课件54张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算
3.1.5 空间向量运算的坐标表示空间向量的坐标运算 利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 空间向量夹角与长度的计算 点击右图进入…Thank you for watching !3.1.5 空间向量运算的坐标表示
学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)
2．掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点)
1．通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养学生的数学运算核心素养．
2．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
1．空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算
坐标表示
加法
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
2.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b)
a∥b(b≠0)?a＝λb?
垂直(a⊥b)
a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)
模
|a|＝＝
夹角公式
cos〈a，b〉＝＝
思考：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a∥b一定有＝＝成立吗？
[提示] 当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立．
3．向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；
(2)dAB＝||＝．
1．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于( )
A．(16，0，4) B．(8，－16，4)
C．(8，16，4) D．(8，0，4)
D [4a＝(12，－8，4)，2b＝(－4，8，0)，
∴4a＋2b＝(8，0，4)．]
2．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝( )
A．1 B. C. D.
D [ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)，且(ka＋b)·
(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝.]
3．若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________．
－3 [＝(3，－1，1)，＝(m＋1，n－2，－2)．
∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ.
即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)，
∴解得λ＝－2，m＝－7，n＝4.
∴m＋n＝－3.]
4．若点A(0，1，2)，B(1，0，1)，则＝__________，＝__________________．
(1，－1，－1) [＝(1，－1，－1)，||＝＝.]
空间向量的坐标运算
【例1】 (1)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________．
(2)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P的坐标；
①＝(－)；②＝(－)．
(1)2 [c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2.]
(2)解：＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)．
①＝(－)＝(6，3，－4)＝，则点P的坐标为.
②设P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)．
∵＝(－)＝，∴
解得x＝5，y＝，z＝0，则点P的坐标为.
1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
1．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)．求：
(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；
(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．
[解] (1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)
＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)．
(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)
＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2，0，－6)．
(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)
＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.
(4)∵2a＝(4，－2，－4)，
∴2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0，1，－4)
＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.
(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.
利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
【例2】 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，
C(－3，0，4)．设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，c∥，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
思路探究：(1)根据c∥，设c＝λ，则向量c的坐标可用λ表示，再利用|c|＝3求λ值；
(2)把ka＋b与ka－2b用坐标表示出来，再根据数量积为0求解．
[解] (1)∵＝(－2，－1，2)且c∥，
∴设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)．
∴|c|＝＝3|λ|＝3.
解得λ＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．
(2)∵a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，
∴ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，
∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，
解得k＝2或k＝－.
向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
2．已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2)．
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
(2)若|a|＝，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
[解] (1)由a∥b，得
(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，
∴解得
∴实数λ＝，m＝3.
(2)∵|a|＝，且a⊥c，
∴
化简，得解得λ＝－1.
因此，a＝(0，1，－2)．
空间向量夹角与长度的计算
[探究问题]
1．已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点P的坐标是多少？
[提示] P.
2．设异面直线AB，CD所成的角为θ，则cos θ＝cos〈，〉一定成立吗？
[提示] 当cos〈，〉≥0时，cos θ＝cos〈，〉，
当cos〈，〉<0时，cos θ＝－cos〈，〉．
【例3】 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；
(3)求证：BN⊥平面C1MN.
思路探究：→→
→→
[解] (1)如图所示，建立空间直角坐标系C-xyz.
依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴||＝＝，
∴线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又||＝，||＝.
∴cos〈，〉＝＝.
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
(3)证明：依题意得A1(1，0，2)，C1(0，0，2)，B(0，1，0)，
N(1，0，1)，M，
∴＝，＝(1，0，－1)，
＝(1，－1，1)，
∴·＝×1＋×(－1)＋0×1＝0，
·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.
∴⊥，⊥，
∴BN⊥C1M，BN⊥C1N，
又∵C1M∩C1N＝C1，C1M?平面C1MN，C1N?平面C1MN，
∴BN⊥平面C1MN.
向量夹角的计算步骤
(1)建系：结合图形建立适当的空间直角坐标系，建系原则是让尽可能多的点落到坐标轴上．
(2)求方向向量：依据点的坐标求出方向向量的坐标．
(3)代入公式：利用两向量的夹角公式将方向向量的坐标代入求出夹角．
3．如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．
[解] (1)证明：设＝p，＝q，＝r.
由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60°.
＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，
∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)
＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0.
∴⊥，即MN⊥AB.
同理可证MN⊥CD.
(2)设向量与的夹角为θ.
∵＝(＋)＝(q＋r)，
＝－＝q－p，
∴·＝(q＋r)·＝
＝
＝＝.
又∵||＝||＝a，
∴·＝||||cos θ＝a×a×cos θ＝.
∴cos θ＝.
∴向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.
1．在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．
2．两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则|AB|＝||＝
＝.
3．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．
1．已知A(3，3，3)，B(6，6，6)，O为原点，则与的夹角是( )
A．0 B．π
C.π D．2π
B [＝(3，3，3)，＝(－6，－6，－6)
则·BO＝3×(－6)＋3×(－6)＋3×(－6)＝－54，||＝3，||＝6
所以cos〈，〉＝＝＝－1，所以〈，〉＝π.]
2．已知a＝(1，x，3)，b＝(－2，4，y)，若a∥b，则x－y＝________．
4 [∵a∥b，∴b＝λa.
∴∴
∴x－y＝4.]
3．若a＝(2，3，－1)，b＝(－2，1，3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．
6 [a·b＝2×(－2)＋3×1＋(－1)×3＝－4，|a|＝，|b|＝，
∴cos〈a，b〉＝＝－.
∴sin〈a，b〉＝＝.
因此以a，b为邻边的平行四边形的面积为|a||b|sin〈a，b〉＝××＝6.]
4．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点．利用空间向量解决下列问题：
(1)求EF与B1C所成的角；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值；
(3)求F，H两点间的距离．
[解] 如图所示，以DA，DC，DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系D-xyz，
则D(0，0，0)，E，F，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G.
(1)＝，＝(－1，0，－1)，
∴·＝·(－1，0，－1)＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0.
∴⊥，即EF⊥B1C.
∴EF与B1C所成的角为90°.
(2)因为＝.
则||＝.
又||＝，且·＝，
∴cos〈，〉＝＝，
即EF与C1G所成角的余弦值为.
(3)∵H是C1G的中点，∴H.又F，
∴FH＝||
＝＝.
课时分层作业(十七) 空间向量运算的坐标表示
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
A [b＝a－(a－b)＝(1，－2，1)－(－1，2，－1)＝(2，－4，2)．]
2．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为( )
A. B.
C. D.
C [∵AB的中点M，
∴＝，故|CM|＝||
＝ ＝.]
3.已知a＝(x，1，2)，b＝(1，2，－y)，且(2a＋b)∥(－a＋2b)，则( )
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
B [2a＋b＝(2x＋1，4，4－y)，－a＋2b＝(2－x，3，－2y－2)，∵(2a＋b)∥(－a＋2b)，则存在非零实数λ，使得2a＋b＝λ(－a＋2b)，∴∴]
4．已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1)，若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
A [∵b－c＝(－2，3，1)，a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.]
5．已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉＝( )
A. B.
C. D.
C [由已知，得a＝(1，，)，b＝(1，0，)，∴cos〈a，b〉＝＝＝.]
二、填空题
6．已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________．
－1 [∵p＝a－b＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0，3，1)，
∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]
7．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是________．
90° [a＋b＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．]
8．已知点A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，O(0，0，0)，点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，点Q的坐标为________．
[设＝λ＝(λ，λ，2λ)，故Q(λ，λ，2λ)，故＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．
则·＝6λ2－16λ＋10＝6－，当·取最小值时，λ＝，此时Q点的坐标为.]
三、解答题
9．如图，已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A1A＝6，且A1A⊥底面ABCD.点P，Q分别在棱DD1，BC上．若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ.
[解] 由题设知，AA1，AB，AD两两垂直．以A为坐标原点，分别以，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B1(3，0，6)，D(0，6，0)，D1(0，3，6)．设Q(6，m，0)，其中m＝BQ，0≤m≤6.
若P是DD1的中点，则P，
＝.又＝(3，0，6)，于是·＝18－18＝0，所以⊥，即AB1⊥PQ.
10．已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．
[解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h，
由题意得A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，B1(，0，h)，C1(0，1，h)，
则＝(，1，h)，＝(－，1，h)，
因为AB1⊥BC1，所以·＝－3＋1＋h2＝0，
所以h＝.
(2)由(1)可知＝(，1，)，＝(－，1，0)，
所以·＝－3＋1＝－2.
因为||＝，||＝2，所以cos〈，〉＝＝－.
所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.
[能力提升练]
1．已知A(1，2，－1)，B(5，6，7)，则直线AB与平面xOz交点的坐标是( )
A．(0，1，1) B．(0，1，－3)
C．(－1，0，3) D．(－1，0，－5)
D [设直线AB与平面xOz交点的坐标是M(x，0，z)，则＝(x－1，－2，z＋1)．又＝(4，4，8)，与共线，∴＝λ，即，解得x＝－1，z＝－5，
∴点M的坐标为(－1，0，－5)．故选D.]
2．直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
C [建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，设BC＝2，则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以＝(1，－1，2)，＝(－1，0，2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cos θ＝＝＝.]
3．如图，在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，当∠VDC＝60°时，异面直线AC与VD所成角的余弦值为________．
[由题意，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，0)，D(1，1，0)，当∠VDC＝60°时，在Rt△VCD中，CD＝，VC＝，VD＝2，∴V(0，0，)，∴＝(－2，0，0)，＝(1，1，－)，∴cos〈，〉＝＝－，∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为.]
4．设向量a＝(1，－2，2)，b＝(－3，x，4)，已知a在b上的投影为1，则x＝________．
0 [∵a在b上的投影为1，∴|a|·cos〈a，b〉＝1，∴a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝|b|，∴－3－2x＋8＝，解得x＝0或x＝(舍去)．]
5．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F为PC的中点，AF⊥PB.求PA的长．
[解] 如图，连接BD交AC于O，因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD，故AC⊥BD.以O为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系O-xyz.
因为OC＝CDcos ＝1，AC＝4，所以AO＝AC－OC＝3，又OB＝OD＝CDsin ＝，故A(0，－3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)．
由PA⊥底面ABCD，可设P(0，－3，z)，其中z>0.
由F为PC的中点，得F，所以＝，＝(，3，－z)．
又AF⊥PB，所以·＝0，即6－＝0，解得z＝2或z＝－2(舍去)．所以＝(0，0，－2)，则||＝2.
所以PA的长为2.
