课件52张PPT。第二章 推理与证明2.3 数学归纳法n＝k＋1 用数学归纳法证明等式 归纳—猜想—证明 用数学归纳法证明不等式点击右图进入…Thank you for watching !2.3 数学归纳法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)
1.通过数学归纳法定义的学习，体现了数学抽象的核心素养.
2.通过数学归纳法的应用，培养学生的逻辑推理的核心素养.
1．数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?
[提示] 不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3.
2．数学归纳法的框图表示
1．下面四个判断中，正确的是( )
A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1
B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋k
C．式子1＋＋＋…＋(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋
D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋
C [A中，n＝1时，式子＝1＋k；
B中，n＝1时，式子＝1；
C中，n＝1时，式子＝1＋＋；
D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.故正确的是C.]
2．如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时，先验证n＝________成立．
[答案] 2
3．已知Sn＝＋＋＋…＋，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想Sn＝________.
[分别将1,2,3,4代入得S1＝， S2＝，S3＝，S4＝，观察猜想得Sn＝.]
用数学归纳法证明等式
【例1】 (1)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________．
(2)用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝(n∈N*)．
(1)2(2k＋1) [令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则
f(k)＝(k＋1) (k＋2)…(k＋k)，
f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)．]
(2)证明： ①当n＝1时，＝成立．
②假设当n＝k(n∈N*)时等式成立，即有
＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋
＝，
即当n＝k＋1时等式也成立．
由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立．
用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点：
?1?弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；
?2?弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；
?3?证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形.
1．求证：1－ ＋ － ＋… ＋ － ＝ ＋ ＋… ＋ (n∈N*)．
[证明] ①当n＝1时，左边＝1－＝，
右边＝，所以等式成立．
②假设n＝k(k∈N*)时， 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋成立．
那么当n＝k＋1时，
1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋，
所以n＝k＋1时，等式也成立．
综上所述，对于任意n∈N*，等式都成立.
归纳—猜想—证明
【例2】 已知数列，，，…，的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．
[解] S1＝ ＝ ；
S2＝ ＋ ＝ ；
S3＝ ＋ ＝ ；
S4＝ ＋ ＝ .
可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.
于是可以猜想Sn＝ .
下面用数学归纳法证明这个猜想．
(1)当n＝1时，左边＝S1＝ ，
右边＝ ＝ ＝ ，
猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即
＋ ＋ ＋… ＋ ＝ ，
则当n＝k＋1时，
＋ ＋ ＋… ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＝
＝，
所以，当n＝k＋1时猜想也成立．
根据(1)和(2)，可知猜想对任意n∈N*都成立．
(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节
(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型
①已知数列的递推公式，求通项或前n项和．
②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．
③给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
2．数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明．
[解] 由a1＝2－a1，得a1＝1；
由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝ ；
由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，得a3＝ ；
由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝ .
猜想an＝ .
下面证明猜想正确：
(1)当n＝1时，由上面的计算可知猜想成立．
(2)假设当n＝k时猜想成立，
则有ak＝ ，
当n＝k＋1时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1，
∴ak＋1＝＝k＋1－ (2k－ )＝ ，
所以，当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)和(2)可知，an＝ 对任意正整数n都成立.
用数学归纳法证明不等式
[探究问题]
1．你能指出下列三组数的大小关系吗？
(1)n，，(n∈N*)；
(2)，，(n∈N*，n>1)；
(3)＋，(n∈N*)．
[提示] (1)(2)<<；
(3)∵＋<＋＝＝，
∴＋<.
2．结合探究问题1，试给出一些常见的不等式放缩方法．
[提示] 在不等式证明时，我们可以使分母变大(小)，从而实现数值变小(大)．如：
(1)＝>
＝2，
＝<
＝2.
(2)<＝－ (k≥2), >＝－.
(3)<＝＝(－)(k≥2)．
【例3】 用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．
思路探究：按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．
[证明] (1)当n＝1时，
≤1＋≤，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，
即1＋ ≤ 1＋ ＋ ＋… ＋ ≤ ＋k，
则当n＝k＋1时，
1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ >1＋ ＋2k· ＝1＋ .
又1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ < ＋k＋2k· ＝ ＋(k＋1)，
即当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立．
3．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)．
[证明] (1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋＋＋…＋所以，当n＝k＋1时不等式成立．
由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立．
4．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n≥2)．
[证明] (1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．
(2)假设n＝k时命题成立，即
1＋＋＋…＋<2－.
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋
<2－＋
<2－＋
＝2－＋－＝2－.即当n＝k＋1时命题成立．
由(1)和(2)知原不等式在n≥2时均成立．
用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f?k?＞g?k?，求证f?k＋1?＞g?k＋1?时应注意灵活运用证明不等式的一般方法?比较法、分析法、综合法?.具体证明过程中要注意以下两点：
?1?先凑假设，作等价变换；
?2?瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论.
在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；
(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．
1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是( )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
C [当n＝1时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故C正确．]
2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是( )
A．(2k＋1)＋(2k＋2) B．(2k－1)＋(2k＋1)
C．(2k＋2)＋(2k＋3) D．(2k＋2)＋(2k＋4)
C [当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．故选C.]
3．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，由此推测，当n＞2时，有________．
[答案] f(2n)＞
4．用数学归纳法证明：＋＋…＋＞－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
＋＋…＋＞－ [从不等式结构看，左边n＝k＋1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数，右边n＝k＋1时，式子为－，即不等式为＋＋…＋＞－.]
5．用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N*时，·…·＝.
[证明] (1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，∴n＝2时等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立，
即·…·＝，
那么当n＝k＋1时，
·…·
＝·＝＝
＝.∴当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N*，等式都成立．
课时分层作业(十六) 数学归纳法
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步验证( )
A．n＝1 B．n＝2
C．n＝3 D．n＝4
C [由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．]
2．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为( )
A．Sk＋ B．Sk＋＋
C．Sk＋－ D．Sk＋－
C [因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk＝＋＋…＋，①
得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.②
由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－
＝－，
故Sk＋1＝Sk＋－.]
3．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了( )
A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
D [当n＝k时，不等式左边的最后一项为，而当n＝k＋1时，最后一项为＝，并且不等式左边和分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项．]
4．对于不等式(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )
A．过程全都正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
D [n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.]
5．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则( )
A．该命题对于n>2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
B [由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2时命题成立，故对所有的正偶数都成立．]
二、填空题
6．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步验证的表达式为________．
21＋1≥12＋1＋2 [当n＝1时，左边≥右边，不等式成立，
∵n∈N*，
∴第一步的验证为n＝1的情形．]
7．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n＝k＋1左边需要添加的因式是________．
2k＋2 [当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，
当n＝k＋1时，
左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，
由k到k＋1需添加的因式为：(2k＋2)．]
8．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出an的表达式为________．
an＝ [a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，猜测an＝.]
三、解答题
9．(1)用数学归纳法证明：
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·(n∈N*)．
(2)求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n·(2n＋1)(n∈N*)．
[证明] (1)①当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0×＝1，
左边＝右边，等式成立．
②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2
＝(－1)k－1·.
则当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k(k＋1)·
＝(－1)k·.
∴当n＝k＋1时，等式也成立，
根据①、②可知，对于任何n∈N*等式成立．
(2)①当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．
当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．
由①②得，等式对任何n∈N*都成立．
10．已知{fn(x)}满足f1(x)＝(x>0)，fn＋1(x)＝f1(fn(x)).
(1)求f2(x)，f3(x)，并猜想fn(x)的表达式；
(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想．
[解] (1)f2(x)＝f1[f1(x)]＝＝，
f3(x)＝f1[f2(x)]＝＝，
猜想：fn(x)＝(n∈N*)．
(2)下面用数学归纳法证明 ，fn(x)＝(n∈N*)．
①当n＝1时，f1(x)＝，显然成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即fk(x)＝，
则当n＝k＋1时，fk＋1＝f1[fk(x)]＝＝，
即对n＝k＋1时，猜想也成立；
结合①②可知，猜想fn(x)＝对一切n∈N*都成立．
[能力提升练]
1．利用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是( )
A．增加了这一项
B．增加了和两项
C．增加了和两项，同时减少了这一项
D．以上都不对
C [不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n＝k时，左端为＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，左端为＋＋＋…＋＋＋，对比两式，可得结论．]
2．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得( )
A．当n＝6时，该命题不成立
B．当n＝6时，该命题成立
C．当n＝4时，该命题不成立
D．当n＝4时，该命题成立
C [若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5命题成立．
它的逆否命题为：若n＝5不成立，则n＝4时该命题也不成立．]
3．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.
π [由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，
故f(k＋1)＝f(k)＋π.]
4．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
5 [当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.]
5．是否存在a，b，c使等式2＋2＋2＋…＋2＝对一切n∈N*都成立，若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．
[解] 取n＝1,2,3可得解得：a＝，b＝，c＝.
下面用数学归纳法证明＋＋＋…＋＝＝.
即证12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，
①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立；
②假设n＝k时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)成立，
则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)，∴当n＝k＋1时等式成立．
由数学归纳法，综合①②知当n∈N*等式成立，
故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立.
