课件50张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行关系方向向量平行或共线无数a∥b a·u＝0 u∥v 求平面的法向量 利用空间向量证明线线平行 利用空间向量证明线面、面面平行 点击右图进入…Thank you for watching !课件42张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.2 立体几何中的向量方法
第2课时 空间向量与垂直关系a·b＝0 a∥u a＝ku u⊥v u·v＝0 应用向量法证明线面垂直 应用向量法证明面面垂直 点击右图进入…Thank you for watching !课件63张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.2 立体几何中的向量方法
第3课时 空间向量与空间角|cos
| |cos| 求两条异面直线所成的角 求直线与平面所成的角 求二面角 点击右图进入…Thank you for watching !3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点)
2.熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)
1.通过平面法向量的学习，培养学生数学运算的核心素养．
2.借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
1．直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量的定义
直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．
(2)平面的法向量的定义
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．
思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？
[提示] 不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量．
2．空间中平行关系的向量表示
线线平行
设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m?a∥b?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)
线面平行
设l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
面面平行
设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?u∥v?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)
1．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1，2，3) B．(1，3，2)
C．(2，1，3) D．(3，2，1)
A [＝(2，4，6)＝2(1，2，3)．]
2．若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
D [∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．]
3．已知＝(－3，1，2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2，4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为( )
A．AB⊥α B．AB?α
C．AB与α相交但不垂直 D．AB∥α
D [因为n·＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n⊥.又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D.]
4．若直线l的方向向量a＝(2，2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6，8，4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
l?α或l∥α [∵μ·a＝－12＋16－4＝0，
∴μ⊥a，∴l?α或l∥α.]
求平面的法向量
【例1】 如图，已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．
(1)求平面ABCD的一个法向量；
(2)求平面SAB的一个法向量；
(3)求平面SCD的一个法向量．
[解] 以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，S(0，0，1)．
(1)∵SA⊥平面ABCD，
∴＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量．
(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，∴AD⊥平面SAB，
∴＝是平面SAB的一个法向量．
(3)在平面SCD中，＝，＝(1，1，－1)．
设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，所以
得方程组∴
令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴平面SCD的一个法向量为n＝(2，－1，1)．
1．利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，.
(3)列方程组：由列出方程组．
(4)解方程组：
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．
(6)得结论：得到平面的一个法向量．
2．求平面法向量的三个注意点
(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．
(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．
(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.
1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面BDD1B1的一个法向量；
(2)平面BDEF的一个法向量．
[解] 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2)．
(1)连接AC(图略)，因为AC⊥平面BDD1B1，所以＝(－2，2，0)为平面BDD1B1的一个法向量．
(2)＝(2，2，0)，＝(1，0，2)．
设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．
∴
∴∴
令x＝2，得y＝－2，z＝－1.
∴n＝(2，－2，－1)即为平面BDEF的一个法向量．
利用空间向量证明线线平行
【例2】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
[解] 以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E，C1(0，1，1)，F，
∴＝，
＝，＝，＝，
∴＝，＝，
∴∥，∥，
又∵FAE，FEC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，
∴四边形AEC1F是平行四边形．
1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面．
2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．
3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．
2．长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.
[证明] 如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标：
A(a，0，0)，C1(0，b，c)，E，F.
∴＝，＝(－a，b，c)，
∴＝.
又FE与AC1不共线，∴直线EF∥AC1.
利用空间向量证明线面、面面平行
[探究问题]
在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？
[提示] 可设几何体的棱长为1或a，再求点的坐标．
【例3】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
思路探究：
[证明] 法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M，
N，于是＝(1，0，1)，＝(1，1，0)，
＝.
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n.∴MN∥平面A1BD.
法二：＝－＝－＝(－)＝，∴∥，∴MN∥平面A1BD.
法三：＝－＝－＝－＝－＝－.
即可用与线性表示，故与，是共面向量，故MN∥平面A1BD.
1．本例中条件不变，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.
[证明] 由例题解析知，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，
则＝(0，－1，1)，＝(1，1，0)，
设平面CB1D1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则，即
令y1＝1，可得平面CB1D1的一个法向量为m＝(－1，1，1)，
又平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
所以m＝－n，所以m∥n，故平面A1BD∥平面CB1D1.
2.若本例换为：在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.
[证明] ∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE.
又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，∴＝(0，2，2)，＝(2，2，0)，＝(2，0，－2)．
设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1，1，－1)，
∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n.
∵AB平面DEG，
∴AB∥平面DEG.
1．向量法证明线面平行的三个思路
(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.
(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
2．证明面面平行的方法
设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β?μ∥v.
1．应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．
2．证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β?n1∥n2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
1．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
D [∵l1∥l2，∴a∥b，
∴存在λ∈R，使a＝λb，
则有2＝3λ，4＝λx，5＝λy，
∴x＝6，y＝.]
2．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与坐标平面( )
A．xOy平行 B．xOz平行
C．yOz平行 D．yOz相交
C [＝(0，5，－3)，坐标平面yOz的一个法向量为n＝(1，0，0)，因为·n＝0，所以⊥n.
故线段AB与坐标平面yOz平行．]
3．已知直线l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，且l∥α，则m＝________．
－8 [∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直．
∴(2，m，1)×＝2＋m＋2＝0.
解得m＝－8.]
4．在长方体OAEB-O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q，R分别是棱O1B1，AE的中点．求证：PQ∥RS.
[解] 如图，建立空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0)．
易求得P，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S，
于是＝，＝.
∴＝，∴∥.∵RPQ，∴PQ∥RS.
第2课时 空间向量与垂直关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能利用平面法向量证明两个平面垂直．(重点)
2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．(重点、难点)
借助应用向量证明线面垂直和面面垂直的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.
空间中垂直关系的向量表示
线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
线面垂直
设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥u?a＝ku?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)
面面垂直
若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β ? u⊥v ?u·v＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？
[提示] 垂直．
1．若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l?α D．l与α斜交
B [∵n＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a，
∴n∥a，∴l⊥α.]
2．设直线l的方向向量u＝(－2，2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6，12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
B [因为直线l⊥平面α，所以u∥v，则＝＝，解得t＝－4，故选B.]
3．若直线l1的方向向量为u1＝(1，3，2)，直线l2上有两点A(1，0，1)，B(2，－1，2)，则两直线的位置关系是______．
l1⊥l2 [＝(1，－1，1)，u1·＝1×1－3×1＋2×1＝0，
因此l1⊥l2.]
4．已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1，0，1)，u2＝(0，2，0)，则平面α，β的位置关系为________．
α⊥β [u1·u2＝0，则α⊥β.]
应用向量法证明线面垂直
【例1】 如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
求证：AB1⊥平面A1BD.
思路探究：法一：通过证明⊥，⊥，得到AB1⊥BA1，AB1⊥BD
法二：证明与平面A1BD的法向量平行．
[证明] 法一：如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)．所以＝(1，2，－)，＝(－1，2，)，＝(－2，1，0)．
因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0.
·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0.
所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.
又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.
法二：建系同方法一．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则，即
令x＝1得平面A1BD的一个法向量为n＝(1，2，－)，
又＝(1，2，－)，所以n＝，即∥n.
所以AB1⊥平面A1BD.
1．坐标法证明线面垂直有两种思路
法一：(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
法二：(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)求出平面的法向量；
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否则常常选用法一解决．
1.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，求证：直线PB1⊥平面PAC.
[证明] 依题设，以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz，则C(1，0，0)，P(0，0，1)，A(0，1，0)，B1(1，1，2)，
于是＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，＝(1，1，1)，
∴·＝(－1，1，0)·(1，1，1)＝0，
·＝(－1，0，1)·(1，1，1)＝0，
故⊥，⊥，即PB1⊥CP，PB1⊥CA，
又CP∩CA＝C，且CP?平面PAC，CA?平面PAC.
故直线PB1⊥平面PAC.
应用向量法证明面面垂直
【例2】 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
思路探究：要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1·n2＝0.
[解] 由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E，
则＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，＝(－2，0，)．
设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
则?
令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1，1，0)．
设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
则?
令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1，4)．
∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.
∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．
2．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为三角形A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC.A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．
证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
[证明] 如图，建立空间直角坐标系．则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，
A1(0，0，)，C1(0，1，)，
因为D为BC的中点，
所以D点坐标为(1，1，0)，
所以＝(－2，2，0)，＝(1，1，0)，＝(0，0，)，
因为·＝－2＋2＋0＝0，·＝0＋0＋0＝0，
所以⊥，⊥，所以BC⊥AD，BC⊥AA1，
又AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面ADA1，而BC?平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
空间垂直关系的解决策略
几何法
向量法
线线
垂直
(1)证明两直线所成的角为90°.
(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直
两直线的方向向量互相垂直
线面
垂直
对于直线l，m，n和平面α
(1)若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m与n相交，则l⊥α.
(2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α
(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量
面面
垂直
对于直线l，m和平面α，β
(1)若l⊥α，l?β，则α⊥β.
(2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β.
(3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β
证明两个平面的法向量互相垂直
1．若直线l的方向向量a＝(8，－12，0)，平面α的法向量μ＝(2，－3，0)，则直线l与平面α的位置关系是( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．直线l与平面α相交但不垂直
D．无法确定
B [∵μ＝a.
∴μ∥a，∴l⊥α.]
2．已知＝(2，2，1)，＝(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法向量为( )
A. B.
C. D.
B [设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有取x＝1，则y＝－2，z＝2.
所以n＝(1，－2，2)．由于|n|＝3，所以平面ABC的一个单位法向量可以是.]
3．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，2，3)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________．
－5 [∵α⊥β，∴a⊥b，
∴a·b＝x－4＋9＝0，
∴x＝－5.]
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED⊥平面B1BD.
[证明] 以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，B1(1，1，1)，E，＝(1，1，1)，＝，设平面B1DE的法向量为n1＝(x，y，z)，则x＋y＋z＝0且y＋z＝0，令z＝－2，则y＝1，x＝1，∴n1＝(1，1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量为n2＝(1，－1，0)，由n1·n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD.
第3课时 空间向量与空间角
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点)
2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点)
通过利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养.
空间角的向量求法
角的分类
向量求法
范围
两异面直线l1与l2所成的角θ
设l1与l2的方向向量为a，b，则cos θ＝|cos|＝
直线l与平面α所成的角θ
设l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos|＝
二面角α-l-β的平面角θ
设平面α，β的法向量为n1，n2，则|cos θ|＝|cos|＝
[0，π]
思考：(1)直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？
(2)二面角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？
[提示] (1)设n为平面α的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面α所成的角为θ，则
θ＝
(2)
条件
平面α，β的法向量分别为，，，所构成的二面角的大小为，〈u，υ〉＝φ，
图形
关系
θ＝φ
θ＝π－φ
计算
cos θ＝cos φ
cos θ＝－cos φ
1．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是( )
A．等于90° B．小于90°
C．大于90° D．不确定
A [A1B1⊥平面BCC1B1，
故A1B1⊥MN，
则·＝(＋)·＝·＋·＝0，
∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.]
2．已知二面角α-l-β等于θ，异面直线a，b满足a?α，b?β，且a⊥l，b⊥l，则a，b所成的角等于( )
A．θ B．π－θ
C.－θ D．θ或π－θ
D [应考虑0≤θ≤与＜θ≤π两种情况．]
3．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
B [设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝60°，应选B.]
4．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AC与BC1所成角的余弦值为________．
[如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，C1(1，1，3)．
∴＝(1，1，0)，＝(0，1，3)，
cos〈，〉＝
＝＝＝.
综上，异面直线AC与BC1所成角的余弦值为.]
求两条异面直线所成的角
【例1】 如图，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，O1(0，1，)，A(，0，0)，A1(，1，)，B(0，2，0)，
∴＝(－，1，－)，
＝(，－1，－)．
∴|cos〈，〉
＝
＝＝.
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
1．几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可．
2．由于两异面直线夹角θ的范围是，而两向量夹角α的范围是[0，π]，故应有cos θ＝|cos α|，求解时要特别注意．
1．已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
C [依题意，建立坐标系如图所示，设四棱锥
S-ABCD的棱长为，
则A(0，－1，0)，B(1，0，0)，S(0，0，1)，D(－1，0，0)，
∴E点坐标为，
＝，
＝(－1，0，－1)，
∴cos〈，〉＝＝－，
故异面直线所成角的余弦值为.故选C.]
求直线与平面所成的角
【例2】 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
思路探究：(1)线面平行的判定定理?MN∥平面PAB.
(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角?直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
[解] (1)证明：由已知得AM＝AD＝2.
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TNAM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
因为AT?平面PAB，MN平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)如图，取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，
且AE＝＝＝.
以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
由题意知P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N，
＝(0，2，－4)，＝，
＝.
设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则
即
可取n＝(0，2，1)．
于是|cos〈n，〉|＝＝.
所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.
若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：
2.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.
(1)求证：PD⊥平面PAB.
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
[解] (1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A，
所以PD⊥平面PAB.
(2)取AD的中点O，连接PO，CO.
因为PA＝PD，所以PO⊥AD.
又因为PO?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD.
因为CO?平面ABCD，所以PO⊥CO.
因为AC＝CD，所以CO⊥AD.
如图，建立空间直角坐标系O-xyz.
由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则
即
令z＝2，则x＝1，y＝－2.
所以n＝(1，－2，2)．
又＝(1，1，－1)，所以cos〈n，〉＝＝－.
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.
(3)设M是棱PA上一点，
则存在λ∈[0，1]使得＝λ.
因此点M(0，1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ)．
因为BM平面PCD，所以要使BM∥平面PCD当且仅当·n＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2，2)＝0.
解得λ＝.所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD，此时＝.
求二面角
[探究问题]
1．建立空间直角坐标系时，如何寻找共点的两两垂直的三条直线？
[提示] 应充分利用题目给出的条件，如线面垂直，面面垂直，等腰三角形等，作出适当的辅助线然后证明它们两两垂直，再建系．
2．如何确定二面角与两个平面的法向量所成角的大小关系？
[提示] 法一：观察法，通过观察图形，观察二面角是大于，还是小于.
法二：在二面角所含的区域内取一点P，平移两个平面的法向量，使它们的起点为P，然后观察法向量的方向，若两个法向量同时指向平面内侧或同时指向外侧，则二面角与法向量的夹角互补，若两个法向量方向相反，则二面角与法向量的夹角相等．
【例3】 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A-PB-C的余弦值．
思路探究：(1)先证线面垂直，再证面面垂直；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
[解] (1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.
因为AB∥CD，所以AB⊥PD.
又AP∩DP＝P，所以AB⊥平面PAD.
因为AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为点F.
由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，又AD∩AB＝A，可得PF⊥平面ABCD.
以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.
由(1)及已知可得A，P，B，C，
所以＝，＝(，0，0)，
＝，＝(0，1，0)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则
即
所以可取n＝(0，－1，－)．
设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的一个法向量，则
即
所以可取m＝(1，0，1)，则cos〈n，m〉＝＝＝－.
所以二面角A-PB-C的余弦值为－.
利用向量法求二面角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；
(5)确定二面角的大小．
3．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．
(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E-AG-C的大小．
[解] (1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP?平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.
又BP?平面ABP，所以BE⊥BP.
又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.
(2)以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得A(0，0，3)，E(2，0，0)，
G(1，，3)，C(－1，，0)，
故＝(2，0，－3)，＝(1，，0)，＝(2，0，3)．
设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，
由可得
取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量m＝(3，－，2)．
设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量，
由可得
取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－，－2)．
所以cos〈m，n〉＝＝.
故所求二面角E-AG-C的角为60°.
向量法求角
(1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得，即cos θ＝|cos φ|.
(2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ.
(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角．
1.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
D [以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz(图略)，设AB＝1.
则B(1，1，0)，A1(1，0，2)，A(1，0，0)，D1(0，0，2)，＝(0，1，－2)，＝(－1，0，2)，
cos〈，〉＝＝＝－，
∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.]
2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
B [设正方体的棱长为1，依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)
∴＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)
设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)，
∴令x＝1，∴n＝(1，1，1)，又∵＝(0，0，1)，
∴BB1与平面ACD1所成角的正弦值为
＝.]
3．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为________．
± [设a＝(0，－1，3)，b＝(2，2，4)，则cos〈a，b〉＝＝，又因为两向量的夹角与二面角相等或互补，所以这个二面角的余弦值为±.]
4．如图，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.
(1)求证：AB∥GH；
(2)求二面角D-GH-E的余弦值．
[解] (1)证明：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC.
又因为EF平面PCD，DC?平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
又因为EF?平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，
所以EF∥GH.又因为EF∥AB，所以AB∥GH.
(2)在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，
所以∠ABQ＝90°.又因为PB⊥平面ABQ，
所以BA，BQ，BP两两垂直．
以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设BA＝BP＝BQ＝2，
则E(1，0，1)，F(0，0，1)，Q(0，2，0)，D(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，所以＝(－1，2，－1)，＝(0，2，－1)，＝(－1，－1，2)，＝(0，－1，2)．
设平面EFQ的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
由m·＝0，m·＝0，
得取y1＝1，得m＝(0，1，2)．
设平面PDC的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，
由n·＝0，n·＝0，
得取z2＝1，得n＝(0，2，1)．
所以cos〈m，n〉＝＝.
因为二面角D-GH-E为钝角，
所以二面角D-GH-E的余弦值为－.
课时分层作业(十八) 空间向量与平行关系
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知直线l的方向向量是a＝(3，2，1)，平面α的法向量是u＝(－1，2，－1)，则l与α的位置关系是( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l?α
D [因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u，所以l∥α或l?α.]
2．已知A(0，y，3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2，1，3)与直线AB的方向向量平行，则y＋z等于( )
A．－3 B．0 C．1 D．3
B [由题意，得＝(－1，－2－y，z－3)，则＝＝，解得y＝－，z＝，所以y＋z＝0，故选B.]
3．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1，1) B.
C. D.
B [对于B，＝，
则n·＝(3，1，2)·＝0，
∴n⊥，则点P在平面α内．]
4．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．在平面内 D．平行或在平面内
D [∵＝λ＋μ，∴，，共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．]
5．平面α的法向量u＝(x，1，－2)，平面β的法向量v＝，已知α∥β，则x＋y＝( )
A. B.
C．3 D.
A [由题意知，∵α∥β，∴u＝λv，即解得λ＝－4，y＝－，x＝4，∴x＋y＝4－＝.]
二、填空题
6．如图，在正三棱锥S-ABC中，点O是△ABC的外心，点D是棱BC的中点，则平面ABC的一个法向量可以是________，平面SAD的一个法向量可以是________．
， [由题意知SO⊥平面ABC，BC⊥平面SAD.
因此平面ABC的一个法向量可以是，平面SAD的一个法向量可以是.]
7．若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，且a与b为共线向量，则x＝________，y＝________．
－ [由题意得＝＝，∴x＝，y＝－.]
8．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m，1)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，则实数m的值是________．
－3 [∵l∥平面ABC，
∴存在实数x，y，使a＝x＋y，＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，
∴(2，m，1)＝x(1，0，－1)＋y(0，1，－1)
＝(x，y，－x－y)，
∴∴m＝－3.]
三、解答题
9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，利用向量法证明：
(1)MN∥平面CC1D1D；
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
[证明] (1)以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1)．
由正方体的性质知AD⊥平面CC1D1D，所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量．
由于＝(0，1，－1)，则·＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥.
又MN平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.
(2)由于＝(0，2，0)，＝(0，2，0)，所以∥，
即MP∥DC.
由于MP平面CC1D1D，所以MP∥平面CC1D1D.
又由(1)，知MN∥平面CC1D1D，MN∩MP＝M，
所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP∥平面CC1D1D.
10.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．
[解] 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0) 设E(0，y，z)，则
＝(0，y，z－1)，＝(0，2，－1)，
∵∥，∴y(－1)－2(z－1)＝0，①
∵＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，
＝(－1，y－1，z)，
∴由CE∥平面PAB 可得⊥，
∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0，
∴y＝1，代入①式得z＝.∴E是PD的中点，
即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.
[能力提升练]
1．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝与平面α都平行，则向量a等于( )
A.
B.
C.
D.
D [由题意，知a·b＝0，a·c＝0，
即，
解得，所以a＝.]
2．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
四个结论中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [∵＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴∥，从而A1M∥D1P.
可得①③④正确．
又B1Q与D1P不平行，故②不正确．]
3．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.
2∶3∶(－4) [因为＝，
＝，
又因为a·＝0，a·＝0，
所以
解得
所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．]
4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________．
[建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，
设|AB|＝a，点P坐标为(0，0，b)
则B1(a，0，1)，D(0，1，0)，E
＝(a，0，1)，＝
＝(0，－1，b)，∵DP∥平面B1AE，
∴存在实数λ，μ，设＝λ＋μ，
即(0，－1，b)＝λ(a，0，1)＋μ
＝.
∴∴b＝λ＝，即AP＝.]
5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设正方体的棱长为2，
则O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，
∴＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，1)，＝(－2，－2，2)．
设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，
则，即
令x＝1，则y＝1，z＝2，
∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1，1，2)．
若平面D1BQ∥平面PAO，则n1也是平面D1BQ的一个法向量．设Q(0，2，c)，则＝(－2，0，c)，
∴n1·＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1，
这时n1·＝－2－2＋4＝0.
∴当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
课时分层作业(十九) 空间向量与垂直关系
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )
A．4 B．－4 C．5 D．－5
D [∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.
∴k＝－5.]
2．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )
A.，－，4 B.，－，4
C.，－2，4 D．4，，－15
B [∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，
又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥，
则解得]
3．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )
A.⊥ B.⊥
C.⊥ D.⊥
D [由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．]
4．已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，点D满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为( )
A．(1，1，1)
B．(－1，－1，－1)或
C.
D．(1，1，1)或
D [设D(x，y，z)，则＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y，z)，＝(－1，0，1)，
＝(－1，1，0)，
＝(0，－1，1)．
又⊥?－x＋z＝0， ①
⊥?－x＋y＝0， ②
＝?(x－1)2＋y2＋z2＝2， ③
联立①②③得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－，所以点D的坐标为(1，1，1)或.故选D.]
5.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则( )
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
B [建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则＝(1，0，1)，
＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)，
E，F，
＝，∴·＝0，·＝0，
∴EF⊥A1D，EF⊥AC.]
二、填空题
6．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．
①②③ [·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则⊥，则AB⊥AP.·＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则⊥，则AP⊥AD.又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量．]
7．已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．
0 [∵a·b＝(0，1，1)·(1，1，0)＝1≠0，a·c＝(0，1，1)·(1，0，1)＝1≠0，b·c＝(1，1，0)·(1，0，1)＝1≠0，∴a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直．]
8．已知空间三点A(－1，1，1)，B(0，0，1)，C(1，2，－3)，若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．
[设M(x，y，z)，∵＝(1，－1，0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，由题意，得
，∴x＝－，y＝，z＝1，∴点M的坐标为.]
三、解答题
9.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.
[证明] 以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，F(，，1)，M.
所以＝，＝(0 ，1)，＝(，－，0)．
设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，
则n⊥，n⊥，
所以?
取y＝1，得x＝1，z＝－.
则n＝(1，1，－)．
因为＝.
所以n＝－ ，得n与共线．
所以AM⊥平面BDF.
10．如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.
求证：平面DEA⊥平面ECA.
[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，不妨设CA＝2，
则CE＝2，BD＝1，C(0，0，0)，A(，1，0)，B(0，2，0)，
E(0，0，2)，D(0，2，1)．
所以＝(，1，－2)，＝(0，0，2)，＝(0，2，－1)．
分别设平面CEA与平面DEA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
则
即
解得
即
解得
不妨取n1＝(1，－，0)，
n2＝(，1，2)，
因为n1·n2＝0，所以n1⊥n2.
所以平面DEA⊥平面ECA.
[能力提升练]
1．两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是( )
A．－3 B．6 C．－6 D．－12
B [∵μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)分别为α，β的法向量且α⊥β，∴μ⊥v，
即μ·v＝0，－6＋y＋z＝0
∴y＋z＝6.]
2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是( )
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在DQ与平面A1BD垂直
D [以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D，P(0，2，0)，＝(1，0，1)，＝，＝(－1，2，0)，＝.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2，1，－2)．假设DQ⊥平面A1BD，且＝λ＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，则＝＋＝，因为也是平面A1BD的法向量，所以n＝(2，1，－2)与＝共线，于是有＝＝＝成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ与平面A1BD垂直，故选D.]
3.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________．
垂直 [以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则E，F，
∴＝，平面PBC的一个法向量n＝(0，1，1)，∵＝－n，
∴∥n，
∴EF⊥平面PBC.]
4．设A是空间任意一点，n是空间任意一个非零向量，则适合条件·n＝0的点M的轨迹是________．
过点A且与向量n垂直的平面 [∵·n＝0，∴⊥n或＝0，∴点M在过点A且与向量n垂直的平面上．]
5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝AD.
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由．
[解] 因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD.又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设AD＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)．
(1)证明：＝(0，0，1)，＝(1，1，0)，＝(－1，1，0)，
可得·＝0，·＝0，所以AP⊥CD，AC⊥CD.
又因为AP∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.
(2)设侧棱PA的中点是E，则E，＝.
设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则因为＝(－1，1，0)，＝(0，2，－1)，所以取x＝1，则y＝1，z＝2，所以平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，2)．
所以n·＝(1，1，2)·＝0，所以n⊥.
因为BE平面PCD，所以BE∥平面PCD.
综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD.
课时分层作业(二十) 空间向量与空间角
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为( )
A．30° B．150°
C．30°或150° D．以上均不对
A [l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为.应选A.]
2．已知二面角α-l-β的两个半平面α与β的法向量分别为a，b，若〈a，b〉＝，则二面角α-l-β的大小为( )
A. B.
C.或 D.或
C [由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角α-l-β的大小为或，故选C.]
3.如图，空间正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是( )
A. B.
C. D.
D [以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系(图略)，设棱长为1，A1(1，0，1)，M，D(0，0，1)，N，则＝，＝，
cos〈，〉＝＝0.
∴〈，〉＝.]
4．已知在正四面体A-BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( )
A. B. C. D.
B [
作AO⊥平面BCD于点O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD为y轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设AB＝2，则O(0，0，0)，A，C，E，∴＝，＝，∴cos〈，〉＝＝＝.∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为.]
5．如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C-BF-D的正切值为( )
A. B.
C. D.
D [如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz.
设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以O(0，0，0)，B，F，C，＝，易知为平面BDF的一个法向量，由＝，＝，可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，，)．所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，所以tan〈n，〉＝.故二面角C-BF-D的正切值为.]
二、填空题
6．若直线l的方向向量a＝(－2，3，1)，平面α的一个法向量n＝(4，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．
[由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝.]
7．已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．
[如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0，0，1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．
所以A(1，0，0)，E，F，
所以＝，＝，
则即
取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1，3)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝.
所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cos α＝，sin α＝，所以tan α＝.]
8．如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________．
[取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
设BC＝1，则A，B，C，D，所以＝，＝，＝.
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则，所以，取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，所以cos〈n，〉＝，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.]
三、解答题
9.如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点．
(1)求异面直角AB与CE所成角的大小；
(2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值．
[解] (1)∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB?平面ABDE，∴DB⊥平面ABC.
∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC.
如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系．
∵AC＝BC＝4，∴C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，4，0)，E(4，0，4)，
∴＝(－4，4，0)，＝(4，0，4)．
∴cos〈，〉＝＝－，
∴异面直线AB与CE所成角的大小为.
(2)由(1)知O(2，0，2)，D(0，4，2)，M(2，2，0)，
∴＝(0，4，2)，＝(－2，4，0)，＝(－2，2，2)．
设平面ODM的法向量为n＝(x，y，z)，
则由，可得，
令x＝2，则y＝1，z＝1，∴n＝(2，1，1)．
设直线CD与平面ODM所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，
∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为.
10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4.
(1)求证：M为PB的中点；
(2)求二面角B-PD-A的大小；
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
[解] (1)证明：设AC，BD交于点E，连接ME，
因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，
所以PD∥ME.
因为四边形ABCD是正方形，
所以E为BD的中点，
所以M为PB的中点．
①
(2)如图②，取AD的中点O，连接OP，OE.
因为PA＝PD，所以OP⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，且OP?平面PAD，
所以OP⊥平面ABCD.
因为OE?平面ABCD，所以OP⊥OE.
因为四边形ABCD是正方形，所以OE⊥AD.
如图②，建立空间直角坐标系O-xyz，则P(0，0，)，
D(2，0，0)，B(－2，4，0)，＝(4，－4，0)，
＝(2，0，－)．
②
设平面BDP的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则y＝1，z＝.
于是n＝(1，1，)．
平面PAD的法向量为p＝(0，1，0)，
所以cos〈n，p〉＝＝.
由题意知二面角B-PD-A为锐角，所以它的大小为.
(3)由题意知M，C(2，4，0)，＝.
设直线MC与平面BDP所成角为α，则sin α＝|cos〈n，〉|＝＝，
所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.
[能力提升练]
1.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.则A1B与平面ABD所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
A [以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CC1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设CA＝CB＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0，1)，∴E，G，＝，＝(0，－a，1)．∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，∴⊥平面ABD，∴·＝0，解得a＝2，∴＝，＝(2，－2，2)，∵⊥平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量．又cos〈，〉＝＝＝，∴A1B与平面ABD所成角的正弦值为.]
2．如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D-AB-E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos θ＝，则＝( )
A．1 B. C. D.
C [不妨设BC＝1，AB＝λ，则＝λ.记＝a，＝b，＝c，则＝b－a，＝c－b，根据题意，|a|＝|c|＝1，|b|＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0，∴·＝－b2＝－λ2，而||＝，||＝，
∴|cos〈，〉|＝＝
＝，得λ＝.故选C.]
3．在空间中，已知平面α过(3，0，0)和(0，4，0)及z轴上一点(0，0，a)(a＞0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________．
[平面xOy的法向量为n＝(0，0，1)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，则
即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝.
而cos〈n，u〉＝＝，
又∵a＞0，∴a＝.]
4．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是线段AB上一点，当二面角P-EC-D为时，AE＝________．
2－ [设AE＝a(0≤a≤2)，以点D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz(图略)，则D(0，0，0)，E(1，a，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1)，则＝(1，a，－1)，＝(0，2，－1)，设平面PEC的法向量为m＝(x，y，z)，则，即，令y＝1，可得x＝2－a，z＝2，则m＝(2－a，1，2)，易知平面DEC的一个法向量为＝(0，0，1)，则|cos〈m，〉|＝＝，解得a＝2－或2＋(舍去)，所以AE＝2－.]
5．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值．
[解] (1)证明：由题设可得△ABD≌△CBD，从而AD＝CD.
又△ACD是直角三角形，
所以∠ADC＝90°.
取AC的中点O，连接DO，BO，
则DO⊥AC，DO＝AO.
又因为△ABC是正三角形，故BO⊥AC，
所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角．
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，
又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，
故∠DOB＝90°.
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直，
以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，0，0)，D(0，0，1)．
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，
即E为DB的中点，得E，
故＝(－1，0，1)，＝(－2，0，0)，＝.
设n＝(x，y，z)是平面DAE的法向量，
则即
可取n＝.
设m是平面AEC的法向量，则
同理可取m＝(0，－1，)，
则cos〈n，m〉＝＝.
所以二面角D-AE-C的余弦值为.
