课件58张PPT。模块复习课互为逆否命题 既不充分也不必要条件必要条件充分不必要条件必要不充分条件和 (0，1)差的绝对值 x轴，y轴 (1，＋∞) 相等 [0，＋∞) 1x轴y轴(0，0)p＝xa＋yb xa＋yb＋zc 基底 √ × √ × × × √ √ √ × × × × × × √ × × √ × √ √ √ × √ × × × √ × Thank you for watching !
一、常用逻辑用语
1．命题及其关系
(1)原命题：若p，则q.则
逆命题：若q，则p．
否命题：若?p，则?q．
逆否命题：若?q，则?p．
(2)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
2．充分条件与必要条件
(1)若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若p?q，则p是q的充要条件．
(3)若p?q，qp，则p是q的充分不必要条件．
(4)若pq，q?p，则p是q的必要不充分条件．
(5)若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件．
3．简单的逻辑联结词
(1)命题p∧q的真假：“全真则真”，“一假则假”．
(2)命题p∨q的真假：“一真则真”，“全假则假”．
(3)命题?p的真假：p与?p的真假性相反．
4．全称命题与特称命题的否定
(1)全称命题的否定
p：x∈M，p(x)．
?p：x0∈M，?p(x0)．
(2)特称命题的否定
p：x0∈M，p(x0)．
?p：x∈M，?p(x)．
二、圆锥曲线与方程
1．椭圆
(1)椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
(2)椭圆的标准方程
焦点在x轴上：＋＝1(a>b>0)，
焦点在y轴上：＋＝1(a>b>0)．
(3)椭圆的几何性质
①范围：对于椭圆＋＝1(a>b>0)，
－a≤x≤a，－b≤y≤b．
②对称性：椭圆＋＝1或＋＝1(a>b>0)，
关于x轴，y轴及原点对称．
③顶点：椭圆＋＝1的顶点坐标为A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．
④离心率：e＝，离心率的范围是e∈(0，1)．
⑤a，b，c的关系：a2＝b2＋c2．
2．双曲线
(1)双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，叫做双曲线．
(2)双曲线的标准方程
焦点在x轴上：－＝1(a>0，b>0)，
焦点在y轴上：－＝1(a>0，b>0)．
(3)双曲线的几何性质
①范围：对于双曲线－＝1(a>0，b>0)，
y≥a或y≤－a，x∈R，
②对称性：双曲线－＝1或－＝1(a>0，b>0)
关于x轴，y轴及原点对称．
③顶点：双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为A1(－a，0)，A2(a，0)，双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为A1′(0，－a)，A2′(0，a)，
④渐近线：双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x．
⑤离心率：e＝，双曲线离心率的取值范围是e∈(1，＋∞)，
⑥a，b，c的关系：c2＝a2＋b2．
3．抛物线
(1)抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
(2)抛物线的标准方程
焦点在x轴上：y2＝±2px(p>0)，
焦点在y轴上：x2＝±2py(p>0)．
(3)抛物线的几何性质
①范围：对于抛物线x2＝2py(p>0)，
x∈R，y∈[0，＋∞)
②对称性：抛物线y2＝±2px(p>0)，关于x轴对称，
抛物线x2＝±2py(p>0)，关于y轴对称．
③顶点：抛物线y2＝±2px和x2＝±2py(p>0)的顶点坐标为(0，0)．
④离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义知e＝1．
三、空间向量与立体几何
1．空间向量及其运算
(1)共线向量定理：a∥b?a＝λb(b≠0)．
(2)P，A，B三点共线?＝x＋y(x＋y＝1)．
(3)共面向量定理：p与a，b共面?p＝xa＋yb．
(4)P，A，B，C四点共面?＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)．
(5)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．
(6)空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，
②λa＝(λa1，λa2，λa3)，
③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，
④a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，
⑤a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，
⑥|a|＝＝，
⑦cos〈a，b〉＝＝，
⑧若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，||＝．
2．立体几何中的向量方法
(1)异面直线所成的角
两条异面直线所成的角为θ，两条异面直线的方向向量分别为a，b，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝．
(2)直线与平面所成的角
直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝．
(3)二面角
二面角为θ，n1，n2为两平面的法向量，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝．
1．一个命题的逆命题和否命题有相同的真假性． (√)
[提示] 一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，因此具有相同的真假性．
2．使a>b成立的充分不必要条件是a>b－1. (×)
[提示] a>b－1a>b.
3．“p∧q”的否定为“(?p)∨(?q)”，“p∨q”的否定为“(?p)∧(?q)”． (√)
[提示] “且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”．
4．命题p：x∈(0，＋∞)，则x2＋2x＋1>0，则?p为：x0∈(－∞，0]，使x＋2x0＋1≤0. (×)
[提示] ?p应为x0∈(0，＋∞)，使x＋2x0＋1≤0.
5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是“若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数”． (×)
[提示] 命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是“若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．
6．命题“菱形的两条对角线相等”是全称命题且是真命题．
(×)
[提示] 此命题是全称命题，但是是假命题．
7．“x>6”是“x>1”的充分但不必要条件． (√)
[提示] x>6?x>1，但x>1x>6.
8．若命题p∧q为假，且?p为假，则q假． (√)
[提示] 由p为真，p∧q为假知，q为假．
9．椭圆上的点到焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c. (√)
[提示] 椭圆长轴的端点到焦点的距离有最大值或最小值．
10．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆． (×)
[提示] |F1F2|＝8，故点的轨迹是线段F1F2.
11．椭圆2x2＋3y2＝12的焦点坐标为(0，±)． (×)
[提示] 椭圆标准方程为＋＝1，c2＝a2－b2＝2，故椭圆的焦点坐标为(±，0)．
12．已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，焦距为6，则实数m的值为4. (×)
[提示] 当焦点在x轴上时，由25－m2＝9得m＝4，当焦点在y轴上时，m2－25＝9得m＝.
13．已知F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则点P的轨迹是双曲线的右支． (×)
[提示] 点P的轨迹是一条射线．
14．“0≤k<3”是方程＋＝1表示双曲线的充要条件．
(×)
[提示] 当0≤k<3时，方程＋＝1表示双曲线，若方程＋＝1表示双曲线，则有(k＋1)(k－5)<0，即－115．双曲线2x2－y2＝8的实轴长为2. (×)
[提示] 双曲线标准方程为－＝1，因此双曲线的实轴长为4.
16．等轴双曲线的渐近线相同． (√)
[提示] 等轴双曲线的渐近线方程都是y＝±x.
17．到定点和定直线距离相等的点的轨迹是抛物线． (×)
[提示] 当定点在定直线上时点的轨迹是一条直线．
18．抛物线y＝2x2的焦点坐标是. (×)
[提示] 抛物线标准方程为x2＝y，故焦点坐标为.
19．抛物线y2＝2px(p>0)中过焦点的最短弦长为2p. (√)
[提示] 抛物线中通径是最短的弦长．
20．抛物线y＝ax2(a≠0)的准线方程为y＝2，则实数a的值是.
(×)
[提示] 抛物线标准方程为x2＝y，则－＝2，解得a＝－.
21．若空间任一点O和不共线的三点A，B，C满足＝＋－，则点P与A，B，C共面． (√)
[提示] ＋－1＝1，故四点共面．
22．a，b为空间向量，则cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉． (√)
[提示] 〈a，b〉＝〈b，a〉，则cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉．
23．两个平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直． (√)
[提示] 由平面法向量的定义可知．
24．直线与平面垂直，则直线的方向向量与平面的法向量垂直． (×)
[提示] 直线的方向向量与平面的法向量平行．
25．若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0. (√)
[提示] 假设k1≠0，则e1＝－e2－e3，则e1，e2，e3共面．
26．若直线的方向向量与平面的法向量所成的角为150°，则直线与平面所成的角为30°. (×)
[提示] 直线与平面所成的角为60°.
27．若直线与平面所成的角为0°，则直线在平面内． (×)
[提示] 直线与平面也可能平行．
28．两个平面的法向量所成的角为120°，则两个平面所成的二面角也是120°. (×)
[提示] 二面角的度数是120°或60°.
29．两条异面直线所成的角为30°，则两条直线的方向向量所成的角可能是150°. (√)
[提示] 根据向量所成角的定义知正确．
30．若二面角是30°，则在二面角的两个半平面内与二面角的棱垂直的直线的方向向量所成的角也是30°. (×)
[提示] 在二面角的两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量所成的角是30°或150°.
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
D [由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝
|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴点P坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点P(2c，c)．∵点P在过点A，且斜率为的直线上，∴＝，解得＝，∴e＝，故选D.]
2．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
[如图，由题意知点A(a，0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝x，即bx－ay＝0，
∴点A到l的距离d＝.
又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，∴△MAN为等边三角形，
∴d＝MA＝b，即＝b，∴a2＝3b2，
∴e＝＝＝.]
3．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________．
6 [如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.
由题意知，F(2，0)，
|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.]
4．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
[解] (1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
5．(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
图1 图2
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小．
[解] (1)由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.
又因为AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)作EH⊥BC，垂足为H.因为EH?平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC.
由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝.
以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz，则
A(－1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0，)，＝(1,0，)，＝(2，－1,0)．
设平面ACGD的法向量为n＝(x，y，z)，则
即 所以可取n＝(3,6，－)．
又平面BCGE的法向量可取为m＝(0,1,0)，所以cos〈n，m〉＝＝.
因此二面角B-CG-A的大小为30°.
6．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值．
[解] (1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.
因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD.
由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，
又BC＝AD，所以EFBC，
四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF.
又BF?平面PAB，CE平面PAB，故CE∥平面PAB.
(2)由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，)，＝(1，0，－)，＝(1，0，0)．
设M(x，y，z)(0＝(x－1，y，z)，＝(x，y－1，z－)．
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，
而n＝(0，0，1)是底面ABCD的法向量，
所以|cos〈，n〉|＝sin 45°，＝，
即(x－1)2＋y2－z2＝0.①
又M在棱PC上，设＝λ，则
x＝λ，y＝1，z＝－λ.②
由①②解得(舍去)，或
所以M，从而＝.
设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则
即
所以可取m＝(0，－，2)．
于是cos〈m，n〉＝＝.
因此二面角M-AB-D的余弦值为.
模块综合测评
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a∈R，则“a＜2”是“a2＜2a”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [∵a2＜2a?a(a－2)＜0?0＜a＜2.
∴“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件．]
2．已知命题p：x>0，总有(x＋1)ex>1，则?p为( )
A．x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1
B．x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1
C．x>0，总有(x＋1)ex0≤1
D．x≤0，总有(x＋1)ex0≤1
B [命题p为全称命题，所以?p为x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1.故选B.]
3．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为( )
A. B. C. D.
B [由题意，1－＝＝，∴＝，而双曲线的离心率e2＝1＋＝1＋＝，∴e＝.]
4．已知空间向量a＝(t，1，t)，b＝(t－2，t，1)，则|a－b|的最小值为( )
A. B. C．2 D．4
C [|a－b|＝≥2，故选C.]
5．椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有( )
A．相同短轴 B．相同长轴
C．相同离心率 D．以上都不对
D [对于＋＝1，有a2>9或a2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A，B，C均不正确，故选D.]
6．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，则二面角C1-AB-C为( )
A. B. C. D.
D [以A为原点，直线AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则平面ABC的一个法向量为＝(0，0，1)，平面ABC1的一个法向量为＝(0，1，－1)，∴cos〈，〉＝＝－，∴〈，〉＝，又二面角C1-AB-C为锐角，即π－π＝，故选D.]
7．命题“x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
C [∵x∈[1，2]，1≤x2≤4，∴要使x2－a≤0为真，则a≥x2，即a≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.]
8．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
B [由已知可得，抛物线的焦点坐标为.又直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2，则|OA|＝，故S△OAF＝··＝4，解得a＝±8，故抛物线的方程为y2＝±8x.]
9．已知A(1，2，3)，B(2，1，2)，C(1，1，2)，O为坐标原点，点D在直线OC上运动，则当·取最小值时，点D的坐标为( )
A. B.
C. D.
C [点D在直线OC上运动，因而可设＝(a，a，2a)，则＝(1－a，2－a，3－2a)，＝(2－a，1－a，2－2a)，·＝(1－a)(2－a)＋(2－a)(1－a)＋(3－2a)(2－2a)＝6a2－16a＋10，所以a＝时·取最小值，此时＝.]
10．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C 于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为，则k的值为( )
A．－ B. C．± D．±
C [由题意知点B的横坐标是c，故点B的坐标为，则斜率k＝＝±＝±＝±＝±(1－e)＝±，故选C.]
11．若F1，F2为双曲线C：－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则点P到x轴的距离为( )
A. B. C. D.
B [设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，点P到x轴的距离为|yP|，则S△F1PF2＝r1r2sin 60°＝r1r2，又4c2＝r＋r－2r1r2cos 60°＝(r1－r2)2＋2r1r2－r1r2＝4a2＋r1r2，得r1r2＝4c2－4a2＝4b2＝4，所以S△F1PF2＝r1r2sin 60°＝＝·2c·|yP|＝|yP|，得|yP|＝，故选B.]
12．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝.设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是( )
A. B. C. D.
C [
如图．设|AF|＝r1，|BF|＝r2，则|MN|＝.在△AFB中，因为|AF|＝r1，|BF|＝r2且∠AFB＝，所以由余弦定理，得|AB|＝＝
，所以＝＝×＝×≤×＝，当且仅当r1＝r2时取等号．故选C.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．对于下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．(填序号)
①②③ [∵·＝－2－2＋4＝0，∴⊥，即AP⊥AB，①正确；∵·＝－4＋4＝0，∴⊥，即AP⊥AD，②正确；由①②可得是平面ABCD的法向量，③正确；由③可得⊥，④错误．]
14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为________．
－＝1 [由已知得＝2，所以b＝2a.在y＝2x＋10中令y＝0得x＝－5，故c＝5，从而a2＋b2＝5a2＝c2＝25，所以a2＝5，b2＝20，所以双曲线的方程为－＝1.]
15．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0，2)的距离的最大值为3，则椭圆C的方程为________．
＋y2＝1 [由e＝＝，得c2＝a2，所以b2＝a2－c2＝a2，
设P(x，y)是椭圆C上任意一点，则＋＝1，所以x2＝a2＝a2－3y2.|PQ|＝＝＝，
当y＝－1时，|PQ|有最大值.由＝3，可得a2＝3，
所以b2＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.]
16．四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ的正弦值为________．
[
如图，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由已知P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，则重心G，因此＝(0，0，1)，＝，所以sin θ＝|cos〈，〉|＝＝.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．
[解] ∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
由于“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，∴BA.
当B＝时，得a＝0；
当B≠时，由题意得B＝{1}或B＝{2}．
则当B＝{1}时，得a＝1；当B＝{2}时，得a＝.
综上所述，实数a组成的集合是.
18．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.
[解] (1)由双曲线的离心率为，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x2－y2＝λ，又双曲线过点(4，－)，代入解得λ＝6，故双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)证明：由双曲线的方程为x2－y2＝6，可得a＝b＝，c＝2，所以F1(－2，0)，F2(2，0)．由点M(3，m)，得＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，又点M(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，解得m2＝3，所以·＝m2－3＝0.
19.(本小题满分12分)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k＞0)．
(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；
(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值．
[解]
①
(1)证明：取CD的中点E，连接BE，如图①.
∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.
在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，
∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD.
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD.
∵AA1⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴AA1⊥CD.
又AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1.
②
(2)以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图②所示的空间直角坐标系，则A(4k，0，0)，C(0，6k，0)，B1(4k，3k，1)，A1(4k，0，1)，
∴＝(－4k，6k，0)，＝(0，3k，1)，＝(0，0，1)．
设平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，则由得
取y＝2，得n＝(3，2，－6k)．
设AA1与平面AB1C所成的角为θ，则
sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，解得k＝1，故所求k的值为1.
20．(本小题满分12分)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点．
(1)用p表示|AB|；
(2)若·＝－3，求这个抛物线的方程．
[解] (1)抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线方程为y＝x－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得x2－3px＋＝0，
∴x1＋x2＝3p，x1x2＝，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.
(2)由(1)知，x1x2＝，x1＋x2＝3p，
∴y1y2＝＝x1x2－(x1＋x2)＋＝－＋＝－p2，∴·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－＝－3，解得p2＝4，∴p＝2.
∴这个抛物线的方程为y2＝4x.
21．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E为PD上一点，PE＝2ED.
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．
[解] (1)证明：∵PA＝AD＝1，PD＝，
∴PA2＋AD2＝PD2，
即PA⊥AD.
又PA⊥CD，AD∩CD＝D，
∴PA⊥平面ABCD.
(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，
E，＝(1，1，0)，＝.设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即令y＝1，
则n＝(－1，1，－2)．
假设侧棱PC上存在一点F，且＝λ(0≤λ≤1)，
使得BF∥平面AEC，则·n＝0.
又∵＝＋＝(0，1，0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)，
∴·n＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝，
∴存在点F，使得BF∥平面AEC，且F为PC的中点．
22．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
[解] (1)∵BF2＝，而BF＝OB2＋OF＝b2＋c2＝2＝a2，
∵点C在椭圆上，C，
∴＋＝1，
∴b2＝1，∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)直线BF2的方程为＋＝1，与椭圆方程＋＝1联立方程组，
解得A点坐标为，
则C点的坐标为，
又F1为(－c，0)，kF1C＝＝，
又kAB＝－，由F1C⊥AB，得·＝－1，
即b4＝3a2c2＋c4，所以(a2－c2)2＝3a2c2＋c4，化简得e＝＝.
