课件48张PPT。第一章 常用逻辑用语1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系若q，则p结论条件逆命题否命题条件的否定结论的否定结论的否定条件的否定逆否命题没有相同四种命题 四种命题的关系及真假判断 等价命题的应用 点击右图进入…Thank you for watching !1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)
2．知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)
3．会利用命题的等价性解决问题．(难点)
1．通过四种命题概念的学习，体现了数学抽象核心素养．
2．借助四种命题的关系，培养学生逻辑推理核心素养.
1．四种命题的概念及表示形式
名称
定义
表示形式
互逆
命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题
原命题为“若p，则q”；逆命题为“若q，则p”
互否
命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题
原命题为“若p，则q”；否命题为“若?p，则?q”
互为逆否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题
原命题为“若p，则q”；逆否命题为“若 q，则?p”
2.四种命题间的相互关系
(1)四种命题之间的关系
(2)四种命题间的真假关系
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？
(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？
[提示] (1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．
(2)真命题的个数只能是0，2，4，不会是奇数．
1．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是( )
A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”
B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”
D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”
B [根据逆命题的定义知，选B.]
2．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )
A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题
C [原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.]
3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
B [原命题的条件是f(x)是奇函数，结论是f(－x)是奇函数，同时否定条件和结论即得否命题，即：若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数．]
4．命题“若ab＝0，则a＝0”与命题“若a＝0，则ab＝0”是________命题．(填“互逆”“互否”“互为逆否”)
互逆 [两个命题的条件和结论交换了，满足互逆命题的概念．]
四种命题
【例1】 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)相似三角形对应的角相等；
(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；
(3)正方形的对角线互相平分．
[解] (1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；
逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；
否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；
逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．
(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；
逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；
否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；
逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.
(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；
逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；
逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．
1．写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法
(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．
(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．
2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：
原词语
等于(＝)
大于(>)
小于(<)
是
都是
至多有一个
否定
词语
不等于
(≠)
不大于
(≤)
不小于
(≥)
不是
不都是
至少有
两个
原词语
至少有
一个
至多有
n个
任意的
任意两个
所有的
能
否定
词语
一个也
没有
至少有
(n＋1)个
某一个
(确定的)
某两个
某些
不能
1．(1)命题“若y＝kx，则x与y成正比例关系”的否命题是( )
A．若y≠kx，则x与y成正比例关系
B．若y≠kx，则x与y成反比例关系
C．若x与y不成正比例关系，则y≠kx
D．若y≠kx，则x与y不成正比例关系
D [条件的否定为y≠kx，结论的否定为x与y不成正比例关系，故选D.]
(2)命题“若ab≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．
若a，b至少有一个为零，则ab＝0 [“ab≠0”的否定是“ab＝0”，“a，b都不为零”的否定是“a，b中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a，b至少有一个为零，则ab＝0”．]
四种命题的关系及真假判断
【例2】 (1)对于原命题：“已知a、b、c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
(2)判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．
思路探究：(1)只需判断原命题和逆命题的真假即可．
(1)C [当c＝0时，ac2>bc2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b”是真命题，从而其否命题也是真命题，故选C.]
(2)解：法一：原命题的逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0.
∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，解得a<－<0，
∴原命题的逆否命题为真命题．
法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴对于方程x2＋x－a＝0，根的判别式Δ＝1＋4a>0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．
∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．
判断命题真假的方法
(1)解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证．
(2)原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可．
2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；
(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题．
[解] (1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．
(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2
y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．
(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．
(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．
等价命题的应用
[探究问题]
1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？
[提示] 一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．
2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立．
[提示] 根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．
【例3】 (1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
思路探究：(1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．
(1)[－3，0] [∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，
若a＝0，则－3≤0恒成立，∴a＝0符合题意．
若a≠0，由题意知即
∴－3≤a<0，
综上知，a的取值范围是[－3，0]．]
(2)证明：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即原命题的逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
1．若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．
2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．
3．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
[证明] “若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．
∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1
＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．
1．“命题”的三个关注点
(1)我们研究四种命题，一般只研究“若p，则q”形式的命题；有些命题虽然不是这种形式，但可以化为“若p，则q”的形式．
(2)对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性的了解，定位在具体、简单的数学命题，重点是四种命题的构成形式及其真假判断．
(3)四种命题是相对的，一个命题是什么命题不是固定不变的，但只要我们事先规定好哪个命题是原命题，那么它的其他形式的命题就确定了．
2．“互逆命题”“互否命题”“互为逆否命题”与“逆命题”“否命题”“逆否命题”的区别
两者具有不同的含义，具体区分如下：
前者说的是两个命题的关系，同时涉及两个命题；后者是指与确定的原命题为“互逆”“互否”“互为逆否”关系的那一个命题.
1．命题“若aA，则b∈B”的逆命题是( )
A．若aA，则bB B．若a∈A，则bB
C．若b∈B，则aA D．若bB，则aA
C [“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则aA”．]
2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
A [同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.]
3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.]
4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________．
若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1 [原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]
课时分层作业(二) 四种命题 四种命题间的相互关系
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
C [若命题为“若p，则q”，命题的逆否命题为“若?q，则?p”，所以原命题的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．故选C.]
2．命题“已知a，b都是实数，若a＋b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a＋b＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C.]
3．已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )
A．原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
B．原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
C．原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
D．原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
B [逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.]
4．命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是( )
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
D．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
A [命题“若p，则q”的逆否命题为“若?q，则?p”．“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”．]
5．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( )
A．不拥有的人们会幸福
B．幸福的人们不都拥有
C．拥有的人们不幸福
D．不拥有的人们不幸福
D [“幸福的人们都拥有”我们可将其化为：如果人是幸福的，则这个人拥有某种食品，它的逆否命题为：如果这个人没有拥有某种食品，则这个人是不幸福的，即“不拥有的人们就不幸福”，故选D.]
二、填空题
6．命题“若x2<4，则－2若x≤－2或x≥2，则x2≥4 [命题“若x2<4，则－27．已知命题“若m－1[1，2] [逆命题为“若1则解得1≤m≤2.]
8．命题“若x≠1，则x2－1≠0”是________命题(填“真”“假”)．
假 [命题的条件和结论都是否定形式，可以化为判断其逆否命题的真假，其逆否命题为“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0时，x＝±1，所以该命题为假命题，从而原命题是假命题．]
三、解答题
9．写出命题“若x2－3x＋2≠0，则x≠1且x≠2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
[解] ∵原命题是“若x2－3x＋2≠0，则x≠1且x≠2”，
∴它的逆命题是：若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0，是真命题；
否命题是：若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2，是真命题；
逆否命题是：若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0，是真命题．
10．证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
[证明] 若a－b＝1，则a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝(a－b)－1＝0成立，
∴根据逆否命题的等价性可知：
若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1成立．
[能力提升练]
1．对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是( )
A．逆命题为“周期函数不是单调函数”
B．否命题为“单调函数是周期函数”
C．逆否命题为“周期函数是单调函数”
D．以上三者都不正确
D [原命题的逆命题是“非周期函数是单调函数”，故A不正确；原命题的否命题是“非单调函数是周期函数”，故B不正确；原命题的逆否命题是“周期函数不是单调函数”，故C不正确．]
2．若命题“若xm＋1，则x2－2x－3>0”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数m的取值范围是( )
A．(－1，2) B．(0，2]
C．[－1，1) D．[0，2]
D [由已知，易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}．又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，∴或∴0≤m≤2.]
3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为________．
1 [易判断原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题．逆命题：若一个四边形对角线互相垂直，则该四边形为菱形，为假命题．故原命题的否命题也是假命题．]
4．下列命题中为假命题的是________(填序号)．
①“若k>0，则关于x的方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；
②“若向量a，b满足a·b＝0，则a＝0或b＝”的逆命题；
③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．
① [对于①，“若k>0，则关于x的方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题为“若k≤0，则关于x的方程x2＋2x＋k＝0无实根”，当k≤0时，Δ＝4－4k>0.所以方程有实根，所以①为假命题．对于②，“若向量a，b满足a·b＝0，则a＝0或b＝”的逆命题是“若a＝或b＝，则a·b＝0”，所以②是真命题．对于③，“梯形不是平行四边形”是真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以③为真命题．]
5．已知数列{an}是等比数列，命题p：若a1[解] 命题p的逆命题：已知数列{an}是等比数列，若数列{an}是递增数列，则a1命题p的否命题：已知数列{an}是等比数列，若a1≥a2或a2≥a3，则数列{an}不是递增数列；
命题p的逆否命题：已知数列{an}是等比数列，若数列{an}不是递增数列，则a1≥a2或a2≥a3.
设数列{an}的公比为q，若a1当a1>0时，解得q>1，此时数列{an}是递增数列；
当a1<0时，解得0反之，若数列{an}是递增数列，显然有a1所以命题p及其逆命题都是真命题．
由于命题p的逆否命题与命题p是等价命题，命题p的否命题与命题p的逆命题也是等价命题，
所以命题p的逆命题、否命题与逆否命题都是真命题．
