
分析综合法的解题思路
分析综合法的解题思路是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．
1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．
2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”“只需证”“即证”等词语．
3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.
1．欲证－<－成立，只需证( )
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
C [∵－<0，－<0，
故－<－?＋<＋?(＋)2<(＋)2.]
2．在△ABC中，若sin Asin BA．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
C [由sin Asin B0，所以cos C<0, 即△ABC一定是钝角三角形．]
3．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．
a≠b且a≥0，b≥0 [a＋b＞a＋b
?a－a＞b－b?a(－)＞b(－)
?(a－b)(－)＞0?(＋)(－)2＞0，
只需a≠b且a，b都不小于零即可．]
4．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
9 [因为a＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，
所以＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号成立．]
5．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.(请用分析法和综合法两种方法证明)
[证明] 法一：(综合法)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．
因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，
所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
法二：(分析法)要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，
∵a≥b>0.
∴a－b≥0,3a2－2b2>2a2－2b2≥0，∴上式成立．
课时分层作业(十四) 综合法和分析法
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．证明命题“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：
∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－.
∵x>0，∴ex>1,0<<1，∴ex－>0，
即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
他使用的证明方法是( )
A．综合法 B．分析法
C．反证法 D．以上都不是
A [该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故选A.]
2．设P＝，Q＝－，R＝－，那么P，Q，R的大小关系是( )
A．P＞Q＞R B．P＞R＞Q
C．Q＞P＞R D．Q＞R＞P
B [先比较R，Q的大小，可对R，Q作差，即Q－R＝－－(－)＝(＋)－(＋)．
又(＋)2－(＋)2＝2－2＜0，
∴Q＜R，由排除法可知，选B.]
3．要证－＜成立，a，b应满足的条件是( )
A．ab＜0且a＞b
B．ab＞0且a＞b
C．ab＜0有a＜b
D．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b
D [要证－＜，
只需证(－)3＜()3，
即证a－b－3＋3＜a－b，
即证＜，
只需证ab2＜a2b，即证ab(b－a)＜0.
只需ab＞0且b－a＜0或ab＜0且b－a＞0.
故选D.]
4．下面的四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤；
③＋≥2；④(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C [∵(a2＋b2＋c2)－(ab＋bc＋ac)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，
a(1－a)－＝－a2＋a－＝－2≤0，
(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2
≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2，当ab<0时，＋≥2不成立，∴应选C.]
5．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
B [∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋＝＝2＋＋
≥2＋2＝4，
等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，
∴x＋的最小值为4，
要使不等式m2－3m>x＋有解，
应有m2－3m>4，
∴m<－1或m>4，故选B.]
二、填空题
6．如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．
AC⊥BD(答案不唯一) [要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.
因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，
即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.]
7．已知sin α＋sin β＋sin r＝0，cos α＋cos β＋cos r＝0，则cos(α－β)的值为________．
－ [由sin α＋sin β＋sin r＝0，cos α＋cos β＋cos r＝0，得sin α＋sin β＝－sin r，cos α＋cos β＝－cos r，
两式分别平方，相加得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，所以cos(α－β)＝－.]
8．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
≤ [∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b) ＝1＋2＋ab－1－a－b－ab ＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0.
∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，
∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．]
三、解答题
9. 设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，求证：＋＝2.
[证明] 由已知条件得b2＝ac，
2x＝a＋b,2y＝b＋c. ①
要证＋＝2，只要证ay＋cx＝2xy，
只要证2ay＋2cx＝4xy. ②
由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，
所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证．
10. 设a＞0，b＞0,2c＞a＋b，求证：
(1)c2＞ab；
(2)c－＜a＜c＋.
[证明] (1)∵a＞0，b＞0,2c＞a＋b≥2，
∴c＞，平方得c2＞ab.
(2)要证c－＜a＜c＋，
只要证－＜a－c＜，
即证|a－c|＜，即(a－c)2＜c2－ab，
∵(a－c)2－c2＋ab＝a(a＋b－2c)＜0成立，
∴原不等式成立．
[能力提升练]
1．已知函数f(x)＝，a，b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
A [≥≥，又函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上是单调减函数，
∴f≤f()≤f.即A≤B≤C.]
2．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a2＋b2＋c2≥2
B．(a＋b＋c)2≥3
C．＋＋≥2
D．abc(a＋b＋c)≤
B [∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1，
又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
＝a2＋b2＋c2＋2≥3.]
3．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
[若对任意x>0，≤a恒成立，只需求y＝的最大值，且令a不小于这个最大值即可．因为x>0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，所以a的取值范围是.]
4．已知x1是方程x＋2x＝4的根，x2是方程x＋log2x＝4的根，则x1＋x2的值是________．
4 [∵x＋2x＝4，∴2x＝4－x，∴x1是y＝2x与y＝4－x交点的横坐标．
又∵x＋log2x＝4，∴log2x＝4－x，∴x2是y＝log2x与y＝4－x交点的横坐标．
又y＝2x与y＝log2x互为反函数，其图象关于y＝x对称，由得x＝2，∴＝2，∴x1＋x2＝4.]
5．求证抛物线y2＝2px(p＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．
[证明] 如图，作AA′，BB′垂直准线，取AB的中点M，作MM′垂直准线．
要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证
|MM′|＝|AB|，
由抛物线的定义：|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，
因此只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)．
根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．
所以以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切.
