课件38张PPT。第二章 推理与证明2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法用反证法证明否定性命题 用反证法证明唯一性命题 用反证法证明“至多”“至少”问题点击右图进入…Thank you for watching !2.2.2 反证法
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点、易混点)
2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点)
通过反证法的学习，培养学生的逻辑推理的核心素养.
反证法的定义及证题的关键
思考1：反证法的实质是什么？
[提示] 反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．
思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理，这种说法对吗？为什么？
[提示] 反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．
1．“a
A．a≠b B．a>b
C．a＝b D．a＝b或a>b
[答案] D
2．用反证法证明“如果a＞b，那么＞”，假设的内容应是________．
[答案] ≤
3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
③①② [由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.]
4．应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有________．(填序号)
①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．
①②③ [反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．]
用反证法证明否定性命题
【例1】 已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列．求证：，，不成等差数列．
[证明] 假设，，成等差数列，则＋＝2，即a＋c＋2＝4b.
∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝，
∴a＋c＋2＝4，∴(－)2＝0，即＝.
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故，，不成等差数列．
1．用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
2．用反证法证明数学命题的步骤
1．设SA，SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．
[证明] 假设AC⊥平面SOB，如图，
∵直线SO在平面SOB内，
∴SO⊥AC.
∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.
∴SO⊥平面SAB.
∴平面SAB∥底面圆O.
这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．
用反证法证明唯一性命题
【例2】 求证方程2x＝3有且只有一个根．
[证明] ∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则2b1＝3,2b2＝3，
两式相除得2b1－b2＝1.
若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．
∴b1－b2＝0，则b1＝b2.
∴假设不成立，从而原命题得证．
巧用反证法证明唯一性命题
(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．
(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．
(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．
2．求证：两条相交直线有且只有一个交点．
[证明] 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点．
若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．
若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．
综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．
用反证法证明“至多”“至少”问题
[探究问题]
1．你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的含义吗？
[提示]
量词
含义
至少有一个
有n个，其中n≥1
至多有一个
有0或1个
至少有n个
大于等于n个
2.在反证法证明中，你能说出 “至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的反设词吗？
[提示]
量词
反设词
至少有一个
一个也没有
至多有一个
至少有两个
至少有n个
至多有n－1个
【例3】 已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．
[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：
即
∴－＜a＜－1，
这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．
1．(变条件)将本题改为：已知下列三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，如何求实数a的取值范围？
[解] 若三个方程都没有实根，则
解得
即－＜a＜－1，故三个方程至少有一个方程有实根，实数a的取值范围是.
2．(变条件)将例题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a的取值范围．
[解] 假设三个方程都有实数根，则
即
解得即a∈.
所以三个方程中至多有2个方程有实数根时，实数a的取值范围为R.
当命题中出现“至少……”“至多……”“不都……”“都不……”“没有……”“唯一”等指示性词语时，宜用反证法.
提醒：对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误.
用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．
1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )
A．有两个内角是钝角
B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角
D．没有一个内角是钝角
C [“最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.]
2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个正数
D．两个都是负数
C [假设两个数分别为x1，x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.]
3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b?α，直线c?β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．
b与c平行或相交 [∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，
∴应假设b与c平行或相交．]
4. 设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．求证：数列{Sn}不是等比数列．
[证明] 假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾．
所以数列{Sn}不是等比数列．
课时分层作业(十五) 反证法
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( )
A．有一个内角小于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°
D．每一个内角都大于60°
B [由反证法证明命题的格式和语言可知答案B是正确的，所以选B.]
2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
A [依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.]
3．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为( )
A．自然数a，b，c都是奇数
B．自然数a，b，c都是偶数
C．自然数a，b，c中至少有两个偶数
D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
D [反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．]
4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
C [假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故选C.]
5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数 ( )
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
C [若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6①，
而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②，
显然①，②矛盾，所以C正确．]
二、填空题
6．用反证法证明“若函数f(x)＝x2＋px＋q，则|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”时，假设内容是________．
|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于 [“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”的反面是“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于”．]
7．用反证法证明命题“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设________．
x≠－1且x≠1 [反证法的反设只否定结论，或的否定是且，所以是x≠－1且x≠1.]
8．完成反证法证题的全过程．
题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则________均为奇数．
因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
a1－1，a2－2，…，a7－7 (a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) (a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7) [由假设p为奇数可知a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾．]
三、解答题
9. 已知x，y>0，且x＋y>2.
求证：，中至少有一个小于2.
[证明] 假设，都不小于2，
即≥2，≥2.
∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.
∴2＋x＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．
∴，中至少有一个小于2.
10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．
[解] 假设f(x)＝0有整数根n，
则an2＋bn＋c＝0，
由f(0)为奇数，即c为奇数，
f(1)为奇数，即a＋b＋c为奇数，所以a＋b为偶数，
又an2＋bn＝－c为奇数，
所以n与an＋b均为奇数，又a＋b为偶数，
所以an－a为奇数，即(n－1)a为奇数，
所以n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．
所以f(x)＝0无整数根．
[能力提升练]
1．已知a，b，c∈(0,1)，则在(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中， ( )
A．不能同时大于
B．都大于
C．至少一个大于
D．至多有一个大于
A [法一：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.
∵a，b，c都是小于1的正数，∴1－a,1－b,1－c都是正数.＞＞＝，
同理＞，＞.
三式相加，得＋＋＞，
即＞，矛盾．
所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
法二：假设三个式子同时大于，即(1－a)b>，
(1－b)c>，(1－c)a>，三式相乘得
(1－a)b(1－b)c(1－c)a>①
因为0同理，0所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤.②
因为①与②矛盾，所以假设不成立，故选A.]
2．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)( )
A．必在圆x2＋y2＝2上 B．必在圆x2＋y2＝2外
C．必在圆x2＋y2＝2内 D．以上三种情形都有可能
C [∵e＝＝，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2.假设点P(x1，x2)不在圆x2＋y2＝2内，则x＋x≥2，但x＋x＝2－2x1x2＝＋＝＋＝<2，矛盾．
∴假设不成立．∴点P必在圆x2＋y2＝2内．故选C.]
3．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．
丙 [若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．
若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．
若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．
所以获奖的歌手是丙．]
4．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2＜2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
③ [假设a，b均不大于1，即a≤1，b≤1.则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一个大于1”，故选③.]
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
[解] (1)设公差为d，由已知得
∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈N*，
∴
∴2＝pr，(p－r)2＝0，
∴p＝r，这与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
