课件46张PPT。第一章 常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件? 必要充分必要充分互为充要充分必要充要充分条件、必要条件、充要条件的判断 充要条件的探求与证明 充分条件、必要条件、充要条件的应用 点击右图进入…Thank you for watching !1.2 充分条件与必要条件
学 习 目 标
核 心 素 养
1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)
2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
1．通过充分条件、必要条件概念的学习，培养学生的数学抽象素养．
2．借助充分条件，必要条件的判断及应用，提升学生的逻辑推理素养.
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p?q
pq
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p?q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
[提示] (1)相同，都是p?q.(2)等价．
2．充要条件
(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p?q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q?p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示] (1)正确．若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q.
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．“x＞0”是“＞0”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
A [当x＞0时，＞0成立；但当＞0时，得x2＞0，则x＞0或x＜0，此时不能得到x＞0.]
2．已知a，b，c∈R，“2b＝a＋c”是“a，b，c成等差数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
C [2b＝a＋c?a，b，c成等差数列．
∴“2b＝a＋c”是“a，b，c成等差数列”的充要条件．]
3．“a＞b”是“a＞|b|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [当a＞b时，a＞|b|不一定成立，如a＝－1，b＝－2；当a＞|b|时，a＞b成立，故选B.]
4．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)．
①p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；
②p：x>0，y>0，q：xy>0；
③p：a>b，q：a＋c>b＋c.
①③ [在①③中，p?q，所以①③中p是q的充要条件，在②中，qp，所以②中p不是q的充要条件．]
充分条件、必要条件、充要条件的判断
【例1】 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；
(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(4)p：a＜b，q：＜1.
思路探究：判断p?q与q?p是否成立，当p、q是否定形式，可判断?q是?p的什么条件．
[解] (1)在△ABC中，显然有∠A>∠B?BC>AC，所以p是q的充分必要条件．
(2)因为x＝2且y＝6?x＋y＝8，即?q??p，但?p ?/ ?q，所以p是q的充分不必要条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．
(4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；
当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；
当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b；
当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b.
因此p是q的既不充分也不必要条件．
充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法
(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．
(3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．
若?p??q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；
若?p??q，且?q?p，则p是q的必要不充分条件；
若?p??q，则p与q互为充要条件；
若?p?q，且?q?p，则p是q的既不充分也不必要条件．
1．(1)(2018·天津高考)设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由＜得－＜x－＜，解得0＜x＜1.
由x3＜1得x＜1.当0＜x＜1时能得到x＜1一定成立；当x＜1时，0＜x＜1不一定成立．所以“＜”是“x3＜1”的充分而不必要条件．]
(2)对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是( )
①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；
②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；
③Δ＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件；
④Δ＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件．
A．①④ B．①②③
C．①②③④ D．①②④
D [①Δ＝b2－4ac≥0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根?f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故①正确．
②若Δ＝b2－4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故②正确．
③函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，未必有Δ＝b2－4ac>0，也可能有Δ＝0，故③错误．
④Δ＝b2－4ac<0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根?函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点，故④正确．]
充要条件的探求与证明
【例2】 (1)“x2－4x<0”的一个充分不必要条件为( )
A．0
C．x>0 D．x<4
(2)已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
思路探究：(1)先解不等式x2－4x<0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x2－4x<0的解集的子集．
(2)充要条件的证明可用其定义，即条件?结论且结论?条件．如果每一步的推出都是等价的(?)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“?”写出证明．
(1)B [由x2－4x<0得0(2)法一：充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.
必要性：由<，得－<0，即<0.
因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.
所以<的充要条件是xy>0.
法二：由条件x>y?y－x<0，故由<0?xy>0.
所以0，
即<的充要条件是xy>0.
1．探求充要条件一般有两种方法：
(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．
2．充要条件的证明
(1)证明p是q的充要条件，既要证明命题“p?q”为真，又要证明“q?p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．
(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．
2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是( )
A．x∈(0，2) B．x∈[－1，＋∞)
C．x∈(0，1) D．x∈(1，3)
B [由x(x－2)<0得0(2)(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
[答案] B
充分条件、必要条件、充要条件的应用
[探究问题]
1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A、B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？
[提示] 若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA.
2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，则p是q的什么条件？若N?M，M＝N呢？
[提示] 若M?N，则p是q的充分条件，若N?M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．
【例3】 已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
思路探究：→→
{m|m≥9}(或[9，＋∞)) [由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，所以p?q且qp.
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
所以或解得m≥9.
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]
1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．
[解] 由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)得1－m≤x≤1＋m(m>0)，
因为p是q的必要不充分条件，所以q?p，且pq.
则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}{x|－2≤x≤10}，
所以，解得0即m的取值范围是(0，3]．
2.若本例题改为：已知P＝{x|a－4[解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q?P.
所以解得－1≤a≤5，
即a的取值范围是[－1，5]．
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
(1)化简p、q两命题；
(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系；
(3)利用集合间的关系建立不等式；
(4)求解参数范围．
1．充要条件的判断有三种方法：
定义法、等价命题法、集合法．
2．充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性．
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．
1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
B [若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；若x＝y，则|x|＝|y|，故选B.]
2．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选A.]
3．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件是( )
A．－2≤x≤2 B．－2C．0A [由x2<4得－24．若“x＜m”是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是________．
(－∞，1] [由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，
由已知条件，知{x|x＜m}{x|x＞2或x＜1}，
∴m≤1.]
课时分层作业(三) 充分条件与必要条件
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A?B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件．]
2．设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
C [|a－3b|＝|3a＋b|?|a－3b|2＝|3a＋b|2?a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2?2a2＋3a·b－2b2＝0，
又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0?a⊥b，故选C.]
3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
A [由函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称可得－＝1，即m＝－2，且当m＝－2时，函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，故选A.]
4．设p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件．s是r的充要条件，则s是p的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [由题可知，pqr?s，则p?s，sp，故s是p的必要不充分条件．]
5．若x>2m2－3是－1A．[－3，3]
B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D．[－1，1]
D [由x>2m2－3是－1二、填空题
6．设集合A＝{x|x(x－1)<0}，B＝{x|0充分不必要 [A＝{x|x(x－1)<0}＝{x|07．“a>0”是“函数y＝ax2＋x＋1在(0，＋∞)上单调递增”的________条件．
充分不必要 [当a>0时，y＝a＋1－，在上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增，故充分性成立．
当a＝0时，此时y＝x＋1 在R上单调递增，
因此在(0，＋∞)上单调递增．故必要性不成立．
综上，“a>0”是“函数y＝ax2＋x＋1在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．]
8．若p：x(x－3)<0是q：2x－3[3，＋∞) [由x(x－3)<0得0由p是q的充分不必要条件知{x|0所以(m＋3)≥3，解得m≥3.]
三、解答题
9．已知p：－4[解] 设q、p表示的范围分别为集合A、B，
则A＝(2，3)，B＝(a－4，a＋4)．
因q是p的充分条件，则有A?B，
即所以－1≤a≤6 ，
即a的取值范围为[－1，6]．
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋c，探究数列{an}是等差数列的充要条件．
[解] 当{an}是等差数列时，∵Sn＝(n＋1)2＋c，
∴当n≥2时，Sn－1＝n2＋c，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
∴an＋1－an＝2为常数．
又a1＝S1＝4＋c，
∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c.
∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝2，∴1－c＝2，
∴c＝－1.
反之，当c＝－1时，Sn＝n2＋2n，
可得an＝2n＋1(n∈N*)，∴{an}为等差数列，
∴{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.
[能力提升练]
1．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要条件是( )
A．a≥b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
A [由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1?a>b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4>3.54≥3.5＋1，故a>ba≥b＋1，故A正确．]
2．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a<0 B．a>0
C．a<－1 D．a<1
C [一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是<0，即a<0，则充分不必要条件的范围应是集合{a|a<0}的真子集，故选C.]
3．设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的________条件．
充分不必要 [∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.
∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.
反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0?cos〈m，n〉<0?〈m，n〉∈，
当〈m，n〉∈时，m，n不共线．
故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分不必要条件．]
4．已知f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)<2}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是________．
(3，＋∞) [因为f(x)是R上的增函数，f(－1)＝－4，
f(x)<－4，f(2)＝2，f(x＋t)<2，
所以x<－1，x＋t<2，x<2－t.
又因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，
所以2－t<－1，即t>3.]
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
[证明] 充分性：因为q＝－1，所以a1＝S1＝p－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，
显然，当n＝1时，也成立．
因为p≠0，且p≠1，所以＝＝p，
即数列{an}为等比数列，
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
因为p≠0，且p≠1，
所以＝＝p.
因为{an}为等比数列，
所以＝＝p，即＝p.
所以－p＝pq，即q＝－1.
所以数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
