课件38张PPT。第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系
1.1.1 命题陈述句定义判断真假陈述句判断真假假真结论条件命题的判断 命题的构成 命题的真假判断 点击右图进入…Thank you for watching !
1.1 命题及其关系
1.1.1 命题
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解命题的概念．(难点)
2．理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式．(重点)
3．能判断一些简单命题的真假．(难点、易错点)
1．通过命题的概念及其构成形式的学习，培养学生的数学抽象核心素养．
2．通过命题的真假判断，培养学生的逻辑推理核心素养.
1．命题的定义与分类
(1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．
(3)分类
命题
思考1：(1)“x－1＝0”是命题吗？
(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？
[提示] (1)“x－1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．
(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．
2．命题的结构
(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？
[提示] 条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．
1．下列语句是命题的是( )
①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！
A．①②③ B．①③④
C．①②⑤ D．②③⑤
A [①②③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④⑤不是命题．]
2．下列命题中，真命题共有( )
①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则a＋c>b＋c；④矩形的对角线互相垂直．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
A [①②④是假命题，③是真命题．]
3．命题“不等式＜0与(x＋1)(x－2)＜0同解”是________命题(填“真”“假”)．
真 [不等式＜0与(x＋1)(x－2)＜0的解集都是{x|－1＜x＜2}，所以是真命题．]
4．命题“奇函数的图象关于原点对称”的条件p是______，结论q是________．
若一个函数是奇函数 函数的图象关于原点对称 [命题的条件是“若一个函数是奇函数”，结论是“函数的图象关于原点对称”．]
命题的判断
【例1】 (1)下列语句为命题的是( )
A．x2－1＝0 B．2＋3＝8
C．你会说英语吗？ D．这是一棵大树
(2)下列语句为命题的有________．(填序号)
①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 018是一个很大的数；④4是集合{2，3，4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.
(1)B (2)①④ [(1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．
(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．]
判断一个语句是否是命题的两个关键点
(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．
(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．
提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题．
1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；
(2)x2－3x＋2＝0；
(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；
(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？
(5)一个数不是奇数就是偶数；
(6)2030年6月1日上海会下雨．
[解] (1)是命题，满足指数函数的定义，为真命题．
(2)不是命题，不能判断真假．
(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假．
(4)是疑问句，不是命题．
(5)是命题，能判断真假．
(6)不是命题，不能判断真假．
命题的构成
【例2】 (1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是________，q是________．
(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
①函数y＝lg x是单调函数；
②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.
思路探究：解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论，然后用适当的形式改写成“若p，则q的形式”．
(1)一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧 [命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．]
(2)解：①若函数是对数函数y＝lg x，则这个函数是单调函数，真命题；
②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题；
③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题．
1.若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中，如本例(2)②.
2.“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．
2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)当>时，a(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
(3)同弧所对的圆周角不相等．
[解] (1)若>，则a(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行；
(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．
命题的真假判断
[探究问题]
1．如何判断一个命题是真命题？
[提示] 根据命题的条件，利用定义、定理、性质论证命题的正确性．
2．如何判断一个命题是假命题？
[提示] 举出一个反例即可．
【例3】 给定下列命题：
①若a>b，则2a>2b；
②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；
③直线x＝是函数y＝sin x的一条对称轴；
④在△ABC中，若·>0，则△ABC是钝角三角形．
其中为真命题的是________．
思路探究：
①③④ [对于①，根据函数f(x)＝2x的单调性知①为真命题．
对于②，若a＝1＋，b＝1－，则a＋b＝2不是无理数，因此②是假命题．
对于③，函数y＝sin x的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，故③为真命题．
对于④，因为·＝||||cos(π－B)＝－||·||cos B>0，故得cos B<0，从而得B为钝角，所以④为真命题．]
1．(变结论)本例中命题①变为“若a>b，则方程ax2－2bx＋a＝0无实根”，该命题是真命题还是假命题．
[解] 若a＝1，b＝－5，满足a>b，但Δ＝4b2－4a2>0，方程有两个不相等的实根，因此该命题是假命题．
2.(变条件)本例中命题④变为“若·<0，则△ABC是锐角三角形”，该命题还是真命题吗？
[解] 不是真命题，·<0只能说明∠B是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．
1．由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的，且必居其一．
2．如果要判断一个命题为真命题，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断一个命题为假命题，只要举出一个反例即可．
1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．
1．下列语句不是命题的个数为( )
①2<1；②x<1；③若x<1，则x<2；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．
A．0 B．1
C．2 D．3
B [语句①③④都能判断真假，是命题，语句②不能判断真假，不是命题．]
2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
C [把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C.]
3．下列命题是真命题的为( )
A．若a>b，则< B．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
C．若|x|C [对于A，若a＝1，b＝－2，则>，故A是假命题．
对于B，当a＝b＝0时，满足b2＝ac，但a，b，c不是等比数列，故B是假命题．
对于C，因为y>|x|≥0，则x2对于D，当a＝b＝－2时，与没有意义，故D是假命题．]
4．命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为________．
(－∞，0)∪(0，1) [由题意知解得a<1，且a≠0.]
课时分层作业(一) 命题
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列语句中是命题的是( )
A．周期函数的和是周期函数吗？
B．sin 45°＝1
C．x2＋2x－1>0
D．x2＋y2＝0
B [对于A，是疑问句，不是命题；对于C，D，不能判断真假，不是命题；对于B，是陈述句且能判断真假，是命题．]
2．下列命题中是假命题的是( )
A．a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若ac2＞bc2，则a＞b
D．若α＝60°，则cos α＝
B [因为|a|＝|b|只能说明a与b的模相等，所以a＝b不一定成立，故选B.]
3．命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的条件是( )
A．两条直线
B．一个平面
C．垂直
D．两条直线垂直于同一个平面
D [命题的条件是“两条直线垂直于同一个平面”．]
4．下列四个命题中，真命题是( )
A．a＞b，c＞d?ac＞bd
B．a＜b?a2＜b2
C．＜?a＞b
D．a＞b，c＜d?a－c＞b－d
D [可以通过举反例的方法说明A、B、C为假命题．]
5．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4 B．2 C．0 D．－3
C [由题意知，Δ＝a2－4<0，故a＝0符合题意．]
二、填空题
6．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________， 结论q：________．它是________命题(填“真”或“假”)．
a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真 [a>0时，设a＝1，把(0，0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]
7．将命题“奇函数的定义域和图象均关于原点对称”，改写为“若p，则q”的形式为________．
若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称 [命题若p，则q的形式为“若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称”．]
8．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y＝ax＋1是指数函数吗？③正方形既是矩形又是菱形；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5＞0；⑥作AB∥A′B′.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．
①③⑤ ③⑤ [①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是真命题，由正方形定义可知；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．]
三、解答题
9．判断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？
(1)2＋2是有理数；
(2)1＋1>2；
(3)2100是个大数；
(4)968能被11整除；
(5)非典型性肺炎是怎样传播的？
[解] (1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题．因为(1)(2)(4)都可以判断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法判断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．
10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)体对角线相等的四棱柱是长方体；
(2)能被10整除的数既能被2整除又能被5整除；
(3)正弦值相等的两个角的终边相同．
[解] (1)若四棱柱的体对角线相等，则这个四棱柱是长方体．该命题是假命题．
(2)若一个数能被10整除，则这个数既能被2整除又能被5整除．该命题为真命题．
(3)若两个角的正弦值相等，则这两个角的终边相同．该命题为假命题．
[能力提升练]
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )
A．红豆生南国 B．春来发几枝
C．愿君多采撷 D．此物最相思
A [“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.]
2．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是( )
A．余弦值
B．第二象限
C．一个角是第二象限角
D．没有条件
C [原命题可改写为若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0，故选C.]
3．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝c；
②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a∥b，则k＝－3；
③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.
其中真命题的序号为________．
② [①若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，
因此b＝c不正确；②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，
a∥b，则－2k－6＝0，即k＝－3，正确；
③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，设＝a，＝b，则△AOB为等边三角形，因此，a与a＋b的夹角为30°，③不正确，故选②.]
4．已知a，b为实数，且ab≠0，则下列命题是真命题的是________(填序号)．
①若a＞0，b＞0，则≥；
②若≥，则a＞0，b＞0；
③若a≠b，则＞；
④若＞，则a≠b.
①④ [①中，由基本不等式可得：若a＞0，b＞0，则≥，正确；②中，当a＝b＝0时，满足≥，但不满足a＞0，b＞0，错误；③中，若a，b都为正数时成立，
否则不成立，错误；④中，由＞，平方得(a－b)2＞0，虽然a≠b，正确，故填①④.]
5．已知p：5x－1＞a，q：x＞1，请确定实数a的取值范围，使得(1)“若p，则q”为真命题；(2)“若q，则p”为真命题．
[解] (1)命题“若p，则q”即为“若x＞，则x＞1”，由命题为真命题可知≥1，解得a≥4，故实数a的取值范围为[4，＋∞)．
(2)命题“若q，则p”即为“若x＞1，则x＞”，由命题为真命题可知≤1，解得a≤4，故实数a的取值范围为(－∞，4]．
